Scheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik

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1 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik 9. März 27 Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 4 Punkte erreicht. Als Hilfsmittel sind nur zwei selbst erstellte DIN A4 Seiten sowie ein nicht programmierbarer Taschenrechner zugelassen! Aufgabe (6) 2 (6) 3 (7) 4 (7) 5 (7) 6 (7) (4) Punkte Korrektor Gesamtpunktzahl Note

2 Aufgabe (6 Punkte) Die Keimfähigkeit einer Sorte einer gartenbaulichen Kultur sei 8%, es gelte also P ( Samen keimt ) =.8. Die Keimfähigkeit eines Samens ist unabhängig von der Keimung jedes anderen Samens. Es werden 4 (durchnummerierte) Samen untersucht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: a) Alle 4 Samen keimen. b) Der. und der 2. Samen keimen, der 3. und der 4. Samen keimen nicht. c) Zwei Samen keimen und zwei keimen nicht. d) Ein Samen keimt und drei keimen nicht. e) Alle 4 Samen keimen nicht. f) Mindestens ein Samen keimt. g) Der. Samen keimt unter der Bedingung, dass mindestens ein Samen keimt. Lösung zu Aufgabe Wir definieren die Ereignisse A i = der i. Samen keimt, i =,..., 4. A, A 2, A 3, A 4 sind stochastisch unabhängig, und es gilt: P (A i ) =.8, P (A c i) =.8 =.2 (i =,..., 4). Bezeichnet X die Anzahl der keimenden Samen unter den 4, so gilt X Bin(4,.8). a) P (A A 2 A 3 A 4 ) = P (A ) P (A 2 ) P (A 3 ) P (A 4 ) = (.8) 4 =.496 b) P (A A 2 A c 3 Ac 4 ) = P (A ) P (A 2 ) ( P (A 3 )) ( P (A 4 )) =.256 c) P (X = 2) = ( 4) =.536 d) P (X = ) = ( 4) =.256 e) P (X = ) =.2 4 =.6.5 P f) P (X ) = P (X = ) = P g) P (A {X }) = P (A {X }) P (X ) = P (A ) P (X ) = =.82

3 Aufgabe 2 (6 Punkte) Tom will im Karlsruher Zoo zur Eisbärenanlage. Er kann hierfür nach rechts (richtiger Weg) oder nach links (falscher Weg) gehen. Fragt er einen Besucher des Zoos mit Tageskarte nach dem Weg dorthin, so erhält er mit Wahrscheinlichkeit 2/3 die richtige Antwort und mit Wahrscheinlichkeit /3 eine falsche Antwort. Fragt er einen Dauerkartenbesitzer nach dem Weg dorthin, so erhält er stets die richtige Antwort. Antworten und Eintrittskarten von verschiedenen Personen sind unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig angesprochene Person eine Dauerkarte besitzt, sei /. a) Zeichnen Sie das zu dem 2-stufigen Experiment gehörende Baumdiagramm, und tragen Sie die Start- und Übergangswahrscheinlichkeiten ein. b) Tom fragt einen Besucher B nach dem Weg zur Eisbärenanlage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er eine richtige Antwort? c) Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Besucher B eine Dauerkarte besitzt, wenn er die richtige Antwort gegeben hat? d) Tom fragt einen weiteren Besucher B2 nach dem Weg zur Eisbärenanlage. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geben B und B2 dieselbe Antwort? Lösung zu Aufgabe 2 a) D := Dauerkarte, T := Tageskarte, R := Antwort richtig, F := Antwort falsch,.5 P D Start R T R 6 3 F 3 b) Der Index beziehe sich auf B. Aus obigem Diagramm lesen wir ab P (R ) = P (D R ) + P (T R ) = + 6 = 7..5 P c) Unser Diagramm und Teil a) liefern P (D R ) = P (D R ) P (R ) = / 7/ = 7.

4 d) Der Index 2 beziehe sich auf B2. Es sei C das Ereignis, dass B und B2 dieselbe Antwort geben. Analog zu a) gilt P (R 2 ) = 7. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnet sich wegen der Unabhängigkeit von R und R 2 bzw. F und F 2 zu 2 P P (C) = P (R R 2 ) + P (F F 2 ) = P (R )P (R 2 ) + P (F )P (F 2 ) = ( ) 7 2 ( ) = = 58.

5 Aufgabe 3 (7 Punkte) Sei X exponentialverteilt mit Parameter λ >, d.h. X besitze die Dichte f(x) = λe λx, x >. a) Bestimmen Sie den Median von X. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und Dichte der Zufallsvariablen Y := e αx, α >. c) Berechnen Sie den Erwartungswert von Y im Fall < α < λ. Lösung zu Aufgabe 3 a) Die Verteilungsfunktion F von X ist gegeben durch F (x) = e λx, x >, 2 P und F (x) = für x. Wegen F (x) = 2 e λx = 2 λx = log 2 x = λ log 2 berechnet sich der Median von X zu log 2 λ. b) Wegen X > ist Y = e αx >. Für t > gilt ( P (Y t) = P (αx log t) = P X log t ) α ( = exp λ log t ) α = t λ/α. 3 P Eine Dichte für Y ist folglich durch gegeben. f(t) := dp (Y t) dt {t > } = λ α t λ/α {t > } c) Nach der Transformationsformel für Erwartungswerte gilt für < α < λ EY = e αx λe λx dx = λe (λ α)x dx = λ λ α. 2 P

6 Aufgabe 4 (7 Punkte) Es sei (U, W ) ein zweidimensionaler Zufallsvektor mit Dichte f(u, w) = u w 2 e u/w {u>,<w<}. a) Zeigen Sie, dass U Exp() und W U(, ) gilt. b) Berechnen Sie die Kovarianz C(U, W ) und den Korrelationskoeffizienten ρ(u, W ) zwischen U und W. Hinweis: Sie können ohne Beweis E(UW ) = 2/3 und V (U) = verwenden. c) Sind U und W unabhängig? Lösung zu Aufgabe 4 a) Die Dichte f W von W ergibt sich durch f W (w) = u w 2 e u w du = xe x dx =, w (, ), 2.5 P und f W (w) = sonst. Somit ist W auf (, ) gleichverteilt. Ferner gilt für u > f U (u) = u w 2 e u w dw = Somit ist U exponentialverteilt mit Parameter. b) Für U Exp() bzw. W U(, ) gilt u e x dx = e u. EU =, EW = P Ferner ist folglich Somit E(W 2 ) = w 2 dw = 3, V (W ) = E(W 2 ) (EW ) 2 = 3 4 = 2. C(U, W ) = E(UW ) EUEW = = 6 und ρ(u, W ) = C(U, W ) V (U)V (W ) = = 3. c) Aus C(U, W ) folgt, dass U und W nicht unabhängig sind.

7 Aufgabe 5 (7 Punkte) Die Zufallsvariablen X,..., X n seien unabhängig und identisch verteilt mit ( ) ( ) k + r r r ( ) µ k P (X = k) =, k N. k r + µ r + µ Dabei ist r N bekannt und µ > unbekannt. a) Zeigen Sie, dass ˆµ n = n der Maximum-Likelihood-Schätzer für µ ist, falls n i= X i > ist. b) Ist ˆµ n erwartungstreu für µ? c) Berechnen Sie die Varianz von ˆµ n und die mittlere quadratische Abweichung d) Ist die Folge (ˆµ n ) n N konsistent für µ? n i= X i MQAˆµn (µ) = E µ (ˆµ n µ) 2. Hinweis: Sie können ohne Beweis E µ X = µ und V µ (X ) = µ(µ + r) r benutzen. Lösung zu Aufgabe 5 a) Für x = (x,..., x n ), wobei x,..., x n N, gilt: Folglich und sowie L x (µ) = = n ( ) ( ) xi + r r r ( ) µ xi x i= i r + µ r + µ ( ) r nr ( ) P n µ i= x i n ( ) xi + r. r + µ r + µ x i= i }{{} =:c log L x (µ) = nr(log r log(µ + r)) + n x i (log µ log(r + µ)) + log c i= d dµ log L x(µ) = nr n ( µ + r + µ = nr µ + r d 2 d 2 µ log L x( x n ) = i= ( + x n µ = r µ(µ+r) {}}{ ) x i µ + r ) = µ = x n, nr ) ( x n + r xn <, 4 P

8 falls x n >. Folglich ist ˆµ n := X n = n der gesuchte Maximum-Likelihood-Schätzer, falls n i= X i > ist. b) Wegen E µ Xn = µ ist ˆµ n erwartungstreu. n i= X i c) Die mittlere quadratische Abweichung stimmt wegen der Erwartungstreue von ˆµ n mit V µ (ˆµ n ) überein und es gilt MAQˆµn (µ) = V µ (ˆµ n ) = V µ(x ) µ(r + µ) =. n nr d) Die Folge (ˆµ n ) n N ist konsistent: Für ε > folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung für n. P µ ( ˆµ n µ ε) V µ(ˆµ n ) µ(r + µ) ε 2 = nrε 2 Alternativ folgt die Konsistenz direkt aus dem Schwachen Gesetz großer Zahlen.

9 Aufgabe 6 (7 Punkte) In einer Studie soll gezeigt werden, dass bei trainierten Personen der mittlere systolische Blutdruck niedriger als der Normalwert von 8mmHG ist. Dazu wird bei n Sportlern der Blutdruck gemessen, wobei wir annehmen, dass die Blutdruckwerte als Realisierungen unabhängiger Zufallsvariablen mit gleicher Normalverteilung N(µ, 6) modelliert werden können. a) Formulieren Sie eine geeignete Hypothese und Alternative und geben Sie ein Testverfahren basierend auf der Testgröße T n = n( X n 8)/4 an, das geeignet ist, die obige Behauptung statistisch nachzuweisen. Wie muss dabei der kritische Wert gewählt werden, wenn der Stichprobenumfang n = 3 und das Signifikanzniveau α = % betragen soll? b) Was ist das Testergebnis, wenn bei den 3 Sportlern x 3 =78mmHG gemessen wurde. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mit der in a) ermittelten Entscheidungsregel eine Fehlentscheidung getroffen, wenn im Fall n = 3 der mittlere systolische Blutdruck in Wirklichkeit 78mmHG beträgt? d) Was könnte der Leiter der Studie tun, um die Fehlerwahrscheinlichkeit in c) zu verringern? Einige Werte der Verteilungsfunktion Φ der Normalverteilung N(, ): t Φ(t) Lösung zu Aufgabe 6 a) Man muss als Hypothese H : ϑ 8 und als Alternative H : ϑ < 8 wählen. Nur dann ist bei Ablehnung von H die Aussage bei trainierten Personen ist der mittlere systolische Blutdruck niedriger als 8mmHG statistisch gesichert. Da kleine Werte von T n gegen H sprechen, und da T n unter H standardnormalverteilt ist, muss H zum Niveau α =. verworfen werden, wenn T n z. = Φ (.) = 2.33 ist. Andernfalls besteht kein Einwand gegen H. 2.5 P b) Wegen T 3 = 3( X 3 8)/4 = 2.74 < z. wird H wird auf dem % Niveau abgelehnt. c) Ist in Wirklichkeit µ = 78, so liegt eine Fehlentscheidung vor, wenn H nicht verworfen wird. ( ) n( Xn 8) P µ (Test verwirfth nicht) = P µ > z. 4 ( ) n( Xn 8) = P µ z. 4 ( ) 3( X3 78) 3(8 78) = P µ z = Φ( ) = Φ(.4) = P

10 d) Der Studienleiter könnte den Stichprobenumfang erhöhen, denn dann nimmt die Güte des Tests zu, es verringert sich also die Wahrscheinlichkeit, dass bei Vorliegen der Alternative die Hypothese H fälschlicherweise nicht abgelehnt wird. Eine weitere Möglichkeit wäre, den Fehler. Art anzuheben (etwa auf α = 5%).