Institut für Stochastik, SoSe K L A U S U R , 13:

Transkript

1 Institut für Stochastik, SoSe 2014 Mathematische Statistik Paravicini/Heusel 1. K L A U S U R , 13: Name: Geburtsdatum: Vorname: Matrikelnummer: Übungsgruppe bei: Studiengang & angestrebter Abschluss: Aufgabe Punkte erreichte Punkte Korrektur Hinweise: (i) Füllen Sie bitte das Deckblatt vollständig und lesbar aus. (ii) Nutzen Sie nur das beiliegende Papier. Schreiben Sie mit Kugelschreiber. (iii) Als Hilfsmittel ist bei der Bearbeitung der Aufgaben ein nicht programmierbarer Taschenrechner zugelassen. Beachten Sie auch die Normalverteilungstabelle auf der Rückseite der Klausur (iv) Schreiben Sie verständlich und in ganzen Sätzen; begründen Sie Ihre Rechnungen. (v) Aufgaben können auch in Teilen bearbeitet werden.

2 Aufgabe 1 (10 Punkte) Ein fairer sechsseitiger Würfel wird dreimal geworfen. (1) Geben Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) an, der die Situation darstellt. (2) Geben Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von Ω an und bestimmen Sie ihre Wahrscheinlichkeiten: a) Es werden drei verschiedene Zahlen gewürfelt. b) Es wird ein Dreier-Pasch gewürfelt. c) Es wird eine aufsteigende Straße gewürfelt. d) Die erste gewürfelte Zahl ist gerade. (3) Sind die Ereignisse aus a) und b) bzw. die Ereignisse aus a) und d) stochastisch unabhängig? Lösung, Aufgabe 1:

3 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 1:

4 Aufgabe 2 (8 Punkte) Sie sind Lehrer(in) an einem Münsteraner Gymnasium und nehmen mit Schülerinnen Ihrer sechsten Klasse an einem Fußballturnier teil. Das erste Spiel der Gruppenphase ist gerade vorbei, die Ergebnisse werden bekanntgegeben. Als nächstes spielt Ihr Team gegen eine Mannschaft vom Goethe-Gymnasium. Sie wissen, dass von dort zwei Mannschaften teilnehmen, eine A-Mannschaft, die sehr gut spielt, und eine B-Mannschaft, die nicht so stark ist. Sie wissen jedoch nicht, welche der beiden Mannschaften Ihr Gegner ist und welche in einer anderen Gruppe spielt. Vor dem Turnier hätten Sie die Wahrscheinlichkeit für den einen oder anderen Fall als gleich groß eingeschätzt. Jetzt erfahren Sie allerdings, dass die Mannschaft, gegen welche Sie gleich spielen werden, gerade gegen die bekanntermaßen gute Mannschaft vom Fermat-Gymnasium gewonnen hat. Sie schätzen, dass die A-Mannschaft vom Goethe-Gymnasium eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 60% gegen die Mannschaft vom Fermat-Gymnasium hat, während die B-Mannschaft eine Gewinnwahrscheinlichkeit gegen das Fermat-Team von nur 30% hat. (1) Für wie wahrscheinlich halten Sie es nach Erhalt dieser Informationen, dass die Mannschaft, gegen die Ihr Team gleich spielt, die A-Mannschaft vom Goethe-Gymnasium ist; mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es die B-Mannschaft. Begründen Sie Ihre Rechnungen. (2) Erläutern Sie, was man unter einem frequentistischen und einem subjektivistischen (oder subjektiven ) Wahrscheinlichkeitsbegriff versteht und grenzen Sie diese Sichtweisen gegeneinander ab. Welche Stellung nimmt der axiomatische Ansatz, wie wir ihn in der Vorlesung verfolgt haben, im Verhältnis zu diesen Begriffen ein? Hinweise: Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass Fußballspiele immer nur gewonnen oder verloren werden, dass es also kein Unentschieden gibt. Bemühen Sie sich bitte, den Aufgabenteil (2) in wenigen, aber treffenden Sätzen zu beantworten. Lösung, Aufgabe 2:

5 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 2:

6 Aufgabe 3 (8 Punkte) (1) Sei X eine integrierbare, diskrete Zufallsvariable mit Werten in N 0 mit E(X) > 0. Für alle k N 0 definieren wir nun p k P(X = k) (k) :=. E(X) Zeigen Sie, dass p eine Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion auf N 0 ist. Sei im folgenden P das Wahrscheinlichkeitsmaß auf N 0, welches durch p gegeben ist. (2) Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt mit Parameter λ (0, ). Geben Sie die Verteilung von X konkret an, d.h. nennen Sie P(X = k) für alle k N 0. Die Zufallsvariable Y sei gemäß P verteilt. Bestimmen Sie die Verteilung von Y 1. Was fällt auf? Lösung, Aufgabe 3:

7 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 3:

8 Aufgabe 4 (12 Punkte) Sei n N und seien X 1,..., X n unabhängige, identisch verteilte, integrierbare Zufallsvariablen, jeweils mit Erwartungswert µ R und mit Varianz σ 2 <. Setze X := 1 n n i=1 X i und S 2 := 1 n n i=1 ( Xi X ) 2. Begründen Sie in Rechnungen Ihre Rechenschritte. (1) Zeigen Sie: Var(X) = 1 n σ2. (2) Zeigen Sie: S 2 = ( 1 n ) n i=1 X2 2 ( i X. (3) Zeigen Sie: E X 2) = µ n σ2. (4) Zeigen Sie: E (S 2 ) = n 1 n σ2. (5) Erklären Sie, warum bei der Berechnung der Stichprobenvarianz s 2 einer Stichprobe x 1,..., x n von intervallskalierten Merkmalsausprägungen (z.b. für Körpergrößen oder Geschwindigkeiten) in der Regel mit dem Faktor statt mit dem 1 n 1 Faktor 1 gerechnet wird; die gängige Formel dafür ist n s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2, i=1 wobei x das arithmetische Mittel der Stichprobe ist. Hinweis: Sie dürfen das Ergebnis einer Teilaufgabe für die Folgeaufgaben benutzen, auch wenn Sie die Teilaufgabe selbst nicht gelöst haben. Lösung, Aufgabe 4:

9 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 4:

10 Aufgabe 5 (8 Punkte) Für θ Θ :=]0, [ sei die Dichte f θ definiert durch f θ (x) = x θ 2 e θx 1 ]0, [ (x). Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien unabhängig und identisch gemäß der Dichte f θ verteilt, wobei θ Θ unbekannt sei. Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für θ. Lösung, Aufgabe 5:

11 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 5:

12 Aufgabe 6 (12 Punkte) (1) Formulieren Sie eine Version des Zentralen Grenzwertsatzes (Sie erhalten einen halben Zusatzpunkt, wenn Sie den Satz von Lindeberg-Lévy korrekt angeben). (2) Eine Lehrerin lässt ihre Schulklasse folgendes Experiment durchführen: Jede(r) der 25 Schülerinnen und Schüler wirft so lange einen (fairen, sechsseitigen) Würfel, bis das erste Mal eine Eins oder eine Sechs fällt und notiert die Anzahl der Würfe, die dafür notwendig waren (inklusive des letzten, erfolgreichen Wurfs). Jede Schülerin und jeder Schüler wiederholt dieses Experiment jeweils n mal, wobei n N sei. Zum Schluss bestimmt die Klasse die durchschnittliche Anzahl X 25n der benötigten Würfe über alle 25n Durchführungen des Experiments. Nehmen Sie Stellung zu folgenden Aussagen (d.h. präzisieren Sie falls notwendig die Formulierung der jeweiligen Aussage und begründen Sie, warum die Aussage zutrifft oder nicht). (a) Wenn man das n groß genug wählt, liegt X 25n beliebig nahe bei 3. (b) Für große n gilt ( ) 0, 96 0, 96 P 3 X 25n %. n n Hinweis: Es gilt 0, 96 1, (c) Wenn man das n groß genug wählt, liegt P ( X 25n = 3 ) beliebig nahe bei 1. Hinweis: Ist Y geometrisch verteilt mit Parameter p ]0, 1[, dann gilt E(Y ) = 1 p und Var(Y ) = 1 p p 2. Lösung, Aufgabe 6:

13 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 6:

14 Aufgabe 7 (6 Punkte) Der hochwertige Outdoor-Rucksack Transalpin wird maschinell hergestellt. Der Produktionsleiter möchte den Anteil p der produzierten Rucksäcke eingrenzen, die Produktionsmängel aufweisen, die dazu führen, dass der Rucksack nicht die gewünschte Qualität (A-Sortierung) hat. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Outdoor-Rucksäcke innerhalb einer Produktion vom Umfang n an, die nicht die Qualität der A-Sortierung erreichen. Der Produktionsleiter geht nach seinen Erfahrungen davon aus, dass höchstens ein Sechstel der produzierten Rucksäcke Produktionsmängel aufweist. Um zu überprüfen, ob diese Annahme zulässig ist, werden n fertig produzierte Outdoor-Rucksäcke zufällig ausgewählt. Beschreiben Sie ein geeignetes Testverfahren, bei dem der Fehler erster Art durch α = 5% nach oben beschränkt ist. Zu Ihrer Beschreibung gehört die Angabe eines geeigneten Parameterraums, eines Stichprobenraumes, einer parametrisierten Familie von Verteilungen (und/oder einer geeigneten Zufallsvariable, deren Verteilung für unterschiedliche Parameterwerte Sie benennen); ferner die Angabe einer geeigneten Hypothese H 0 und Alternative H 1 und die Beschreibung einer Entscheidungsregel. Schreiben Sie bitte in ganzen Sätzen und begründen Sie Ihre Wahlen. Hinweis: Sie können keine konkreten Werte für Ihre Entscheidungsregel berechnen (alleine schon deshalb, weil der Stichprobenumfang n nicht quantifiziert ist). Beschreiben Sie stattdessen, wie Sie die Entscheidungsregel (ohne Normalapproximation) konstruieren würden. Lösung, Aufgabe 7:

15 Fortsetzung der Lösung zu Aufgabe 7:

16 Standardnormalverteilungstabelle, Angegeben sind Werte P (X x) für X N (0, 1) x 0, 00 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06 0, 07 0, 08 0, 09 0, 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 1, , , , , , , , , , 0000