Finanzierung und Investition

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1 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 1/46 Finanzierung und Investition Kruschwitz/Husmann (2012) Oldenbourg Verlag München 7. Auflage, Kapitel 7

2 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 2/46 7 Optionspreistheorietheorie 7.1 Grundbegriffe 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen 7.3 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell 7.4 Binomial-Modell 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln 7.6 Bewertung der konstanter relativer Risikoaversion 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

3 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 3/46 q S 0 u S 0 1 q S 0 d 0 1 t Abbildung 7.1: Bernoulliprozess 7 Optionspreistheorietheorie 7.1 Grundbegriffe

4 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 4/46 S 0 q 1 q S 0 u1d0 S 0 u 2 d 0 S 0 u 1 d 1 S 0 u 0 d 1 S 0 u 0 d 2 S 0 u 3 d 0 S 0 u 2 d 1 S 0 u 1 d 2 S 0 u 0 d t Abbildung 7.2: Binomialprozess 7 Optionspreistheorietheorie 7.1 Grundbegriffe

5 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 5/46 C T K S T Abbildung 7.3: Payoff-Diagramm eines europäischen Calls 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

6 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 6/46 P T K S T Abbildung 7.4: Payoff-Diagramm eines europäischen Puts 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

7 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 7/46 Tabelle 7.1: Arbitrage mit einem Call, wenn C t > S t ist t S T K T ST > K Kauf einer Aktie S t ST ST Verkauf eines Calls C t 0 ( S T K) Portfolio C t S t ST K Vorzeichen > Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

8 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 8/46 Tabelle 7.2: Arbitrage mit einem Call, wenn C t < 0 ist t T S T K S T > K Kauf eines Calls C t 0 ST K Vorzeichen > 0 0 > 0 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

9 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 9/46 Tabelle 7.3: Arbitrage mit einem Call, wenn C t < S t K(1 + r f ) (T t) ist t S T K T S T > K Leerverkauf einer Aktie S t S T S T risikolose Geldanlage K(1 + r f ) (T t) K K Kauf eines Calls C t 0 ST K Portfolio S t K(1 + r f ) (T t) C t K S T 0 Vorzeichen > 0 0 = 0 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

10 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 10/46 C T K (1+r f ) T t K S T Abbildung 7.5: Bereich zulässiger Werte eines europäischen Calls 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

11 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 11/46 Tabelle 7.4: Arbitrage mit einem Put, wenn P t > K(1 + r f ) (T t) ist t T S T K S T > K Verkauf eines Puts P t (K S T ) 0 risikolose Geldanlage K(1 + r f ) (T t) K K Portfolio P t K(1 + r f ) (T t) ST K Vorzeichen > Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

12 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 12/46 Tabelle 7.5: Arbitrage mit einem Put, wenn P t < 0 ist t T S T K S T > K Kauf eines Puts P t K S T 0 Vorzeichen > Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

13 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 13/46 Tabelle 7.6: Arbitrage mit einem Put, wenn P t < K(1 + r f ) (T t) S t ist t S T K T S T > K risikoloser Kredit K(1 + r f ) (T t) K K Kauf einer Aktie S t ST ST Kauf eines Puts P t K S T 0 Portfolio K(1 + r f ) (T t) S t P t 0 ST K Vorzeichen > 0 = 0 > 0 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

14 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 14/46 K K (1+r f ) T t P T K (1+r f ) T t K S T Abbildung 7.6: Bereich zulässiger Werte eines Puts 7 Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

15 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 15/46 Tabelle 7.7: Arbitrage mit zwei Calls, wenn C t (K 1 ) < C t (K 2 ) ist t T S T K 1 K 2 K 1 < S T K 2 K 1 K 2 < S T Kauf eines Calls mit K 1 C t (K 1 ) 0 ST K 1 ST K 1 Verkauf eines Calls mit K 2 C t (K 2 ) 0 0 ( S T K 2 ) Portfolio C t (K 2 ) C t (K 1 ) 0 ST K 1 K 2 K 1 Vorzeichen > 0 = 0 > Optionspreistheorietheorie 7.2 Payoff-Funktionen und Wertgrenzen einfacher Optionen

16 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 16/46 Tabelle 7.8: Kaufoption im Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell Titel Cashflow im Zustand Preis Aktienkurs up Aktienkurs down Aktie Anleihe Kaufoption 15 0 C 0 =? 7 Optionspreistheorietheorie 7.3 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell

17 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 17/46 Tabelle 7.9: Kaufoption und äquivalentes Portfolio Titel Menge Cashflow im Zustand Preis Aktienkurs up Aktienkurs down Aktie 0, ,00 95,00 100,00 Anleihe 0, ,00 95,00 90,48 Portfolio 15,00 0,00 9,52 7 Optionspreistheorietheorie 7.3 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell

18 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 18/46 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell (S. 299) C 0 = r f ( ϕ C u + (1 ϕ) C d ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.3 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell

19 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 19/46 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell (S. 301) P 0 = r f ( ϕ P u + (1 ϕ) P d ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.3 Zwei-Zeitpunkte-Zwei-Zustände-Modell

20 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 20/46 S 0 u = 220 S 0 uu = 242,0 S 0 = 200 S 0 d = 190 S 0 ud = 209,0 S 0 du = 209,0 S 0 dd = 180, t Abbildung 7.7: Binomialprozess eines Aktienkurses 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

21 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 21/46 C uu = 37 C 0 =? C u =? C d =? C ud = 4 C du = 4 C dd = t Abbildung 7.8: Kaufoption im Binomialmodell 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

22 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 22/46 C u = 24,76 C uu = 37 C ud = t Abbildung 7.9: Ausschnitt aus dem Binomialmodell 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

23 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 23/46 Tabelle 7.10: Finanzkontrakte in einem Drei-Zeitpunkte-Modell Kontrakt Cashflows im Zeitpunkt Preis t = 1 t = 2 beim Zustand u d uu ud du dd Kassa Aktie Kassa Anleihe Termin Aktie ,00 209,00 0 Termin Anleihe ,25 110,25 0 Termin Aktie ,00 180,50 0 Termin Anleihe ,25 110, Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

24 Binomial-Modell (S. 315) Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 24/46 C 0 = S 0 Bi(a n,ϕ ) K 1 (1 + r f ) n Bi(a n,ϕ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

25 Binomial-Modell (S. 316) Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 25/46 P 0 = K 1 ( ) ( ) (1 + r f ) n 1 Bi(a n,ϕ) S 0 1 Bi(a n,ϕ ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

26 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 26/46 Tabelle 7.11: Portfolio zur Put-Call-Parität Cashflows im Zeitpunkt T S T > K ST K Preis Aktie ST ST S 0 Call ( S T K) 0 C 0 Put 0 (K S T ) P 0 Anleihe K K K(1 + r f ) T Portfolio 0 0 S 0 C 0 + P 0 K(1 + r f ) T 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

27 Put-Call-Parität (S. 319) Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 27/46 S 0 C 0 + P 0 K (1 + r f ) T = 0 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

28 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 28/46 P uu = 0,00 P a 0 = 4,76 P a 0 = 5,00 P a u = 0,00 P a u = 15,00 P a d = 7,78 P a d = 15,00 P ud = 0,00 P du = 0,00 P dd = 24, t Abbildung 7.10: Retrograde Bewertung eines amerikanischen Puts 7 Optionspreistheorietheorie 7.4 Binomial-Modell

29 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 29/46 Black-Scholes-Formeln (S. 325) C 0 = S 0 N(d 1 ) K e r f τ N(d 2 ) mit d 1 = ln(s 0/K) + r f τ σ2 sτ σ s τ d 2 = ln(s 0/K) + r f τ 1 2 σ2 sτ σ s τ = d 1 σ s τ 7 Optionspreistheorietheorie 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln

30 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 30/46 Black-Scholes-Formeln (S. 326) P 0 = K e r f τ N( d 2 ) S 0 N( d 1 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.5 Vom Binomial-Modell zu der Black-Scholes-Formeln

31 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 31/46 Greek Letters: Delta Call (S. 331) c := C 0 S 0 = N(d 1 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

32 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 32/46 Greek Letters: Delta Put (S. 331) p := P 0 S 0 = N(d 1 ) 1 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

33 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 33/46 c, p 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 K Call Put S 0 Abbildung 7.11: Delta 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

34 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 34/46 Greek Letters: Gamma (S. 333) Γ := 2 C 0 S 2 0 = 2 P 0 S 2 0 = N (d 1 ) S 0 σ s τ 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

35 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 35/46 Γ K S 0 Abbildung 7.12: Gamma 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

36 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 36/46 Greek Letters: Theta Call (S. 334) Θ c := C 0 τ = S 0N (d 1 )σ s 2 τ r f Ke r f τ N(d 2 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

37 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 37/46 Greek Letters: Theta Put (S. 334) Θ p := P 0 τ = S 0N (d 1 )σ s 2 τ + r f Ke r f τ N( d 2 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

38 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 38/46 Θ c, Θ p K Put Call S 0 Abbildung 7.13: Theta 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

39 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 39/46 Greek Letters: Lambda (S. 335) Λ := C 0 σ s = P 0 σ s = S 0 τ N (d 1 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

40 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 40/46 Λ K S 0 Abbildung 7.14: Lambda 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

41 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 41/46 Greek Letters: Rho Call (S. 337) P c := C 0 r f = τ K e r f τ N(d 2 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

42 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 42/46 Greek Letters: Rho Put (S. 337) P p := P 0 r f = τ K e r f τ N( d 2 ) 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

43 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 43/46 P c, P p Call K Put S 0 Abbildung 7.15: Rho 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

44 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 44/ V s Abbildung 7.16: Ungesicherte Position 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

45 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 45/ V s Abbildung 7.17: Delta-Hedge 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

46 Kruschwitz/Husmann (2012) Finanzierung und Investition 46/ V s Abbildung 7.18: Delta-Gamma-Hedge 7 Optionspreistheorietheorie 7.7 Sensitivitätsmaße für Optionspreistheoriee (Greek Letters)

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