Seminararbeit. Orthogonale Gruppen. Marvin K. Neugebauer. 15. Juli 2010

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1 Seminararbeit Orthogonale Gruppen Marvin K Neugebauer 15 Juli 2010 Prof Dr Schwachhöfer Lehrstuhl für Differentialgeometrie Proseminar Lineare Algebra SS 2010

2 Dank an Rafael Kawka für die Hilfe bei der Ausarbeitung mit L A TEX

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Charakterisierungen der Orthogonalen Gruppe 4 2 Orthogonale Matrizen und Isometrien 9 3 Die Isometriegruppe des euklidischen Raumes 12 4 Anhang 15 3

4 1 Einige Charakterisierungen der Orthogonalen Gruppe Vorbemerkung Im folgenden gilt: 1 Das Standardskalarprodukt des K n ist eine Funktion, die von K n K n nach K abbildet, definiert durch: X, Y = x 1 ȳ x n ȳ n 2 Wir definieren für A M n (K) die Adjungierte A als A = (Ā) Falls K = R, dann ist A = A Definition 11 Wir definieren die orthogonale Gruppe über K durch O n (K) := {A Gl n (K) : XA, Y A = X, Y X, Y K} und bezeichnen diese durch: O(n), falls K = R, diese Gruppe heißt orthogonale Gruppe U(n), falls K = C, diese Gruppe heißt unitäre Gruppe Sp(n), falls K = H, diese Gruppe heißt symplektische Gruppe Man zeigt leicht, dass O n (K) eine Untergruppe von Gl n (K) ist Beweis Zu zeigen sind folgende Eigenschaften: 1 O n (K) 2 S, R O n (K) SR 1 O n (K) zu 1: Um die Behauptung zu zeigen, genügt es eine Matrix anzugeben, die in O n (K) liegt Wähle A = I n, dann gilt: A Gl n (K) und XA, Y A = XI n, Y I n = X, Y zu 2: Seien S, R O n (K), dann folgt R Gl n (K) Dh R ist invertierbar mit R 1 und es gilt: X, Y = (XR 1 ) }{{} R, (Y R 1 ) R = X }{{} 0 R, Y 0 R = X 0, Y 0 = XR 1, Y R 1 =:X 0 =:Y 0 4

5 Damit folgt: (XS) R 1, (Y S) R 1 = X }{{}}{{} 1 R 1, Y 1 R 1 = X 1, Y 1 = XS, Y S = X, Y =:X 1 K n =:Y 1 K n Daraus folgt: SR 1 O n (K) Proposition 12 Sei A Gl n (K) Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) A O n (K) (2) R A lässt orthonormale Basen invariant, dh ist {X 1,, X n } eine orthonormale Basis des K n, dann auch {R A (X 1 ),, R A (X n )} (3) Die Zeilen von A bilden eine orthonormale Basis des K n (4) AA = I n Beweis (1) (2): Sei A O n (K), so gilt XA, Y A = X, Y X, Y K n Weiter sei {X 1,, X n } eine ONB Insgesamt ergibt sich: Es folgt die Behauptung 1 falls i = j X i A, Y j A = X i, X j = 0 falls i j für i, j = 1,, n (2) (3): Wähle für {X 1,, X n } die Standardbasis, dh X = e i für i = 1,, n, dann folgt: R A (X i ) = R A (e i ) = e i A = (i-te Zeile von A) Dh A hat die Form: A = R A (e 1 ) R A (e n ) Da nach Voraussetzung {R a (e 1 ),, R A (e n )} eine ONB ist, folgt somit die Behauptung (3) (4): Seien die Zeilen von A eine ONB des K n, so ist (AA ) ij = (i tezeilevona) (j-te Spalte vona ) = (i tezeilevona) (j tespaltevonā) = (i-te Zeile von A), j-te Zeile von A) 1 falls i = j = 0 sonst 5

6 (4) (3): Sei AA = I n Dann gilt 1 falls i = j (AA ) ij = (i-te Zeile von A), (j-te Zeile von A) = 0 sonst Dh die Zeilen von A bilden eine ONB (3) (1): Seien die Zeilen von A eine ONB des K n, dann gilt für alle X, Y K n : R A (X), R A (Y ) = XA, Y A a 11 a 1n a 11 a 1n = (X 1,, X n ), (Y 1,, Y n ) a n1 a nn a n1 a nn = X 1 (a 11,, a 1n ) + + X n (a n1,, a nn ), Y 1 (a 11,, a 1n ) + + Y n (a n1,, a nn ) n n = X l (l-te Zeile von A), Y s (s-te Zeile von A) = l=1 s=1 n X l (l-te Zeile von A), (s-te Zeile von A) Ȳs = ( ) l,s=1 Da die Zeilen von A eine ONB bilden, ist (l-te Zeile von A), (s-te Zeile von A) = 0 falls l s und (l-te Zeile von A), (s-te Zeile von A) = 1 falls l = s Somit ergibt sich: ( ) = X 1 Ȳ X n Ȳ n = X, Y Bemerkung: Geometrisch betrachtet bildet O n (K) die Gruppe der Matrizen A, die eine lineare Abbildung R A : R n R n beschreiben, unter der das Skalarprodukt von Vektoren und demzufolge auch die Normen von Vektoren invariant sind Anschaulich betrachtet handelt es sich dabei um Drehungen und Verschiebungen im R n, unter denen bestehende Abstände invariant bleiben Proposition 13 (1) η n (U(n)) = O(2n) η n (Gl n (C)) (2) Ψ n (Sp(n)) = U(2n) ψ(gl n (H)) (3) (η 2n ψ n ) = (4n) (η 2n ψ n )(Gl n (H)) 6

7 Beweis zu 1: Zunächst bemerkt man, dass für alle A M n (C) gilt: η n (A ) = η n (A) (siehe Einschub) Sei A Gl n (C), dann ist η n (A) η n (A) = η n (A) η n (A ) = η n (AA ) Sei nun A U(n), dann folgt η n (AA }{{} =I n ) = η n (I n ) Da η n als Gruppenhomomorphismus (η n : Gl n (C) Gl 2n (R)) das Neutralelement von Gl n (C) auf das Neutralelement von Gl 2n (R) abbildet und das Neutralelement von Gl 2n (R) durch I 2n gegeben ist, gilt η n (I n ) = I 2n Also η n (I n ) O 2n (R) Mit den oben gezeigtem und Proposition 12 gilt dann: η n (A)η n (A) = I 2n η n (A) O 2n (R) Umgekehrt gilt: Sei η n (A) O 2n (R) Mit der obigen Gleichung gilt: η n (I n ) = I 2n = η n (A)η n (A ) = η n (AA ) wegen Injektivität von ηn = AA = I n Prop12 A U(n) Dies zeigt, dass A U(n) genau dann, wenn η n (A) O(2n) zu 2: Zunächst bemerkt man, dass für alle A M n (H) gilt: Ψ n (A ) = Ψ n (A) Sei A Gl n (H), dann ist Ψ n (A) Ψ n (A) = Ψ n (A) Ψ n (A ) = Ψ n (AA ) Dies zeigt, dass A Sp(n) genau dann, wenn Ψ n (A) U(2n) zu 3: (η 2n Ψ n )(Sp(n)) = O(4n) (η 2n Ψ n )(Gl n (H)) η 2n (Ψ(Sp(n))) = O(4n) η 2n (Ψ n (Gl n (H))) η 2n (Ψ(Sp(n))) (2) = η 2n (U(2n) Ψ(Gl n (H))) [Injektivität von η 2n ] = η 2n (U(2n)) η 2n (Ψ(Gl(H))) (1) = O(4n) η 2n (Ψ(Gl(H))) Proposition 14 O n (K) = {A Gl n (K) : R A (X) = X X K n } Beweis Sei A O n (K), dann gilt: XA, Y A = X, Y Da jede Norm durch ein Skalarprodukt induziert wird folgt: R A (X) = XA, XA = X, X = X = A {A Gl n (K) : R A (X) = X X K n } 7

8 Um diese Inklusion zu zeigen, betrachten wir zunächst den Fall K = R Dazu zeigen wir, dass für K = R das Skalarprodukt vollständig durch eine Norm induziert wird Umstellen der Gleichung X + Y 2 R = X + Y, X + Y R = X, X R + Y, Y R + 2 X, Y R nach X, Y R liefert: X, Y R = 1 2 ( X + Y 2 R X 2 R Y 2 R) (1) Dh lässt die Abbildung R A Normen invariant, so auch Skalarprodukte Für K {C, H} gilt diese Behauptung im allgemeinen nicht (beachte Gegenbeispiel) Den Fall K = C beweisen wir, indem wir ihn auf den reellen Fall zurückführen Sei A Gl n (C), so dass die Abbildung R A : C n C n Normen invariant lässt Dann lässt R ηn(a) : R 2n R 2n die Normen ebenfalls invariant, es gilt für alle X C: R ηn(a)(f n (X)) R = f n (R A (X)) R = R A (X) C = X C = f n (X) R Diese Gleichung gilt somit für alle X R 2n Demzufolge ist mit Gleichung (1): η n (A) O(2n) Unter Verwendung von Proposition 13 und der Injektivität von η n ergibt sich nun, dass A U(n) Der Fall K = H erfolgt ähnlich dem komplexen Fall Dazu sei A U n (H), so dass die Abbildung R A : H n H n die Normen invariant lässt Dann lässt R (η2n Ψ n)(a) : R 4n R 4n die Normen ebenfalls invariant Für alle X H n gilt: R (η2n Ψ n)(a)(g n (f n (X)) R = g n (f n (R A (X)) R = R A (X) H = X H = g n (f n (X)) R Diese Gleichung gilt für alle X R 4n Demzufolge ist mit Gleichung (1): (η 2n Ψ n )(A) O(4n) Unter Verwendung von Proposition 13 und der Injektivität von (η 2n Ψ n ) gilt: A Sp(n) 8

9 2 Orthogonale Matrizen und Isometrien Das Ziel deses Abschnitts soll sein, eine geometrische Interpretation von O(n) zu geben, als Gruppe von Isometrien des R n, die den Ursprung auf sich selbst abbilden Ferner diskutieren wir den Unterschied zwischen SO(3) und O(3) Der Abstand zweier Punkte X, Y R n ist gegeben durch: dist(x, Y ) = X Y = (X 1 Y 1 ) (X n Y n ) 2 Eine Funktion f : R n R n heißt Isometrie, falls für alle X, Y R n gilt: dist(f(x), f(y )) = dist(x, Y ) Proposition 21 (1) Sei A O(n), dann ist R A : R n R n eine Isometrie (2) Sei f : R n R n eine Isometrie mit f(0) = 0, dann existiert ein A O(n) so, dass f = R A Insbesondere ist f dann linear Beweis zu 1: Sei A O(n) und X, Y R n dist(r A (X), R A (Y )) = R A (X) R A (Y ) = R A (X Y ) P rop14 = X Y = dist(x, Y ) Somit ist R A eine Isometrie zu 2: Sei f : R n R n eine Isometrie für die gilt f(0) = 0, so gilt für alle X R n : f(x) = f(x) 0 = f(x) f(0) = dist(f(x), f(0)) = dist(x, 0) = X Diese Gleichung zeigt, dass unter f die Normen invariant bleiben Im Beweis von Proposition 14 wurde gezeigt, dass das Skalarprodukt für X, Y R n, durch eine Norm induziert wird Einsetzen von f in Gleichung (1) (aus den Beweis zu Proposition 14) liefert: f(x), f(y ) R = 1 2 ( f(x)+f(y ) R+ f(x) R + f(y ) R ) = 1 2 ( f(x)+f(y ) R+ X R + Y R ) Es bleibt zu zeigen: f(x) + f(y ) R = X + Y R 9

10 Betrachte: dist(f(x), f(y )) =dist(x, Y ) f(x) f(y ) = X Y () 2 f(x) f(y ) 2 = X Y 2 f(x), f(y ) R 2 f(x), f(y ) R + f(y ), f(y ) R = X, X R 2 X, Y R + Y, Y R f(x) 2 R 2 f(x), f(y ) R + f(y ) 2 R = X 2 R 2 X, Y R + Y R R 2 X 2 R 2 f(x), f(y ) R + Y 2 R = X 2 R 2 X, Y R + Y R R 2 2 f(x), f(y ) R = 2 X, Y R f(x), f(y ) = X, Y R Da unter f die Normen von Vektoren invariant sind, gilt insbesondere für X, Y R n : f(x), f(y ) = X, Y (2) Sei A eine Matrix, deren i-te Zeile f(e i ) ist, so dass f(e i ) = R A (e i ) für alle i = 1,, n Man beachte, dass A O(n), da die Zeilen von A orthogonal sind(dies folgt nach(2)) Es bleibt zu zeigen, dass f = R A ist, dazu zeigen wir, dass g = (R A ) 1 f die Identität ist Zunächst bemerkt man, g ist eine Isometrie, da f nach Voraussetzung und (R A ) 1 = R A 1 nach Bemerkung zu Definition 11 Isometrien sind und die Hintereinanderausführung (R A ) 1 f nach Bemerkung 32 (siehe Beweis Punkt 3) eine Isometrie ist Zudem gilt: g(0) = R A (f(0)) = R A (0) = 0 Ferner gilt: g(e i ) = (R A ) 1 (f(e i )) = R 1 A (R A(e i )) = e i, i = 1,, n Sei X R n, dann besitzt X die Darstellung X = a i e i g(x) = b i e i Dann gilt: und g(x) die Darstellung b i = b i e i, e i = g(x), e i = x, e i = a i Dies zeigt, g(x) = X Somit ist g die Identität Definition 22 SO(n) := {A O(n) : det(a) = 1} Definition 23 Eine orthonormale Basis {X 1, X 2, X 3 } des R 3 heißt rechshändig, falls gilt X 1 X 2 = X 3, wobei das Kreuzprodukt von Vektoren im R 3 bezeichnet Proposition 24 Sei A O(3) Dann ist A SO(3) genau dann, wenn die Zeilen von A, dh {R A (e 1 ), R A (e 2 ), R A (e 3 )}, eine rechtshändige ONB bilden 10

11 Beweis Seien die ersten beiden Zeilen von A gegeben durch R A (e 1 ) = (a, b, c) und R A (e 2 ) = (d, e, f) Aus den Eigenschaften des Kreuzproduktes ergibt sich: R A (e 1 ) R A (e 2 ) = R A (e 1 ) R A (e 2 ) sin (R A (e 1 ), R A (e 2 )) = sin(90 ) = 1 Folglich hat der dritte Zeilenvektor von A die Länge 1 und ist zu den beiden anderen Zeilen orthogonal Es ergeben sich somit zwei Fälle: 1 Fall: R A (e 3 ) = +R A (e 1 ) R A (e 2 ) = +(bf ce, cd af, ae bd) 2 Fall: R A (e 3 ) = R A (e 1 ) R A (e 2 ) = (bf ce, cd af, ae bd) zu 1: R A (e 3 ) = R A (e 1 ) R A (e 2 ) = (bf ce, cd af, ae bd) Dh A hat die Form: Daraus folgt: A = a b c d e f bf ce cd af ae bd det(a) = ae(ae bd) + bf(bf ce) + cd(cd af) ce(bf ce) af(cd af) bd(ae af) = (ae bd) 2 + (bf ce) 2 + (af cd) 2 = 1 = A SO(3) zu 2:R A (e 3 ) = R A (e 1 ) R A (e 2 ) = (ce bf, af cd, bd ae) Dh A hat die Form: Daraus folgt: A = a b c d e f ce bf af cd bd ae det(a) = ( 1) ((ae bd) 2 + (bf ce) 2 + (af cd) 2 ) = 1 = A / SO(3) 11

12 3 Die Isometriegruppe des euklidischen Raumes Definition 31 Isom(R n ) = {f : R n R n : f ist Isometrie} Bemerkung 32 Isom(R n ) bildet bezgl der Hintereinanderausführung von f eine Gruppe Beweis Es sind folgende Aussagen zu zeigen: 1 Seien f, g Isom(R n ) = (f g) Isom(R n ) (Abgeschlossenheit) 2 Sei f Isom(R n ), dann existiert e Isom(R n ) mit e = id und es gilt: e f = f e = f (Existenz des Neutralelements) 3 Seien f, g, h Isom(R n ), dann gilt: (f g) h = f (g h) (Assoziativität) 4 Sei f Isom(R n ), dann existiert ein f 1 Isom(R n ) und es gilt: f 1 f = f f 1 = e (Existenz des Inversen) zu 1: Seien f, g Isom(R n ), dann gilt: dist(f( g(x) ), f( g(x) ) = dist(f(x }{{}}{{} 0 ), f(y 0 )) = dist(g(x), g(y )) =:X 0 R n =:Y 0 R n zu 2: Nach Definition von id ist id Isom(R n ) und es gilt: (e f)(x) = e( f(x) }{{} =:X 0 R n ) = e(x 0 ) = X 0 = f(x) = f(e(x)) = (f e)(x) zu 3: Die Komposition von Funktionen ist assoziativ zu 4: Sei f Isom(R n ) Angenommen f sei bijektiv, dann exisitiert ein f 1 Isom(R n ) mit f 1 : R n R n Unter dieser Voraussetzung gilt dann: dist(x, Y ) = dist(f(f 1 (X)), f(f 1 (Y ))) = dist(f 1 (X), f 1 (Y )) Allerdings kann f im Falle f(0) 0 nicht durch eine lineare Abbildung der Form f = R A dargestellt werden Hierzu setze V = f(0), so dass für eine Funktion g(x) = f(x) V 12

13 gilt g(0) = 0 Man beachte, g ist eine Isometrie, denn es gilt: dist(f(x) V, f(y ) V ) = f(x) V (f(y ) V ) = X Y = X V (Y V ) =dist(x V, Y V ) =dist(x, Y ) Dann existiert nach Proposition 31 ein A O(n) mit g = R A Durch Einsetzen in die Gleichung erhält man: g(x) = f(x) V XA = f(a) XA + V = f(a) Umstellen der Gleichung f(x) = XA + V nach X liefert: X = Y A V A Dann existiert die Umkehrfunktion und hat die Form f 1 (Y ) = Y A V A Insbesondere ist f dann bijektiv Um jede Isometrie des R n als Matrix darstellen zu können, dh auch solche Isometrien für die f(0) 0 gilt, setzen wir zunächst exemplarisch für den Fall n = 3, für A O(3) und V = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 : ( ) A 11 A 12 A 13 0 A 0 F := := A 21 A 22 A 23 0 V 1 A 31 A 32 A 33 0 Gl 4(R) v 1 v 2 v 3 1 Das heißt die Isometrie f(x) = R A (X) + V wird durch die Matrix F repräsentiert Sei X = (x 1, x 2, x 3 ) R 3, dann schreibe (X, 1) = (x 1, x 2, x 3, 1) R 4 Für das Produkt des Vektors X mit F gilt dann: (X, 1) F = (R A (X) + V, 1) R n Auf diese Art und Weise repräsentiert( die Matrix ) F die Isometrie ( f ) Für die Komposition A 1 0 A 2 0 von zwei Isometrien, die durch F 1 = und F 2 = repräsentiert werden V 1 1 V

14 gilt dann: ( ) ( ) ( ) A 1 0 A 2 0 A 1 A 2 0 F 2 = = V 1 1 V 2 1 R A2 (V 1 ) + V 2 1 Die Matrizenmultiplikation ist in diesem Fall sehr hilfreich, da sie es uns ermöglicht, sofort festzustellen, dass die Hintereinanderausführung der Isometrien X R A1 (X) + V 1 und X R A2 (X) + V 2 die Isometrie X R A1 A 2 (X) + R A2 (V 1 ) + V 2 ergibt 14

15 4 Anhang Einschub zum Beweis von Proposition 13 zu Aussage 1) zu zeigen: η n (A ) = η n (A) ( ) a b Beweis η n : M n (C) M 2n (R) Für n = 1 gilt: η n (a + bi) = Allgemein gilt b a also: a 11 b 11 a 1n b 1n a 11 + b 11 i a 1n + b 1n i b 11 a 11 b 1n a 1n η n a n1 + b n1 i a nn + b nn i a n1 b n1 a nn b nn b n1 a n1 b nn a nn Da A M n (C), gilt A = Ā a 11 b 11 i a 1n b 1n i η n (A ) = η n (Ā ) = η n a n1 b n1 i a nn b nn i }{{} =Ā a 11 b 11 i a n1 b n1 i = η n a 1n b 1n i a nn b nn i a 11 b 11 a n1 b n1 b 11 a 11 b n1 a n1 = a 1n b 1n a nn b nn b 1n a 1n b nn a nn 15

16 η n (A) = η n a 11 + b 11 a 1n + b 1n a n1 + bn1 a nn + bnn = a 11 b 11 a 1n b 1n b 11 a 11 b 1n a 1n a n1 b n1 a nn b nn b n1 a n1 b nn a nn = a 11 b 11 a n1 b n1 b 11 a 11 b n1 a n1 a 1n b 1n a nn b nn b 1n a 1n b nn a nn 16

17 Gegenbeispiel für eine Behauptung in Proposition 14 Sei K = C Behauptung: Die Gleichung X + Y 2 C = X, X C + Y, Y C + 2 X, Y C ist im allgemeinen falsch ( ) 2 + 2i Beweis Es genügt die Angabe eines Gegenbeispiels Seien X, Y C 2 mit X =, Y = 1 + 2i ( ) 1 + 3i 2 + 4i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 + 2i 1 + 3i 3 + 5i 3 + 5i 3 + 5i X + Y C = + = =, 1 + 2i 2 + 4i C 3 + 6i C 3 + 6i 3 + 6i Für die linke Seite gilt: =(3 + 5i)(3 5i) + (3 + 6i)(3 6i) =(9 + 25) + ( )i + (9 + 36) + ( )i = = 79 Für die rechte Seite gilt: = X, X C + Y, Y C + 2 X, Y C ( ) ( ) ( ) ( ) 2 + 2i 2 + 2i 1 + 3i 1 + 3i = i 1 + 2i 2 + 4i 2 + 4i C C ( ) ( ) 2 + 2i 1 + 3i i 2 + 4i =(2 + 2i)(2 2i) + (1 + 2i)(1 2i) + (1 + 3i)(1 3i) + (2 + 4i)(2 4i) + 2((2 + 2i)(1 3i) + (1 + 2i)(2 4i)) = (8 4i + 10) =34 + 2(18 4i) Somit kann keine Gleichheit gelten C 17