Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte)

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1 Aufgabe 1: Bewertung von Optionen (48 Punkte) Am arbitragefreien Kapitalmarkt werden europäische und amerikanische nicht dividendengeschützte Verkaufsoptionen auf eine Aktie mit einer Restlaufzeit von jeweils genau 18 Monaten gehandelt. Der Basiswert der Kaufoptionen ist eine Aktie, deren logarithmierter Kurs normalverteilt ist und die im Zeitpunkt t = 0 zum Preis 50 GE gekauft werden kann. Der Basispreis K der Kaufoptionen wurde auf 60 GE festgelegt. Aus historischen Quartalsrenditen wurde für die Vierteljahres-Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von 0,3 ermittelt. Der sichere Kapitalmarktzins liegt bei 10% per annum. Beachten Sie im Bedarfsfall die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden Formeln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt: bei Aufwärtsbewegungen: / bei Abwärtsbewegungen: Dabei ist die Euler sche Zahl und n gibt die Anzahl der Binomialschritte an. Für den Aufzinsungsfaktor der sicheren Kapitalmarktanlage pro Binomialschritt gilt dann: 1 / Die für die folgenden Berechnungen erforderlichen Werte der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung können Sie der am Ende dieser Aufgabe abgedruckten Tabelle entnehmen. a) Berechnen Sie mit Hilfe der Black/Scholes-Formel den theoretischen Wert einer europäischen Verkaufsoption in 0 unter der Voraussetzung, dass während der Laufzeit der Option keine Rechte aus der Aktie abließen! (6 Punkte) b) Bewerten Sie nun eine amerikanische Verkaufsoption in 0 unter der Annahme, dass der Aktienkurs des Basistitels einem Binomialprozess mit vier Schritten folgt! Geben Sie für jeden Knotenpunkt des Binomialbaumes die entsprechenden Aktienkurs- bzw. Optionswerte an! Markieren Sie den Verlauf der Front, an der sich die Vorteilhaftigkeit der beiden Strategien Durchhalten und Sofortausübung umkehrt! Berechnen Sie unter Rückgriff auf das Binomialmodell (näherungsweise) den Wert des Rechts auf vorzeitige Ausübung! Gehen Sie weiterhin davon aus, dass aus dem Basistitel während der Laufzeit der Option keine Dividenden abfließen! Hinweis: Es genügt, wenn Sie alle für die Rechnung benötigten Größen sowie die errechneten Aktienkurs- und Optionswerte jeweils mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen angeben. (14 Punkte) c) Gehen Sie davon aus, dass neben den gehandelten Verkaufsoptionen zusätzlich europäische und amerikanische Kaufoptionen am Markt gehandelt werden. Der Basispreis und die Restlaufzeit der Kaufoptionen stimmen mit denen für Verkaufsoptionen überein. Erläutern Sie die sogenannte Put-Call-Parität und ermitteln Sie den Wert einer europäischen dividendengeschützten Kaufoption unter Anwendung der Put-Call-Parität! Seite 1 von 5

2 Lässt sich mit Hilfe der Put-Call-Parität auch der Wert einer amerikanischen Kaufoption ermitteln? Begründen Sie Ihre Antworten! (6 Punkte) d) Es sei nun öffentlich bekannt, dass in genau 9 Monaten mit Sicherheit eine Dividende in Höhe von 5 GE je Aktie ausgezahlt wird. Ermitteln Sie durch Berechnung von zwei Black/Scholes-Werten eine möglichst nahe am exakten Wert liegende Untergrenze für den modellmäßig exakten Wert einer amerikanischen Kaufoption aus Teilaufgabe c) im Zeitpunkt 0. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise kurz verbal und prüfen Sie, ob das Ergebnis nur eine Untergrenze darstellt! Gehen Sie bei Ihren Betrachtungen davon aus, dass jetzt der ex-kurs lognormalverteilt ist und die Vierteljahres-Volatilität des ex- Kurses bei 0,3 liegt! Wie hoch müsste bei Zugrundelegung dieser Annahme die Volatilität des cum-kurses in etwa sein? (14 Punkte) e) Die Kaufoptionen aus c) werden nun dahingehend modifiziert, dass der Bezugspreis einer Aktie im Ausübungszeitpunkt T der Kaufoption an die Entwicklung eines bezugsrechts- und dividendenbereinigten Marktindex gekoppelt ist und im Ausübungszeitpunkt dem Aktienkurs entspricht, d.h.. Der Bezugspreis am Ende der Laufzeit ergibt sich durch Multiplikation des Basispreises im Ausgabezeitpunkt der indexierten Option mit dem Aufzinsungsfaktor des Marktindex im Zeitraum zwischen Ausgabe und Ausübung der Option. Der logarithmierte Indexstand ist normalverteilt und seine jährliche, aus historischen Daten geschätzte Volatilität betrage 0,45. Der Korrelationskoeffizient, der die statistische Abhängigkeit der logarithmierten Aufzinsungsfaktoren des Aktienkurses und des Indexstandes pro Zeiteinheit zum Ausdruck bringt, beträgt 0,75. Ermitteln Sie den Wert einer indexierten, dividendenbereinigten Kaufoption im Ausgabezeitpunkt 0 unter Verwendung des Black/Scholes-Modells und vergleichen Sie diesen mit dem Wert einer nicht indexierten, dividendenbereinigten europäischen Kaufoption! Wertetabelle der Standardnormalverteilung x N(x) x N(x) 0,6171 0,7314 0,0211 0,5084 0,5125 0,6958-0,0911 0,4637 0,4589 0,6768-0,2489 0,4017 0,4210 0,6631-0,3139 0,3768 0,3139 0,6232-0,3267 0,3719 0,1550 0,5616-0,3536 0,3618 0,1308 0,5520-0,3397 0,3670 0,1272 0,5506-0,4985 0,3091 0,0527 0,5210-0,6107 0,2707 N(x) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, d.h. N(x) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Zudem gilt: N(-x) = 1- N(x) Seite 2 von 5

3 Aufgabe 2: Bewertung von Finanzinstrumenten (48 Punkte) Teil I: Bewertung von Optionen im Binomialmodell Gehen Sie bei der Beantwortung der Aufgaben von den im folgenden genannten Annahmen aus. Am Kapitalmarkt herrsche vollständige Konkurrenz und Arbitragefreiheit. Investoren verhalten sich rational. Leerverkäufe von Aktien sind zulässig und die Aktien sind beliebig teilbar. Transaktionskosten und Steuern sind zu vernachlässigen. Eine Kauf- bzw. Verkaufsoption berechtigt zum Bezug einer Aktie. Der Kurs einer Aktie folge einem multiplikativen binomialen diskreten Prozess. Während eines Prozessschrittes steige der Kurs der Aktie mit der Wahrscheinlichkeit q auf das u-fache bzw. sinke mit der Wahrscheinlichkeit (1-q) auf das d-fache, wobei 1,25 und 0,75 gilt. Aufeinander folgende Kursbewegungen sind statistisch unabhängig. Im Zeitpunkt 0 existieren amerikanische Kaufoptionen auf diese Aktie mit dem Basiskurs 200 GE und einer Restlaufzeit von genau 36 Monaten. In 0 betrage der Kurs der Aktie 240 GE. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahme betrage einheitlich 10 Prozent pro Dreivierteljahr. a) Berechnen Sie unter Zugrundelegung eines 4-stufigen Binomialprozesses den Wert einer Kaufoption in 0 unter der Voraussetzung, dass keine Dividende gezahlt wird! b) Bestimmen Sie für eine der in Teilaufgabe a) bewerteten Kaufoptionen bezogen auf den Zeitpunkt 0 die Zusammensetzung eines zur Option äquivalenten Portfolios. Leiten Sie die dazu erforderlichen Formeln allgemein her! Welche Anpassungen dieses Portfolios müssen in 1 und 2 vorgenommen werden, damit es weiterhin zur Option äquivalent ist? Gehen Sie dabei davon aus, dass zwischen 0 und 1 eine günstige und zwischen 1 und 2 eine ungünstige Aktienkursentwicklung eintritt. Geben Sie eine verbale Beschreibung der Portfolioumschichtungen! c) Berechnen Sie wiederum unter Zugrundelegung eines 4-stufigen Binomialprozesses den Wert einer nicht dividendengeschützten amerikanischen Kaufoption in 0 unter der Voraussetzung, dass aus dem Basistitel unmittelbar (eine logische Sekunde) nach Ablauf von 27 Monaten eine sichere Dividende in Höhe von 39,93 GE gezahlt wird. Dementsprechend folgt der fiktive und später der tatsächliche ex-kurs dem eingangs beschriebenen multiplikativen stochastischen Prozess. Der cum-kurs liegt um die diskontierte Dividende über dem fiktiven ex-kurs, solange die Dividende noch nicht abgeflossen ist. 240 GE ist der tatsächliche cum- Aktienkurs in 0. Stellen Sie zunächst die Entwicklung des Aktienkurses graphisch dar und berechnen Sie dann für jeden Knotenpunkt ihrer Darstellung die entsprechenden Aktienkurs- bzw. Optionswerte! Geben Sie den Wert des Rechts auf vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Kaufoption an! (12 Punkte) Seite 3 von 5

4 Teil II: Unternehmensfinanzierung Ein Unternehmen hat im Gründungszeitpunkt (t = 0) einen Marktwert (Gesamtwert des Eigen- und Fremdkapitals) von 250 Mio. GE. Die Forschungs- und Entwicklungsphase besteht aus einem vierstufigen Prozess (t = 1 bis 4); nach Beendigung der letzten Stufe soll das Unternehmen zum jeweiligen Marktwert liquidiert werden. Jede dieser vier Zwischenstufen, die jeweils genau ein Jahr dauern, kann günstig oder ungünstig verlaufen; dies ist unabhängig davon, ob die vorhergehende Prozessstufe erfolgreich war. Im günstigen Fall verdoppelt sich der Unternehmenswert bezogen auf die vorhergehende Stufe, ansonsten halbiert er sich. Daraus ergibt sich, dass die Entwicklung des Unternehmenswertes einem binomialen stochastischen Prozess folgt. Der gesamte für die Gründung notwendige Investitionsbetrag wurde durch die Emission von Aktien und Schuldverschreibungen an einer deutschen Börse finanziert. Die Unternehmensgründer wollen mangels Eigenkapital den gesamten Investitionsbetrag durch die Ausgabe von Schuldverschreibungen und Stück Aktien an einer deutschen Börse unmittelbar nach Unternehmensgründung finanzieren. Dabei ist zu berücksichtigen, dass während der Forschungs- und Entwicklungsphase den Aktionären keine Dividende gezahlt werden soll. Im Übrigen verzinsen sich alternative sichere Anlagen zu 25 % p.a. Es ist nun Ihre Aufgabe, die Fremd- und Eigenkapitaltitel des Unternehmens zu bewerten. d) Die Unternehmensgründer erwägen Stück Optionsschuldverschreibungen mit einem Nominalwert von 1250 GE zu begeben, auf die vor der Endfälligkeit keine Zinsen gezahlt werden müssen (Options-Zero-Bond). Die Zero-Bonds werden in t = 4 zum Nennwert eingelöst und sind bis dahin für Gläubiger und Schuldner unkündbar. Von jedem Zero-Bond kann nach der Emission ein Optionsschein abgetrennt werden, so dass man zwei selbständig handelbare Papiere erhält. Als Inhaber eines solchen Optionsscheins besitzt man das Recht, fünf Aktien des Unternehmens zum Preis von je 65 GE zu kaufen. Mit der Ausübung des Optionsrechts kann der Optionsscheininhaber abwarten, bis das Ergebnis der 4. Stufe bekannt ist. Bei Ausübung der Option fließt der Kaufpreis dem Unternehmen zu, das seinerseits dafür zusätzliche Aktien emittiert, die den Altaktien bei der Verteilung des Liquidationserlöses gleichgestellt sind. Zu welchem Kurs könnten nunmehr die Aktien und die Options-Zero-Bonds emittiert werden? Wie hoch wäre die erwartete und wie hoch die nominelle Verzinsung der Options-Zero-Bonds? Wie ist die Differenz zwischen der nominellen und der erwarteten Verzinsung der Optionsschuldverschreibungen zu erklären? (20 Punkte) Seite 4 von 5

5 Aufgabe 3: Verständnisfragen (24 Punkte) a) Wie ist die Black/Scholes-Formel zu modifizieren, falls die Option zum Basispreis K nur ausgeübt werden darf, wenn der Aktienkurs bei Fälligkeit über der Hürde liegt? Was lässt sich für den Fall sagen, dass es genügt, wenn der Aktienkurs irgendwann während der Laufzeit der Option die Hürde H überwunden hat? b) Erläutern Sie anhand einer Skizze das optimale Ausübungsverhalten im Falle einer amerikanischen Verkaufsoption! (3 Punkte) c) Was versteht man unter Stationarität? Wie ist die Black/Scholes-Formel zu modifizieren, wenn die Stationaritätsannahme hinsichtlich der Volatilität verletzt ist? Gehen Sie davon aus, dass die Entwicklung der Volatilität im Zeitablauf durch die stetige Funktion zum Ausdruck gebracht werden kann. (5 Punkte) d) Für eine normalverteilte stochastische Variable ergibt sich im Zeitablauf ein Erwartungswert und eine Varianz, wobei und den Erwartungswert- bzw. Varianz-Zuwachs pro Zeiteinheit bezeichnen. Wie entwickelt sich der Erwartungswert der stochastischen Größe im Zeitablauf? Begründung! (4 Punkte) e) Unmittelbar vor Fälligkeit einer Aktiendividende muss der Inhaber einer Option auf die betreffende Aktie entscheiden, ob er die Option vorzeitig ausübt. Dies ist grundsätzlich dann der Fall, wenn der aktuelle Aktienkurs einen kritischen Kurs überschreitet. Wie ändert sich der kritische Aktienkurs mit der Höhe der Dividende? Gibt es immer einen kritischen Kurs? Ab wann gibt es keinen kritischen Aktienkurs mehr und was passiert mit dem kritischen Aktienkurs, wenn sich die Dividende dem Wert nähert, ab dem es keinen kritischen Aktienkurs mehr gibt? (4 Punkte) Seite 5 von 5

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