Aktien, D Derivate, A Arbitrage Kursverläufe des DAX: Tagesgang a -

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1 : Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik

2 Kursverläufe des DA: agesgang a -

3 Kursverläufe des DA: agesgang Wochengang - 1b -

4 Kursverläufe des DA: agesgang Wochengang Jahresgang (elbstähnlichkeit auf allen Zeitskalen!) - 1c -

5 Möglichkeiten, auf schwankende Kurse zu reagieren: - 2a -

6 Möglichkeiten, auf schwankende Kurse zu reagieren: spekulativ (in der Hoffnung auf schnelle Gewinne) - 2b -

7 Möglichkeiten, auf schwankende Kurse zu reagieren: spekulativ (in der Hoffnung auf schnelle Gewinne) konservativ (Portfolio-Hedging) - 2c -

8 Möglichkeiten, auf schwankende Kurse zu reagieren: spekulativ (in der Hoffnung auf schnelle Gewinne) konservativ (Portfolio-Hedging) verfügbare Finanzinstrumente: Derivative (Optionen, Futures, ) - 2d -

9 Option: - 3a -

10 Option: Recht, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes zu einem im voraus festgesetzten Preis - 3b -

11 Option: Recht, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes zu einem im voraus festgesetzten Preis innerhalb einer bestimmten Frist (amerikanische Option) - 3c -

12 Option: Recht, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes zu einem im voraus festgesetzten Preis innerhalb einer bestimmten Frist (amerikanische Option) oder zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäische Option) - 3d -

13 Option: Recht, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes zu einem im voraus festgesetzten Preis innerhalb einer bestimmten Frist (amerikanische Option) oder zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäische Option) o zu kaufen (Call-Option) - 3e -

14 Option: Recht, eine bestimmte Menge eines bestimmten Gutes zu einem im voraus festgesetzten Preis innerhalb einer bestimmten Frist (amerikanische Option) oder zu einem bestimmten Zeitpunkt (europäische Option) o zu kaufen (Call-Option) oder - 3f - o zu verkaufen (Put-Option).

15 Bezeichnungen: - 4a -

16 Bezeichnungen: : Laufzeit; Verfalltag : Ausübungspreis, Basispreis t : Kurswert zur Zeit t, mit 0 t i: risikoloser Zins r = 1 i: Zinsfaktor v = 1/ r : Diskontfaktor - 4b -

17 Bezeichnungen: : Laufzeit; Verfalltag : Ausübungspreis, Basispreis t : Kurswert zur Zeit t, mit 0 t i: risikoloser Zins r = 1 i: Zinsfaktor v = 1/ r : Diskontfaktor Call-Option: > : Option ausüben : Option nicht ausüben - 4c - Put-Option: < : Option ausüben ³ : Option nicht ausüben

18 Veranschaulichung: Call-Option ausüben, Put-Option nicht ausüben

19 Veranschaulichung: Put-Option ausüben, Call-Option nicht ausüben

20 Ziel: Bestimmung des richtigen Optionswertes - 7a -

21 Ziel: Bestimmung des richtigen Optionswertes z.b. C t : Wert der Call-Option zur Zeit t [ ] Î 0, - 7b -

22 Ziel: Bestimmung des richtigen Optionswertes z.b. C t : Wert der Call-Option zur Zeit t [ ] Î 0, Es gilt am Verfalltag t = : - 7c -

23 Ziel: Bestimmung des richtigen Optionswertes z.b. C t : Wert der Call-Option zur Zeit t [ ] Î 0, Es gilt am Verfalltag t = : ( ) ( ) C = max - ;0 = - - 7d -

24 Beispiel: p = 0,4 = = p = 0,6 - = 80-8a -

25 Beispiel: = 5% = i 110 p = 0,4 = 130 = 20 C 0 = = 0,6 p - = 80 - = 0 C - 8b -

26 Beispiel: = 5% = i 110 p = 0,4 = 130 = 20 C 0 = = 0,6 p - = 80 - = 0 C Callpreis nach Erwartungswert-Prinzip ( faires piel): C 0 = E[ v C ] - 8c -

27 Beispiel: = 5% = i 110 p = 0,4 = 130 = 20 C 0 = = 0,6 p - = 80 - = 0 C Callpreis nach Erwartungswert-Prinzip ( faires piel): 0 = E[ v C] = v p C = v p ( - ) C - 8d -

28 Beispiel: = 5% = i 110 p = 0,4 = 130 = 20 C 0 = = 0,6 p - = 80 - = 0 C Callpreis nach Erwartungswert-Prinzip ( faires piel): 0,4 20 C 0 = E[ v C] = v p C = v p ( - ) = =7,62 1,05-8e -

29 Analyse: C 0 = 7,62 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9a -

30 Analyse: C 0 = 7,62 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9b -

31 Analyse: C 0 = 7,62 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9c -

32 Analyse: C 0 = 7,62 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9d -

33 Analyse: C 0 = 7,62 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9e -

34 Analyse: C 0 = 7,62 Aktion t = 0 t = Kontobewegung > - < Arbitrage-Möglichkeit! Leerverkauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Kauf 5 Call-Optionen 38,10 100,00 0,00 Kredit vergeben 161,90 170,00 170,00 aldo 0,00 10,00 10,00-9f -

35 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10a -

36 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10b -

37 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10c -

38 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10d -

39 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10e -

40 A nalyse: höherer Preis C 0 = 12 Aktion t = 0 t = Kontobewegung > Arbitrage-Möglichkeit! - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 60,00 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 140,00 147,00 147,00 aldo 0,00 13,00 13,00-10f -

41 A nalyse: richtiger Preis C 0 =? t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 Verkauf m Call-Optionen Kredit aufnehmen ( n -m C ) n - n r ( n -m C ) -r ( n -m C ) aldo 0,00 0,00 0,00-11a -

42 A nalyse: richtiger Preis C 0 =? t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 n - n Verkauf m mc 0 -m ( -) 0,00 Call-Optionen Kredit aufnehmen ( n -m C ) -r ( n -m C ) -r ( n -m C ) aldo 0,00 0,00 0,00-11b -

43 A nalyse: richtiger Preis C 0 =? t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 n - n Verkauf m mc 0 -m ( -) 0,00 Call-Optionen Kredit aufnehmen ( n -m C ) -r ( n -m C ) -r ( n -m C ) aldo 0,00 0,00 0,00-11c -

44 A nalyse: richtiger Preis C 0 =? t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 n Verkauf m Call-Optionen - n mc 0 -m ( -) 0,00 Kredit aufnehmen ( n -m C ) -r ( n -m C ) -r ( n -m C ) aldo 0,00 0,00 0,00 Notwendige Bedingung: n n m ( ) - = d - Hedge Ratio h Call n - = = und m - - C h v - 0 = Call ( 0- )

45 A nalyse: richtiger Preis C 0 =? Aktion t = 0 t = Kontobewegung > - < Kauf n Aktien - -n 0 n n Verkauf m 0 Call-Optionen mc Lösung ist unabhängig -m ( -) von p! 0,00 Kredit aufnehmen ( n -m C ) -r ( n -m C ) -r ( n -m C ) aldo 0,00 0,00 0,00 Notwendige Bedingung: n n m ( ) - = e - Hedge Ratio h Call n - = = und m - - C h v - 0 = Call ( 0- )

46 Probe: C 0 = 9,52 t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf 2 Aktien 200,00 260,00 160,00 Verkauf 5 Call-Optionen 47,60 100,00 0,00 Kredit aufnehmen 152,40 160,00 160,00 aldo 0,00 0,00 0, h Call - = = C0 = hcall ( 0-v ) = = 9,52 5 1,05

47 Analyse für Put-Preis: richtiger Preis P 0 =? t = 0 t = Aktion Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 n Kauf m Put-Optionen -mp 0 0,00 - n m - - ( ) Kredit aufnehmen ( n m P ) -r ( n m P ) -r ( n m P ) aldo 0,00 0,00 0,00 Notwendige Bedingung: n = n m ( - ) a - Hedge Ratio h Put - n - = = und m - - P h ( v ) 0 = Put - 0

48 Analyse für Put-Preis: richtiger Preis P 0 =? Aktion t = 0 t = Kontobewegung > - < Kauf n Aktien -n 0 n n - Kauf Lösung m ist unabhängig - -mp 0 von p! 0,00 m ( - ) Put-Optionen Kredit aufnehmen ( n m P ) -r ( n m P ) -r ( n m P ) aldo 0,00 0,00 0,00 Notwendige Bedingung: n = n m ( - ) b - Hedge Ratio h Put - n - = = und m - - P h ( v ) 0 = Put - 0

49 Beobachtung: - 14a -

50 Beobachtung: Für die Hedge Ratios gilt: h Call - - hput = = b -

51 Beobachtung: Für die Hedge Ratios gilt: h Call - - hput = = Optionspreise sind genau dann positiv, wenn - < r < gilt, 0 d.h. wenn positive Kursbewegungen potenziell mehr Gewinn erzielen als die risikolose Geldanlage - 14c -

52 Beobachtung: Für die Hedge Ratios gilt: h Call - - hput = = Optionspreise sind genau dann positiv, wenn - < r < gilt, 0 d.h. wenn positive Kursbewegungen potenziell mehr Gewinn erzielen als die risikolose Geldanlage Bei Arbitrage-freien (fairen) Optionspreisen ist durch keine mengenmäßige Kombination von Derivaten eine Arbitragemöglichkeit gegeben - 14d -

53 Beobachtung: Für die Hedge Ratios gilt: h Call - - hput = = Optionspreise sind genau dann positiv, wenn - < r < gilt, 0 d.h. wenn positive Kursbewegungen potenziell mehr Gewinn erzielen als die risikolose Geldanlage Bei Arbitrage-freien (fairen) Optionspreisen ist durch keine mengenmäßige Kombination von Derivaten eine Arbitragemöglichkeit gegeben Die Arbitrage-freien (fairen) Optionspreise hängen nicht von p ab! - 14e -

54 Aber: Äquivalentes Erwartungswertprinzip: Im Fall von - < r < gilt 0 r - 0< p = = 1- < 1 - * 0 * q a -

55 Aber: Äquivalentes Erwartungswertprinzip: Im Fall von - < r < gilt 0 mit r - 0< p = = 1- < 1 - * 0 * q - - C 0 - = h ( -v ) = E Call 0 [ v ] C = v p C * * - 15b -

56 Aber: Äquivalentes Erwartungswertprinzip: Im Fall von - < r < gilt 0 mit r - 0< p = = 1- < 1 - * 0 * q - - C 0 - = h ( -v ) = E Call 0 [ v ] C = v p C * * P 0 = h ( v ) = E Put * - 0 [ v P ] = v q P * c -

57 Aber: Äquivalentes Erwartungswertprinzip: Im Fall von - < r < gilt 0 r - 0< p = = 1- < 1 - * 0 * q - - mit dem Arbitrage-freien Preis D 0 * * - [ v D] = v ( D ) * = E p D q für jedes beliebige Derivat D!

58 Modellerweiterung: Mehrere aufeinander folgende Perioden (Binomialbaum-Modell von Cox-Ross-Rubinstein) Grenzübergang mit unendlich vielen infinitesimal kleinen Perioden (Black-choles-Modell; geometrische Brown sche Bewegung)

59 imulation des Grenzprozesses (geometrische Brownsche Bewegung) - 18a -

60 imulation des Grenzprozesses (geometrische Brownsche Bewegung) Wochengang DA - 18b - olche Funktionen sind überall stetig, aber nirgends differenzierbar!

61 Ausblick: Preisfindung für o nicht Arbitrage-freie (unvollständige) Märkte o allgemeinere Finanzprodukte (z.b. CDO s, waps) o Alternativer Risikotransfer (Katastrophen-Optionen) o Derivate an Energiebörsen o Realoptionen Modellierung von Zinsstrukturkurven Asset-Liability-Management

62 Aktien, Derivate, Arbitrage: Eine Einführung in die moderne Finanzmathematik Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Institut für Mathematik chwerpunkt Versicherungs- und Finanzmathematik

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