Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2

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1 TU Dortmund Mathematik Fakultät Proseminar zur Linearen Algebra Ausarbeitung zum Thema Topologische Räume und stetige Abbildungen Teil 2 Anna Kwasniok Dozent: Prof. Dr. L. Schwachhöfer Vorstellung des Themas:

2 Inhaltsverzeichnis 1 Umgebungen Abzählbarkeitsaxiome Definition: Abzählbarkeitsaxiome Beispiele zu den Abzählbarkeitsaxiomen Definitionen: Inneres, Randpunkt, Berührpunkt, Abschluss, dicht, nirgends dicht Satz Beispiele Das Cantorsche Diskontinuum Stetige Abbildungen Definition: Stetige Abbildungen Beispiele Satz: Komposition von Abbildungen Definition: Gröber und feiner Definition: Stetigkeit in einem Punkt Satz: Stetigkeit und Stetigkeit in jedem Punkt Beispiel Definition Definition: Homöomorphismus Satz Beispiel

3 1 Umgebungen 1.1 Abzählbarkeitsaxiome Es gibt im mathematischen Teilgebiet der Topologie zwei Abzählbarkeitsaxiome. Felix Hausdorff führte die Abzählbarkeitaxiome im Jahre 1914 ein. Definition: Basis Ein System B von offenen Mengen eines topologischen Raumes (X, O) heißt Basis der Topologie, wenn jede offene Menge von (X, O) Vereinigung von Mengen aus B ist, d.h. zu jedem x O O gibt es ein B B mit x B O. 1.2 Definition: Abzählbarkeitsaxiome (a) Erstes Abzählbarkeitsaxiom: Für jedes x X gibt es offene Mengen {B n n N, x B n }, so dass für jede offene Menge O, die x enthält, gilt: x B n O für mindestens ein n. (b) Zweites Abzählbarkeitsaxiom: Der topologische Raum (X, O) genügt dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom, wenn O eine abzählbare Basis besitzt. 1.3 Beispiele zu den Abzählbarkeitsaxiomen Definition: diskreter topologischer Raum Bei der diskreten Topologie auf einer Menge X ist O dis die Potenzmenge von X, d.h. die Menge aller Teilmengen von X und (X, O) heißt diskreter topologischer Raum. (a) Alle diskreten Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom. Erläuterung: Für x X wähle B 1 = B 2 =... = B n = {x}. Also gilt für jedes O offen mit x O: x B n O für mindestens ein n. Definition von Offenheit in metrischen Räumen: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge O von x offen, falls gilt: x O : ɛ > 0 : B ɛ (x) O. 3

4 (b) Alle metrischen Räume erfüllen das erste Abzählbarkeitsaxiom. Erläuterung: x X und B n = B 1 (x) ist die Kugel vom Radius 1. n n x B n und Bn offen. O offen, x O. Nach der Definition von Offenheit in metrischen Räumen Gibt es ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) O, dann wähle nun n N so, dass 1 n < ɛ ist. Daraus folgt: x B n = B 1 (x) B ɛ (x) O. n Definition: indiskrete Topologie Die indiskrete Topologie auf X besteht lediglich aus zwei offenen Mengen, nämlich O ind = {, X} (c) Die indiskrete Topologie erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, da die Menge {X} die einzige Basis von X und als einelementige Menge abzählbar ist. So gilt x B O. Ist O offen und x O, daraus folgt, dass O und daher O = X, x X X. (d) Der R n erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom mit B = {B 1 (q) q Q n, m N}. m Erläuterung: Sei O R n offen, x O. Zu zeigen: Es gibt ein q Q n, m N, so dass x B 1 (q) O. m x O ɛ > 0, B ɛ (x) O. Sei m N, so dass 1 m < ɛ 2, dann gilt: Es gibt ein q Qn mit d(x, q) < 1 m. Zu zeigen: B 1 (q) B ɛ (x) m y B 1 (q) d(y, q) < 1 m m d(x, y) d(x, q) + d(q, y) < ɛ mit d(x, q), d(q, y) < 1 < ɛ m 2 y B ɛ (x) d(x, q) < 1 x B m 1 (q) m Es wurde gezeigt: q Qn, m N, x B 1 (q) B ɛ (x) O m 1.4 Definitionen: Inneres, Randpunkt, Berührpunkt, Abschluss, dicht, nirgends dicht Sei (X, O) ein topologischer Raum und A X. 4

5 (a) Ein Punkt x X heißt innerer Punkt von A, wenn A eine Umgebung von x ist. Die Menge aller inneren Punkte von A wird das Innere von A genannt und mit Å bezeichnet. (b) Ein Punkt x X heißt Randpunkt von A, wenn jede Umgebung von x sowohl A wie auch das Komplement von A schneidet, d.h. für U U(x) gilt U A U (X \ A). Die Menge der Randpunkte von A heißt der Rand von A und wird mit A oder δa bezeichnet. Liegt ein Randpunkt von A nicht in A, so spricht man auch oft von Berührpunkt. (c) Die Menge {x X U A für jede Umgebung U(x)} heißt abgeschlossene Hülle oder Abschluss von A; sie wird mit Ā bezeichnet. (d) A liegt dicht in X, wenn Ā = X. Ist das Innere des Abschlusses von A leer, also (Ā) =, so heißt A nirgends dicht in X. Die Mengen Ā, Ȧ und Å lassen sich auch wie folgt charakterisieren: 1.5 Satz Ist (X, O) ein topologischer Raum und F das System seiner abgeschlossenen Mengen, so gilt für A X: (a) Ā ist die kleinste abgeschlossene Menge, die A enthält und es gilt Ā = A F F F (b) Å ist die größte offene Menge, die in A enthalten ist und es ist Å = A O O O (c) Für den Rand gilt: A = Ā \ Å Beweis: (a) V = A F F F ist abgeschlossen: X \ A F F F = A F F (X \ F ) offen, da X \ F offen und somit ist A F F F abgeschlossen. Der Abschluss von A ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A enthalten. Zu zeigen: x A F F F =: V, falls x Ā 5

6 Annahme: x / V x X \ V X \ V offen, da V abgeschlossen U := X \ V ist Umgebung von x. U A =, da A V Widerspruch zur Annahme x F für jedes abgeschlossene F X mit A F. Annahme: x / Ā Umgebung U(x) mit U A =. Aus der Definition der Umgebung folgt: O O, x O U. Also folgt insbesondere O A = und daher A X \ O. X \ O ist aber abgeschlossen, da O offen ist. Also folgt x X \ O, da x in allen abgeschlossenen Mengen enthalten ist, die A enthalten. Das steht im Widerspruch zu x O. Gezeigt: Ā = A F F F Es folgt daraus, dass Ā abgeschlossen ist. (b) Das Innere von A ist die Vereinigung aller offenen Mengen, die in A enthalten sind. Å = {x A O O, x O und O A}. Sei O eine offene Teilmenge von A und y O Daher ist O Umgebung von y. Da O A folgt daraus, dass A auch eine Umgebung von y ist. O offen, O A O Å y Å A ist Umgebung von y O offen, y O A und y O A O O O (c) Der Rand von A ist gleich der Abschluss von A ohne das Innere von A. Sei y A. Das heißt: Jede Umgebung U von y erfüllt U A U (X \ A). Zu zeigen ist, dass y Ā \ Å ist. Das bedeutet: y Ā und y / Å. Falls y / Ā, dann gibt es eine Umgebung U von y mit U A =. Das ist ein Widerspruch zu y Ȧ für jede Umgebung U = A Sei y Ā \ Å. Das bedeutet: y Ā und y / Å. Zu zeigen: y Ȧ. Das heißt, dass jede Umgebung U von y folgende Eigenschaft 6

7 erfüllt: U A U (X \ A). Falls U A = für eine Umgebung U von y ist, dann ist nach Definition y / Ā. Das ist ein Widerspruch zu: y Ā. Somit ist U A. Falls U (X \ A) =, dann ist U A. U ist Umgebung von y, das bedeutet: O offen, y O U A. Daraus folgt, dass A Umgebung von y ist. So ist y Å. Das ist ein Widerspruch zu y / Å. Somit ist U (X \ A). 1.6 Beispiele (a) Q liegt dicht in R. (b) Z ist in R nirgends dicht. Beweis: (a) Zu zeigen: Für jede Umgebung U von x R ist U Q. Sei x R und U Umgebung von x, das heißt, es existiert ɛ > 0 mit (x ɛ, x+ɛ) U. Aber für alle ɛ > 0 existiert q (x ɛ, x + ɛ) Q, also ist Q U. (b) Zu zeigen: ( Z) = Z R abgeschlossen, da R \ Z = n Z (n, n + 1) offen. Daher ist Z = Z und somit ( Z) = Z =. Denn für n Z existiert kein ɛ > 0, so dass (n ɛ, n + ɛ) Z ist. 1.7 Das Cantorsche Diskontinuum Im Jahre 1883 veröffentlichte der deutsche Mathematiker Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor eine Definition der sogenannten Cantor-Menge. Diese stellte er bei seinem Versuch auf das Kontinuum zu charakterisieren, einer Menge mit der Mächtigkeit der reellen Zahlen. Um die Standard-Cantor-Menge, auch Mitteldrittel-Cantor-Menge genannt, zu konstruieren, starte man mit dem geschlossenen Einheitsintervall [0,1] und entnehme daraus das offene mittlere Drittel an den Punkten 1 und 2. Es verbleiben zwei Intervalle, mit denen 3 3 man ebenso verfährt. Die beschriebene Aufspaltung setzt man bei allen entstehenden Intervallen fort. Dadurch erhält man eine aufsteigende Kette C 0 C 1 C 2... C n. Dabei ist C 0 = [0, 1], C 1 die Vereinigung von dem Intervall [0, 1 3 ] und [ 2 3, 1], C2 die Vereinigung der Intervalle [0, 1 9 ], [ 2 9, 1 3 ], [ 2 3, 7 9 ] und [ 8 9, 1]. Allgemein ist Cn die Vereingung von 2 n 7

8 disjunkten,abgeschlossen Intervallen, jedes mit der Länge ( 1 3 )n und die sich von links nach rechtes durchnummerieren lassen. Dann heißt C := n=0 Cn Cantor sches Diskontinuum. Dieses besitzt folgende Eigenschaften: (a) Das Cantor sche Diskontinuum ist nicht abzählbar, denn die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) der Cantor-Menge, ist größer als die der natürlichen Zahlen und wird deshalb nicht abzählbar genannt. (b) Das Cantor sche Diskontinuum ist eine abgeschlossene Teilmenge von R. Beweis: Nach Definition ist eine abgeschlossene Menge M eine Teilmenge eines topologischen Raumes X, dessen Komplement X \ M eine offene Menge ist. In diesem Fall ist R der topologische Raum. Die Abgeschlossenheit folgt aus der Tatsache, dass C = C 1 C 2... C n Schnittmengen von abgeschlossenen Mengen C n, n N ist. (c) C ist nirgends dicht in [0, 1]. C = C, da C abgeschlossen ist, daher ist C = : Für x C und ɛ > 0 schneidet (x ɛ, x+ɛ) mindestens eins der entfernten Intervalle. Dabei ist (x ɛ, x + ɛ) C, das heißt x ist kein innerer Punkt und ( C) =. 8

9 2 Stetige Abbildungen In diesem Abschnitt sollen Abbildungen zwischen topologischen Räumen betrachtet werden. Von besonderem Interesse sind die stetigen Abbildungen. Die Stetigkeit soll die Eigenschaft ausdrücken, dass die Werte einer Abbildung direkt aneinander angrenzen und es keine abrupten Änderungen gibt. Nimmt man zum Beispiel ein Blatt Papier und zeichnet eine Kurve darauf, so bedeutet die Stetigkeit der Kurve, dass sie in einem Zug, ohne den Stift abzusetzen, gezeichnet werden kann. Um diese vage Formulierung zu präzisieren, muss zuerst geklärt werden, was es beudeutet, dass die Werte einer Abbildung direkt aneinander angrenzen und sich nicht abrupt ändern. Anders gesagt, man muss wissen,wann Punkte nah beieinander liegen oder weit entfernt voneinander sind. Man kann in topologischen Räumen zwar keinen Abstand messen oder berechnen, aber man kann die Urbilder einer Abbildung dazu nutzen, die Stetigkeit zu definieren: 2.1 Definition: Stetige Abbildungen Sind (X, O 1 ) und (Y, O 2 ) topologische Räume, so heißt eine Abbildung f : X Y stetige Abbildung von (X, O 1 ) nach (Y, O 2 ), wenn die Urbilder offener Mengen von (Y, O 2 ) offen in (X, O 1 ) sind, d.h. f : X Y stetig f 1 (O) O 1 O O 2 (2.1) Durch Übergang zu den Komplementen ergibt sich die äquivalente Definition mittels abgeschlossener Mengen: f : X Y ist stetig, wenn die Urbilder abgeschlossener Mengen von (Y, O 2 ) abgeschlossen in (X, O 1 ) sind. Bemerkung: Es wurde in dem Vortrag von Herrn Holzäpfel gezeigt, dass für metrische Räume diese Definition von Stetigkeit äquivalent zur ɛ δ- Definition ist. 2.2 Beispiele (a) Ist (X, O 1 ) ein diskreter Raum, so ist für jeden topologischen Raum (Y, O 2 ) jede Abbildung f : X Y stetig. Durch diese Eigenschaft lässt sich die diskrete Topologie auf X kennzeichnen. (b) Ist (Y, O 2 ) ein indiskreter topologischer Raum, so ist für jeden topologischen Raum (X, O 1 ) jede Abbildung f : X Y stetig. Hierdurch lässt sich die indiskrete Topologie auf Y charakterisieren. 9

10 Erläuterungen: (a) X trägt die diskrete Topologie O 1, d.h. alle Teilmengen von X sind offen. Somit sind die Urbilder offener Mengen offen und f ist stetig. (b) Trägt Y die indiskrete Topologie O 2, so sind nur und Y offen. Deren Urbilder sind und X, also ebenfalls offen und f ist stetig. 2.3 Satz: Komposition von Abbildungen Sind f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) und g : (Y, O 2 ) (Z, O 3 ) stetig, so auch g f : (X, O 1 ) (Z, O 3 ). Beweis: Sei U Z offen in Z. Wegen der Stetigkeit von g ist dann g 1 (U) offen in Y. Da f stetig ist, ist f 1 (g 1 (U)) offen in X, aber f 1 (g 1 (U)) = (g f) 1 (U). Begründung der Gleichheit: f 1 (g 1 (U)) = (g f) 1 (U) f : X Y A Y, f 1 (A) = {x X f(x) A} X f : X Y, g : Y Z, g f : X Z mit A Z (g f) 1 (A) = {x X (g f)(x) A} X x (g f) 1 (A) g(f(x)) A f(x) g 1 (A) x f 1 (g 1 (A)) x (g f) 1 (A) x f 1 (g 1 (A)) (g f)(x) = g(f(x)) Für die Topologien auf einer Menge wird die folgende Ordnung nahegelegt: 2.4 Definition: Gröber und feiner Sind O 1 und O 2 Topologien auf X, so heißt O 1 feiner als O 2 bzw. O 2 gröber als O 1, wenn O 2 O 1. Die Topologie O 1 ist genau dann feiner als O 2, wenn id X : (X, O 1 ) (X, O 2 ) stetig ist. Die indiskrete, natürliche und diskrete Topologie lassen sich wie folgt ausdrücken: O ind O N O dis (2.2) Die indiskrete Topologie ist gröber als die natürliche Topologie, diese wiederum gröber als die diskrete Topologie. 10

11 Die indiskrete Topologie ist die gröbste Topologie auf X. Sie besteht nur aus der leeren Menge und aus einer Grundmenge X. Die natürliche Topologie auf R hingegen ist die Vereinigung von offenen Intervallen. Die diskrete Topologie ist die feinste Topologie auf X. Sie enthält nämlich alle Teilmengen. Die Stetigkeit in einem Punkt lässt sich ebenfalls einfach auf Abbildungen zwischen topologischen Räumen übertragen: 2.5 Definition: Stetigkeit in einem Punkt Eine Abbildung f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) heißt stetig in dem Punkt x X, wenn es zu jeder Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x gibt mit f(u) V. 2.6 Satz: Stetigkeit und Stetigkeit in jedem Punkt Eine Abbildung f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) ist genau dann stetig, wenn sie in jedem Punkt von X stetig ist. Beweis: (1) f stetig f stetig in jedem Punkt Sei V Y Umgebung von f(x 0 ) (aus der Definition) Es gibt O offen in Y mit f(x 0 ) O V (aus der Definition des Urbildes) x 0 f 1 (O) f 1 (V ) f 1 (O)offen, da f stetig (aus der Definition von Umgebung) f 1 (V ) ist Umgebung von x 0 (2) f stetig in jedem Punkt f stetig Sei V O 2 z.z.: f 1 (V ) O 1 Sei x 0 f 1 (V ) f(x 0 ) V V offen V Umgebung von f(x 0 ) (aus der Definition von Stetigkeit in x 0 ): Es existiert eine Umgebung U von x 0 mit f(u) V und damit U f 1 (V ). Es existiert O X offen mit x 0 O U f 1 (V ), da U eine Umgebung von x 0 ist. Daraus folgt, dass f 1 (V ) ist Umgebung von x 0 ist. Gezeigt ist: f 1 (V ) ist Umgebung jedes seiner Punkte f 1 (V ) offen 11

12 2.7 Beispiel Sind f, g : X R stetig in x 0 X, so sind es auch f + g, f g, a f für a R, max{f, g}, min{f, g}, f. Wenn wir im Folgenden von reellwertigen Funktionen sprechen oder eine Funktion f : X R oder f : X I, I R betrachten, ohne über die Topologie des Bildes R bzw. I etwas zu sagen, trägt R bzw. I die natürliche Topologie. 2.8 Definition Eine Abbildung f : X Y zwischen zwei topologischen Räumen (X, O 1 ) und (Y, O 2 ) heißt offen bzw. abgeschlossen, wenn das Bild jeder offenen bzw. abgeschlossenen Menge wieder offen bzw. abgeschlossen ist, d.h. {f(o) O O 1 } O 2 bzw. {f(a) A A 1 } A 2, (2.3) wobei A 1 und A 2 die Systeme der abgeschlossenen Mengen in X und Y bezeichnen. Bei stetigen Abbildungen sind die Urbilder von offenen bzw. abgeschlossenen Mengen wieder offen bzw. abgeschlossen; über die Bilder offener oder abgeschlossener Mengen dagegen lässt sich im allgemeinen gar nichts aussagen. Als Beispiel hierfür diene f : R R mit f(x) := 1 ; das Bild des Gesamtraumes f(r) =]0, 1] ist im Bildraum R weder (1+x 2 ) offen noch abgeschlossen. 12

13 2.9 Definition: Homöomorphismus Eine bijektive Abbildung f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) zwischen zwei topologischen Räumen heißen topologisch oder Homöomorphismus wenn f und f 1 stetig sind. Die Räume X und Y heißen dann homöomorph Satz (a) Eine bijektive Abbildung f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn f stetig und offen (oder stetig und abgeschlossen) ist. (b) Ein Homöomorphismus f : (X, O 1 ) (Y, O 2 ) induziert durch O f(o) eine Bijektion O 1 O 2. Beweis: (a) f stetig ist klar Sei O O 1 beliebig Zu zeigen ist: f(o) O 2 Sei g := f 1 Da g : (Y, O 2 ) (X, O 1 ) stetig ist, ist g 1 (O) = f(o) O 2 O O 1 Sei also f offen und stetig, dann ist noch zu zeigen, dass g := f 1 : (Y, O 2 ) (X, O 1 ) stetig ist. O O 1 : g 1 (O) = f(o) O 2, da f offen ist. (b) Zu zeigen sind Injektivität und Surjektivität: 1) Seien O und O O 1 und f(o) = f(o ). Da f bijektiv ist, folgt daraus O = O. 2) Zu zeigen ist, dass es für jedes O O 2 (mindestens ein) Urbild in O 1 gibt: Da f stetig ist, gilt f 1 (O) O 1 O O 2. Also gibt es ein Urbild in O 1 für jedes O O Beispiel Sei X das offene Intervall ] 1, 1[ R. Dann ist f : (X, O) R, x x 1 x, (2.4) 13

14 ein Homöomorphismus. Erläuterung: Bilde Umkehrfunktion: f(x) = y = x 1 x y(1 x ) = x 1)x 0 y(1 x) = x 2)x < 0 y(1 + x) = x Vertauschen von x und y 1) x(1 y) = y x = y 1 y 2 ) x(1 + y) = y x = y 1+y f 1 (y) = y 1+ y, y R f und f 1 sind stetig. 14