Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II

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1 Institut für Mathematische Stochastik WS 2007/2008 Universität Karlsruhe Dr. B. Klar Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II Muster-Lösung Dauer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer: Diese Klausur hat bestanden, wer mindestens 19 Punkte erreicht. Hilfsmittel sind nicht zugelassen! Aufgabe 1 (7 2 (6 3 (6 4 (6 5 (6 6 (6 7 (6 8 (7 (50 Punkte Korrektor Gesamtpunktzahl Note

2 Aufgabe 1 (3+4 Punkte a Es sei f : R R eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie, dass die Ableitung f (Borel meßbar ist. b Zeigen Sie, dass eine monoton fallende Funktion f : R R (Borel meßbar ist. Lösung zu Aufgabe 1 a f differenzierbar f stetig f (Borel meßbar. Für n N gilt: x x + 1 ist Borel meßbar. n x f ( x + n 1 ist Borel-meßbar. Definiere f n : x f n (x : f ( x + 1 n f(x, n N. 1/n f n ist Borel meßbar (n N, und es gilt lim n f n f punktweise auf R. f ist Borel meßbar. b Es seien f monoton fallend und a R beliebig. Zu zeigen: {f a} B 1. (i Ist {f a}, so ist {f a} B 1. (ii Ist {f a}, so definiere M : sup{ω : f(ω a}. Ist M, so folgt {f a} R B 1. Ist M <, so gilt: M {f a} {f a} (, M] B 1, M / {f a} {f a} (, M B 1. 1

3 Aufgabe 2 (2+4 Punkte Es seien (Ω, A, µ ein Maßraum und f, g A meßbare numerische Funktionen auf Ω. Zeigen Sie: a f g 1 f 1 g. b Falls µ(ω <, so gilt f q f p µ(ω 1/q 1/p (1 q < p <. Lösung zu Aufgabe 2 a Mit g µ g folgt f g 1 f g dµ f g dµ g f dµ f 1 g. b Sei nun µ(ω <. Ohne Einschränkung sei f p <, da die Ungleichung sonst trivialerweise erfüllt ist. Sei r > 1 beliebig mit Mit der Hölderschen Ungleichung gilt r s f q dµ f q 1 dµ ( ( 1/r ( ( f q r dµ f q r dµ 1/r µ(ω 1/s, 1/s 1 s dµ und für r : p > 1, 1 1 q ergibt sich q s p ( f q dµ q/p f p dµ µ(ω 1 q/p und damit die Behauptung f q f p µ(ω 1/q 1/p. 2

4 Aufgabe 3 (2+3+1 Punkte Es sei A : {A Ω : A abzählbar oder A c abzählbar } die σ Algebra der co abzählbaren Mengen auf einer überabzählbaren Menge Ω. Die Maße ν und µ seien durch ν(a : { 0, falls A abzählbar, falls A c abzählbar { A, falls A endlich und µ(a :, sonst definiert. Zeigen Sie: a ν µ. b ν besitzt keine Dichte bezüglich µ. c Warum stehen a und b nicht im Widerspruch zum Satz von Radon-Nikodym? Lösung zu Aufgabe 3 a Wenn µ(a 0 für eine Teilmenge A von Ω ist, so gilt nach Definition A 0, also zwangsläufig A. Daraus folgt auch ν(a 0. b Wir nehmen an, es existiert eine Funktion f : (Ω, A (R, B 1 mit ν fµ, d.h. ν(a f dµ (A A. A Damit gilt für beliebiges ω Ω 0 ν({ω} also f 0. Andererseits ist ν(ω {ω} Ω f dµ f(ω µ({ω} f(ω, 0 dµ 0. Widerspruch! c µ ist nicht σ endlich. Denn wenn µ σ endlich wäre, müsste eine aufsteigende Folge A n A n+1... von Mengen mit µ(a n < und Ω n1 A n existieren. Nach Definition von µ wären alle diese A n endlich, und Ω wäre als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen selbst abzählbar, im Widerspruch zur Voraussetzung. 3

5 Aufgabe 4 (3+3 Punkte Es seien X, Y zwei stochastisch unabhängige reelle Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P. a Die Verteilungsfunktion von X und Y seien stetig. Zeigen Sie: P (X Y 0. b Es gelte X Y P -fast sicher. Zeigen Sie, dass X und Y P -fast sicher konstant sind. Lösung zu Aufgabe 4 a Es gilt P (X Y P X P Y ({ (x, y R 2 : x y } 1{x y} dp X P Y (x, y Tonelli 1 {x} (y P Y (dy P X (dx P Y ({x} }{{} 0 P X (dx 0. b Lösung 1: Für t R gilt nach Voraussetzung P (X t, Y t P (X t P (Y t P (X t P (X t, andererseits ist P (X t, Y t P (X t, X t P (X t. Also gilt P (X t (P (X t 2, und somit P (X t {0, 1}. Für u : inf{x R : F (x 1} gilt dann u (, und P (X u 1. Lösung 2: Wegen X P Y gilt P X P Y. Damit und aus der Unabhängigkeit von X und Y folgt 1 P (X Y P Y ({x} P X (dx P X ({x}p X (dx ( P X ({x} 2. (1 x:p ({x}>0 Also existiert ein x R mit P X ({x} 1. Beim letzten Gleichheitszeichen in (1 ist zu beachten, dass B { x R : P X ({x} > 0 } { x R : P X ({x} > 1 } n abzählbar ist. n1 4

6 Aufgabe 5 (4+2 Punkte Es seien, Y n, n 1, reelle Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P sowie (a n n 1 eine beschränkte Zahlenfolge. Es gelte O P (1 und Y n O P (1 (d.h. die Mengen {P Xn : n 1} und {P Yn : n 1} sind straff. Zeigen Sie: a + Y n O P (1, Y n O P (1 b + a n O P (1, a n O P (1 Lösung zu Aufgabe 5 a Sei ε > 0 beliebig. Wegen O P (1 und Y n O P (1 existiert ein k > 0 mit Es gilt und P ( k, Y n k 1 ε für jedes n. P ( 2k + Y n 2k P ( k, Y n k 1 ε P ( k 2 Y n k 2 P ( k, Y n k 1 ε, woraus die Straffheit von + Y n und Y n folgt. b Definiere eine Folge von konstanten Zufallsvariablen Z n : a n, wobei a n beschränkt durch ein k > 0 ist. Dann gilt P Zn ([ k, k] 1 1 ε für jedes ε > 0. Somit folgt die Straffheit von { P Zn : n 1 } sowie Z n O P (1. Mit Hilfe von a folgt die Behauptung. 5

7 Aufgabe 6 (6 Punkte Es seien X 1, X 2,... unabhängige und identisch verteilte positive Zufallsvariablen mit µ : E(X 1 > 0 und 0 < σ 2 : V (X 1 <. Weiter sei : 1 n X j. Zeigen Sie: n n ( µ 2 D n N (0, 4σ2. Lösung zu Aufgabe 6 Nach Voraussetzung ist X j > 0 für j 1 und somit > 0. Weiter gilt n ( µ 2 n ( µ 2 X 2 n ( σ ( µ + ( σ(µ + }{{} f.s. 2σ n ( ( µ Xn µ + Xn ( n Xn µ σ n X j n µ n σ }{{} D N (0,1 D N (0, 4σ 2 nach dem Zentralen Grenzwertsatz, und da nach dem starken Gesetz großer Zahlen fast sicher gegen µ > 0 konvergiert. 6

8 Aufgabe 7 (6 Punkte Es sei X (X 1,..., X d T ein d dimensionaler Zufallsvektor. ϕ X bzw. ϕ Xj bezeichne die charakteristische Funktion von X bzw. X j. Zeigen Sie: X 1,..., X d unabhängig ϕ X (t ϕ Xj (t j t (t 1,..., t d R d. Lösung zu Aufgabe 7 : Sind X 1,..., X d unabhängig, so gilt dies nach dem Blockungslemma auch für e it 1X 1,..., e it dx d. Daraus folgt für alle t (t 1,..., t d R d ϕ X (t ϕ X (t 1,..., t d E e ( E e it jx j [ d i t j X j ] E ( e it jx j ϕ Xj (t j. : Seien umgekehrt Y 1,..., Y d stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit Y j X j (j 1,..., d und Y : (Y 1,..., Y d. Dann gilt ϕ Xj ϕ Yj für alle j 1,..., d, und es folgt nach dem bereits bewiesenen Teil sowie nach Voraussetzung ϕ Y (t 1,..., t d ϕ Yj (t j ϕ Xj (t j Vor. ϕ X (t 1,..., t d. Nach dem Eindeutigkeitssatz folgt P X P Y, und insbesondere sind X 1,..., X d stochastisch unabhängig. 7

9 Aufgabe 8 (7 Punkte Die Zufallsvariablen T 1 und T 2 seien unabhängig und jeweils exponentialverteilt mit Parametern λ 1 und λ 2. Wir setzen X : min(t 1, T 2. Bestimmen Sie die bedingte Verteilung von X gegeben T 1 und berechnen Sie E[X T 1 ]. t ( Hinweis: 0 xλe λx dx te λt + 1 λ 1 e λt, (t > 0, λ > 0. Lösung zu Aufgabe 8 Es gilt P (X T 1 T 1 t 1 P (T 2 > T 1 T 1 t 1 P (T 2 > t 1 T 1 t 1 P (T 2 > t 1 e λ 2t 1 und für 0 x < t 1 P (X x T 1 t 1 P (T 2 x T 1 t 1 P (T 2 x 1 e λ2x. Also hat die Verteilung von X gegeben T 1 t 1 Masse e λ 2t 1 auf t 1 und Lebesgue-Dichte λ 2 e λ2x auf [0, t 1. Deshalb gilt t1 E[X T 1 t 1 ] x P X T 1t 1 (t 1, dx t 1 e λ 2t 1 + xλ 2 e λ2x dx t 1 e λ 2t 1 t 1 e λ 2t ( 1 e λ 2 t 1 λ 2 1 (1 e λ 2t 1 λ 2 bzw. E[X T 1 ] 1 (1 e λ 2T 1 λ 2 0 8