Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

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1 Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen und Vektoren dient. 1 Lineare Abbildungen Im Folgenden werden Abbildungen von Punkten (in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum) mit Hilfe von Matrizen- oder Vektorgleichungen beschrieben. Dabei wird ein Punkt jeweils durch seinen Ortsvektor angegeben. Beispiel: Es sei! die Verschiebung um den Vektor 3 1. Unter dieser Verschiebung wird $ = 2 3 auf $ ' = 5 4 abgebildet. Der Punkt $ = 2 3 wird durch den Vektor * = 2 3 beschrieben. Dies kann folgendermassen notiert werden:! 2 3 = 5 4 bzw. allgemein!, - =, Einführungsaufgaben: 1) Bestimmen Sie das Bild von 2 3 und allgemein von, - unter der folgenden Abbildung: a) Verschiebung um 1 3. b) Spiegelung an der,-achse. 1 3 c) Punktspiegelung am Ursprung 0 = 0 0. d) Punktspiegelung an 1 2. e) Drehung um 90 um den Ursprung (im Gegenuhrzeigersinn). g) Spiegelung an der Geraden, = 3. 2) Bestimmen Sie das Bild von und allgemein von f) Streckung um 4 = 3 mit Zentrum im Ursprung 0 = 0 0., - 5 unter der folgenden Abbildung: a) Spiegelung am Ursprung 0 = b) Spiegelung an der -5-Ebene. c) Orthogonale (=senkrechte) Projektion auf die,--ebene. 1

2 In der linearen Algebra wird die Ebene bzw. der der dreidimensionale Raum als so genannter Vektorraum aufgefasst: DEFINITION Für die Ebene: Die Menge aller Vektoren der Form 6 =, -, wobei, und - reelle Zahlen sind, nennt man R8. Analog dazu für den dreidimensionalen Raum:, Die Menge aller Vektoren der Form 6 = -, wobei,, - und 5 reelle Zahlen sind, nennt man R :. 5 Notation: R ; =,, -, R und - R bzw. RA = -, R und - R und 5 R 5 So genannte lineare Abbildungen der Ebene bzw. des dreidimensionalen Raums auf sich selbst sind Abbildungen mit ganz bestimmten Eigenschaften: DEFINITION Eine Abbildung f heisst linear, wenn für alle Vektoren v und w gilt: f v + w = f v + f w, und für alle Zahlen λ R gilt: f λ v = λ f v. Beispiel: Die Spiegelung an der --Achse in der Ebene ist eine lineare Abbildung. Beweis: Diese Spiegelung hat die Gleichung G: R 8 R 8, G, - =, -. Für alle Vektoren 6 =, K - K und L =, M -M gilt: G 6 + L = G und für alle Zahlen N R gilt:, K - K +, M -M = G, K +, M - K + - M =, K +, M - K + - M = =, K, M - K + - =, K M - +, M K - = M = G 6 + G L G N 6 = G N, - = G N, N - = N, N - = N, N - = N, - = N G 6 2

3 Übungen: 1) Beschreiben Sie folgende Abbildungen vollständig und exakt mit Worten (Spiegelung an, Verschiebung um, Drehung um um, Projektion etc.). Bestimmen Sie auch, ob diese Abbildungen linear sind. a) G, - =, c) G, - = 2, e) G, - 5 = 2-, - 5 b) G, - = -, d) G, - =, 0 f) G, - 5 = 0-5 2) Zeigen Sie, dass aus der Eigenschaft G N 6 = N G 6 für N = 0 folgt, dass lineare Abbildungen den Nullvektor stets auf sich selbst abbilden. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Eigenschaft diejenigen drei Abbildungen in den Einführungsaufgaben auf Seite 1, welche nicht linear sind. 3) Es sei G eine lineare Abbildung mit G 1 0 = 2 3 und G 0 1 = 1 1. Bestimmen Sie G 4 5. Tipp: Schreiben Sie 4 5 als 4 5 = und verwenden Sie Linearitätseigenschaften. Challenges: 4) Es sei G eine lineare Funktion mit G 2 1 = 1 1 und G 3 2 = 2 4. Bestimmen Sie G ) Es sei G, - = O P 0 Q, G*RRS - 0 0, G*RRS - = 0 Zeigen Sie, dass G die Eigenschaft G N 6 = N G 6 erfüllt, aber nicht die Eigenschaft G 6 + L = G 6 + G L. 3

4 2 Matrizen und Abbildungen Lineare Abbildungen können durch so genannte Matrizen dargestellt werden. Beispiel einer Matrix: $ = Eine solche Zahlentabelle mit zwei Zeilen und zwei Spalten nennt man eine 2x2-Matrix. Das Element in der 2. Zeile und der 1. Spalte nennt man * 8U = 3. Diese Matrix kann dazu verwendet werden, eine Abbildung von R 8 nach R 8 zu beschreiben. Dazu wird das Produkt einer Matrix mit einem Vektor folgendermassen definiert: $ 6 = , - = 2, 4-3, + 5- Das Bild des Vektors 6 = 1 2 unter der Abbildung G 6 = $ 6 ist dann G 1 2 = = = 6 13 DEFINITION (MATRIX (SINGULAR) BZW. MATRIZEN (PLURAL)) Man nennt eine Zahlentabelle mit 2 Zeilen und 2 Spalten eine 2x2-Matrix: $ = * UU * U8 * 8U * 88 Allgemein: Eine W x X-Matrix ist eine Zahlentabelle mit Y Zeilen und Z Spalten. Das Element in der [-ten Zeile und der \-ten Spalte der Matrix $ heisst * ]^. * UU * U8 * U` * $ = 8U * 88 * 8` * au * a` Man nennt Y x Z die Ordnung der Matrix. DEFINITION (MATRIX-VEKTOR-PRODUKT) Eine 2x2-Matrix $ wird wie folgt mit einem Vektor in R 8 multipliziert: $ 6 = * UU * U8, * 8U * 88 - = * UU, + * U8 - * 8U, + * 88 - Analog wird eine 3x3-Matrix $ wie folgt mit einem Vektor in R : multipliziert: * UU * U8 * U:, * UU, + * U8 - + * U: 5 $ 6 = * 8U * 88 * 8: - = * 8U, + * * 8: 5 * :U * :8 * :: 5 * :U, + * :8 - + * :: 5 Übung: Berechnen Sie und

5 SATZ (LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN) In der Ebene: Eine Abbildung G: R 8 R 8 ist genau dann linear, wenn es eine 2x2-Matrix $ gibt mit G 6 = $ 6, für alle 6 R 8 Analog dazu im Raum: Eine Abbildung R : R : ist genau dann linear, wenn es eine 3x3-Matrix $ gibt mit G 6 = $ 6, für alle 6 R : Man nennt $ die Matrix der linearen Abbildung G. Beispiel: Die Spiegelung an der --Achse (in R 8 ) ist eine lineare Abbildung (siehe 1. Kapitel). Der Gleichung der Spiegelung G, - =, - entspricht die Matrixgleichung , - =, -. Die Matrix der Spiegelung an der --Achse ist also $ = Bestimmen der Abbildungsmatrix: Wenn die Abbildung komplizierter ist als im obigen Beispiel, hilft es, die Bilder der Punkte 1 0 und 0 1 zu untersuchen. Für die lineare Abbildung mit der Matrix $ = * UU * U8 * 8U * 88 gilt G 1 0 = * UU * U8 * 8U * = * UU 1 + * U8 0 * 8U 1 + * 88 0 = * UU * 8U und G 0 1 = * UU * U8 * 8U * = * UU 0 + * U8 1 * 8U 0 + * 88 1 = * U8 * 88 Fazit: SATZ (SPALTEN DER ABBILDUNGSMATRIX) Die Spalten der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung G: R 8 R 8 sind die Bilder der Basisvektoren h U = 1 0 und h 8 = 0 1. Analog dazu besteht im dreidimensionalen Raum die Abbildungsmatrix aus den Bildern der drei Basisvektoren. Um die Matrix einer gegebenen Abbildung zu ermitteln, reicht es also, die Bilder der Basisvektoren zu bestimmen. 5

6 Beispiel: Die Drehung um den Ursprung um 30 ist eine lineare Abbildung der Ebene auf sich selbst. Bestimmen Sie die dazugehörige Matrix sowie das Bild des Punkts i 2 4. Lösung: Der Vektor h U = 1 0 wird abgebildet auf h U ' = cos 30 sin 30 = : 8 U 8. Der Vektor h 8 = 0 1 wird abgebildet auf h 8 ' = Damit lautet die Matrix der Drehung $ = Das Bild von i 2 4 ist : 8 U 8 U 8 : 8 : 8 U 8 cos sin U 8 : = = U 8 :, d.h. i Übungen: 1) Berechnen Sie die Bilder von Matrix gegeben ist: 2 5 und 1 3, wenn die lineare Abbildung durch die folgende a) b) c) d) ) Berechnen Sie die Bilder von und G 6 = unter der linearen Abbildung ) Bestimmen Sie die Matrizen der folgenden Abbildungen in R 8. a) Spiegelung an der,-achse. b) Spiegelung an der Geraden - =,. c) Streckung mit Zentrum im Ursprung um den Faktor 4 = 3. d) Drehung um 270 um den Ursprung. 1 e) Projektion in Richtung auf die,-achse. 1 f) Projektion parallel zur --Achse auf die Gerade - =,. g) Identität, d.h. die Abbildung mit G 6 = 6 für alle 6 R 8. h) Drehung um 45 um den Ursprung. 4) Bestimmen Sie die Matrizen der folgenden Abbildungen in R :. a) Spiegelung an der,--ebene. b) Drehung um 90 um die 5-Achse. c) Drehung um 60 um die,-achse. 6

7 3 Rechnen mit Matrizen Ähnlich wie mit Vektoren kann man auch mit Matrizen rechnen: DEFINITION (ADDITION UND SKALARE VIELFACHE VON MATRIZEN) Es seien $ = * UU * U8 * 8U * 88 und o = p UU p U8 p 8U p 88 zwei Matrizen. Dann ist Summe der beiden Matrizen $ + o definiert durch $ + o = * UU + p UU * U8 + p U8 * 8U + p 8U * 88 + p 88 Sei N R eine reelle Zahl und $ = * UU * U8 * 8U * 88 eine Matrix. Dann ist die Matrix N $ definiert durch N $ = N * UU N * U8 N * 8U N * 88 Die Addition und die skalaren Vielfache von 3x3- und anderen Matrizen werden analog definiert. Beispiel: = , = Rechengesetze: Für die obigen Operationen gelten folgende Rechengesetze, wie sie von den Zahlen her bekannt sind: 1 $ = $ 0 $ = 0 N $ = $ N N q $ = N q $ N + q $ = N $ + q $ N $ + o = N $ + N o $ + o + r = $ + o + r $ + o 6 = $ 6 + o 6 N $ 6 = N $ 6 Beispiel: Bestimmen Sie die Matrix s, für welche gilt: s =. Lösung: Eine solche Matrixgleichung löst man wie eine Zahlengleichung. Durch Isolieren von s erhält man: 3s s = s = 0 1 s = =

8 Das Produkt von zwei Matrizen wird wie folgt definiert: DEFINITION: PRODUKT VON ZWEI MATRIZEN Es seien $ = * UU * U8 * 8U * 88 und o = p UU p U8 p 8U p 88 zwei 2x2-Matrizen. Dann ist das Produkt der beiden Matrizen $ o definiert durch $ o = * UUp UU + * U8 p 8U * UU p U8 + * U8 p 88 * 8U p UU + * 88 p 8U * 8U p U8 + * 88 p 88 Allgemein: Jedes Element t ]^ einer Produktmatrix r = $ o ist das Skalarprodukt der [-ten Zeile der Matrix A und der \-ten Spalte der Matrix o. Beispiel für 2x2-Matrizen: = = Es wird also die 1. Zeile der ersten Matrix mit der 1. Spalte der zweiten Matrix skalar multipliziert, um das erste Element der Resultatmatrix zu erhalten etc. Beispiel für 3x3-Matrizen: = = Das Assoziativ-Gesetz: Ein wichtiger Grund, warum die Matrix-Multiplikation so kompliziert definiert wird, ist die Tatsache, dass auf diese Art das Assoziativ-Gesetz für alle Matrizen $ und alle Vektoren 6 gilt: $ o 6 = $ o 6 Die Bedeutung dieser Eigenschaft erschliesst sich, wenn man das Produkt von zwei Matrizen als Komposition bzw. Verkettung von zwei linearen Abbildungen auffasst. Zur Erinnerung: DEFINITION: KOMPOSITION BZW. VERKETTUNG VON ABBILDUNGEN Es seien G und v zwei Abbildungen. Dann ist die Komposition (oder Verkettung) G v von G und v die Abbildung definiert durch G v 6 = G v 6 8

9 Beispiel: Wenn G eine Drehung und v eine Spiegelung ist, dann ist G v diejenige Abbildung, bei welcher jeder Punkt zuerst gespiegelt und anschliessend gedreht wird. Achten Sie auf die Reihenfolge: Bei G v wird zuerst v ausgeführt, anschliessend G. Nun lässt sich die oben genannte Eigenschaft so formulieren: SATZ: KOMPOSITION UND MATRIX-MULTIPLIKATION Es seien G und v zwei lineare Abbildungen beschrieben durch die Matrizen $ bzw. o. Dann ist G v ebenfalls eine lineare Abbildung beschrieben durch die Matrix $ o. Beispiel: Es sei $ = die Matrix der linearen Abbildung G und o = jene der Abbildung v Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen von G v und v G und interpretieren Sie diese geometrisch. Lösung: $ o = = = o $ Die Zusammensetzung einer zentrischen Streckung am Ursprung mit Faktor 3 und einer Punktspiegelung am Ursprung ergibt eine zentrische Streckung am Ursprung mit Faktor 3, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Vorsicht: Im Allgemeinen ist G v v G, bzw. $ o o $, das heisst, die Matrix-Multipliaktion ist nicht kommutativ. Übungen: 1) Es sei G: R 8 R 8 die Spiegelung an der Geraden - =, und v: R 8 R 8 die Drehung um den Ursprung um 90. a) Bestimmen Sie die Matrix $ von G und die Matrix o von v. b) Bestimmen Sie die Matrix r der Verkettung v G. c) Die Matrix r beschreibt ebenfalls eine Spiegelung. Bestimmen Sie die Spiegelungsachse. d) Bestimmen Sie die Matrix x der Verkettung G v (Achtung: umgekehrte Reihenfolge!) e) Auch x ist die Matrix einer Spiegelung. Geben Sie die Spiegelungsachse an. 2) In Aufgabe 1) wurde deutlich, dass die Matrixmultiplikation im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen nicht kommutativ ist, das heisst im Allgemeinen ist $ o o $. Ein weiterer Unterschied zur Multiplikation von Zahlen zeigt sich in folgenden Übungen: 1 2 a) Berechnen Sie b) Berechnen Sie = ) Es sei G: R : R : die Spiegelung an der -5-Ebene. Bestimmen Sie die Matrix y von G und berechnen Sie anschliessend y 8. Interpretieren Sie Ihr Resultat. 9

10 4 Inverse Abbildungen und inverse Matrizen Einführungsaufgabe Es sei $ = Weiter sei 6 =, die Matrix einer linearen Abbildung G und o = U ein beliebiger Vektor. z : z jene von v. 1) Wählen Sie einen beliebigen Vektor 6 und berechnen Sie damit L = G 6. Benutzen Sie Ihr Resultat, um v L zu berechnen und zeigen Sie, dass Sie denselben Vektor 6, erhalten, wie Sie ursprünglich gewählt haben. 2) Berechnen Sie nun L = G 6 allgemein mit 6 =, - und mit Hilfe Ihres Resultats v L und beweisen Sie so, dass für jeden Vektor 6 gilt: v G(6 ) = 6. 3) Berechnen Sie das Matrix-Produkt o $. sowie das Matrix-Produkt $ o und zeigen Sie, dass Sie in beiden Fällen, dasselbe Resultate erhalten. Interpretieren Sie dieses Resultat. 10

11 In der Einführungsaufgabe handelt es sich um zwei wie man sagt zueinander inverse Abbildungen. In diesem Kapitel wird genau definiert, was man unter einer inversen Abbildung versteht. Weiter wird eine Formel hergeleitet, mit der man die Inverse einer linearen Abbildung bestimmen kann. DEFINITION Die lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor auf sich selbst abgebildet wird, nennt man die Identitätsabbildung. Notation: [}, also [} 6 = 6 für alle Vektoren 6. Die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung heisst Einheitsmatrix. In R 8 gilt ~ = In R: gilt ~ = Die Identitätsabbildung ist das neutrale Element bezüglich der Komposition von Abbildungen. Für jede Abbildung G gilt G [} = [} G = G Analog ist die Matrix ~ das neutrale Element bezüglich der Matrixmultiplikation. Für jede Z Z-Matrix $ gilt $ ~ = ~ $ = $. DEFINITION Es seien G und G ÄU zwei lineare Abbildungen R 8 R 8 mit der Eigenschaft G G ÄU = [}. Dann nennt man G ÄU die inverse Abbildung zu G. Analog: Es seien $ und $ ÄU zwei Z Z-Matrizen mit der Eigenschaft, dass $ $ ÄU = ~. Dann nennt man $ ÄU die inverse Matrix zu $. Beispiel 1: Die Matrizen $ = , o = 1 4 U z : z sind invers zueinander (siehe oben), U : z z weil gilt $ o = U : = z z Die Matrix B ist die inverse Matrix von A und umgekehrt. Es gilt $ = o ÄU und $ ÄU = o. 11

12 Herleitung einer Formel für inverse Matrizen Gibt es für jede Matrix eine Inverse? Und wenn es eine gibt, wie bestimmt man sie? Die folgenden Berechnungen liefern Antworten auf diese Fragen: Gegeben ist die Matrix $ = * UU * U8 * 8U * 88. Wie lautet die inverse Matrix von $? Idee: Wir setzen $ ÄU =, - 5 L auf: und stellen ein Gleichungssystem für die vier Unbekannten,, -, 5, L Aus $ $ ÄU = ~ folgt * UU * U8 * 8U * 88, - 5 L = * UU, + * U8 5 * UU - + * U8 L * 8U, + * 88 5 * 8U - + * 88 L = Durch Vergleich der Komponenten entsteht das folgende 4x4 Gleichungssystem mit den Unbekannten,, -, 5, L : * UU, + * U8 5 = 1 * UU - + * U8 L = 0 * 8U, + * 88 5 = 0 * 8U - + * 88 L = 1 Subtrahiert man das * U8 -fache der 3. Gleichung vom * 88 -fache der 1. Gleichung, erhält man * UU * 88, * U8 * 8U, = * 88 Daraus folgt Analog erhält man die anderen Unbekannten: * 88, = * UU * 88 * U8 * 8U Also resultiert $ ÄU = * U8 - = * UU * 88 * U8 * 8U * 8U 5 = * UU * 88 * U8 * 8U * UU L = * UU * 88 * U8 * 8U 1 * 88 * U8 * UU * 88 * U8 * 8U * 8U * UU Fazit: Mit dieser Formel lässt sich die Inverse einer gegebenen Matrix bestimmen. Allerdings gibt es ein Problem, wenn der Term * UU * 88 * U8 * 8U im Nenner Null ist. In diesem Fall hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung und die Matrix besitzt keine Inverse. 12

13 DEFINITION Die Determinante der Matrix ist die Zahl $ = * UU * U8 * 8U * 88 det $ = * UU * 88 * U8 * 8U SATZ Es sei $ die Matrix $ = * UU * U8 * 8U * 88 mit Determinante det $ = * UU * 88 * U8 * 8U. Falls det $ 0 gilt $ ÄU = U ÇÉÑ Ö * 88 * U8 * 8U * UU Falls det $ = 0 hat die Matrix $ keine Inverse, d.h. $ ÄU ist nicht definiert. Beispiel 1: Die Matrix $ = 1 2 ist invertierbar, d.h. die Inverse ist definiert, 3 4 denn }hü $ = = 2 0. Es gilt $ ÄU = = Beispiel 2: Matrixgleichungen $ = , $ =? Wenn man die ganze Gleichung von rechts mit ÄU = U Ä multipliziert, erhält man ÄU U à $ = à U ÄU $ = = 1 2 ÄU = =

14 Beispiel 3: Anwendung auf Gleichungssysteme Man kann jedes lineare Gleichungssystem mit Hilfe von Matrizen beschreiben und auch lösen. Betrachten Sie das folgende Beispiel: 2, + 2- = 2 5, + 6- = 6 Dieses Gleichungssystem kann auch so geschrieben werden: , - = 2 6 Die Inverse der Matrix $ = ist $ÄU = U Es gilt, - = $ÄU 2 6. Daraus folgt, - = U = Das Gleichungssystem hat also die Lösung, = 12, - = 11. SATZ Für das lineare Gleichungssystem * UU, + * U8 - = p U * 8U, + * 8U - = p 8 gilt: Falls det * UU * U8 * 8U * 88 0 ist, hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, nämlich, - = * UU * U8 * 8U * 88 ÄU p U p 8. * UU * U8 Falls det * 8U * = 0 ist, hat das Gleichungssystem entweder keine Lösung oder 88 unendlich viele Lösungen. Bemerkung: Diese Lösungsmethode kann auch angewandt werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, welche drei und mehr Unbekannte und entsprechend viele Gleichungen haben. Allerdings ist bereits ab drei Unbekannten der Aufwand für die Ermittlung der inversen Matrix so gross, dass sich die Lösungsmenge mit anderen Methoden effizienter bestimmen lässt. 14

15 Übungen 1) Die Matrix der Abbildung G ist $ = a) Bestimmen Sie die Matrix der inversen Abbildung G ÄU. b) Bestimmen Sie das Urbild des Vektors 6 = 10, d.h. denjenigen Vektor, welcher auf 10 8 abgebildet wird. 8 2) Die Abbildung G ist die Spiegelung an - =,; die Abbildung v ist die Drehung um 0 um 30. Ermitteln Sie die Matrizen von G und v und bestimmen Sie anschliessend die Matrix einer Abbildung h, für welche gilt: a) h G = v b) G h = v (Achtung: Bei Aufgabe a) muss die Gleichung von rechts, bei Aufgabe b) von links mit der Matrix von G ÄU multipliziert werden. Die beiden Lösungen sind unterschiedlich.) 3) Lösen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe einer inversen Matrix: a) 3, + 2- = 2 7, + 5- = 3 b), + - = 26, - = 8 c) 3, + 4- = 24, + 5- = 11 d) 8, = 0 4, = 0 e) 4, + 6- = 5 6, 9- = 8 f) 4, + 6- = 5 6, 9- = 7.5 4) Bestimmen Sie, indem Sie die Determinante der entsprechenden Matrix untersuchen, für welche Werte des Parameters das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt. a) *, + - = 5, - = 8 b) p, + p- = 5 6, + p- = 8 c) 3, + 3t- = 5 t, +, + 3- = 8 15

16 5) In dieser Aufgabe geht es um eine geometrische Bedeutung der Determinante einer Matrix. Betrachten Sie dazu eine lineare Abbildung G mit Matrix $ = * p t }. a) Die Basisvektoren h U = 1 0 und h 8 = 0 spannen ein Quadrat mit dem Flächeninhalt ä = 1 1 auf. Bestimmen Sie den Flächeninhalt ä des Parallelogramms, welches von den Vektoren G h U und G h 8 aufgespannt wird. Tipp zur Berechnung der Fläche: Fügen Sie den Vektoren G h U und G h 8 eine dritte Komponente 5 = 0 an und verwenden Sie das Vektorprodukt. b) Stellen Sie die Matrix der folgenden Abbildungen R 8 R 8 auf und berechnen Sie den Flächenverzerrungsfaktor. i) Drehung um den Ursprung um den Winkel 150. ii) Zentrische Streckung am Nullpunkt um den Faktor 5. iii) Projektion auf die --Achse in Richtung 6 = ) Beweisen Sie: a) det $o = det $ det o b) det N$ = N 8 det $ c) det($ + o) det $ + det o 16

17 5 Kern und Bild In den Übungen zum vorangegangenen Kapitel wurden die folgenden Gleichungssysteme bearbeitet: 4, + 6- = 5 6, 9- = 8 und 4, + 6- = 5 6, 9- = 7.5 Weil det 4 6 = 0 ist, kann man diese Gleichungssysteme nicht mit der Inversen der Matrix 6 9 lösen. Wenn man sie auf konventionelle Art löst, stellt man leicht fest, dass das linke Gleichungssystem keine Lösung hat, das rechte hingegen unendlich viele. In diesem Kapitel werden Begriffe und Ideen eingeführt, mit denen man auf einfache Art feststellen kann, ob solche Systeme lösbar sind oder nicht. Geometrische Betrachtungsweise: Die obigen Gleichungssysteme könnte man auch so beschreiben: Gesucht ist ein Vektor 6 =, - mit der Eigenschaft, dass das Bild von 6 gerade der Vektor 5 8 bzw ist. Es ist hilfreich, alle möglichen Bilder zu einer Menge zusammenzufassen. Dazu wird der Begriff der Bildmenge einer linearen Abbildung verwendet: DEFINITION Sei G: R 8 R 8 eine Abbildung. Die Menge aller Bilder von G nennt man das Bild von G und schreibt dafür im G = G 6 6 R 8 Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, nennt man den Kern von G und schreibt dafür ker G = 6 R 8 G 6 = 0 Bemerkung: Manchmal spricht man auch vom Kern und Bild einer Matrix und meint dabei den Kern und das Bild der dazu gehörigen linearen Abbildung. Beispiel: Die lineare Abbildung G habe die Matrix $ = 4 6. Für das Bild eines allgemeinen 6 9, Vektors - gilt $, - = $,h U + -h 8 =,$h U + -$h 8 =, =, Die Vektoren in im G sind demnach alles Vielfache von 4 6. Somit ist im G = Ü 4 6 Ü R. Anders gesagt: Unabhängig davon, welchen Vektor 6 man wählt, $ 6 liegt sicher kollinear zur Geraden mit der Parametergleichung ç = Ü 4. So lässt sich auch erklären, warum die Gleichung 6 4, + 6- = 5 4 keine Lösung hat: Der Punkt 5 8 liegt nicht auf der Geraden ç = Ü 6, 9- = 8 6! 17

18 Die Bedeutung des Kerns einer Abbildung: Der Kern von G ist die Lösungsmenge der Gleichung $, - = 0 bzw. die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Beispiel (siehe oben): Die lineare Abbildung G habe die Matrix $ = Analog zur Berechnung von im G folgt $, - =, =, : =! 0 0. Also gilt ker G =, -, : 8 - = 0 = Ü 3 2 Ü R. Geometrisch ausgedrückt: Für alle Vektoren L, welche kollinear zur Geraden ç = Ü 3 2 liegen, gilt $ L = 0. Das Bild und der Kern einer linearen Abbildung haben spezielle Eigenschaften: Es sind so genannte Unterräume: DEFINITION Ein Unterraum von R 8 ist eine Menge è R 8 mit folgenden Eigenschaften: 1. Für alle 6, L è ist auch 6 + L è. 2. Für alle 6 è und alle N R ist auch N6 è. Bemerkungen: Ein Unterraum beinhaltet immer den Nullvektor. Es gibt drei Arten von Unterräume von R 8 : o Der nulldimensionale Unterraum è = 0. o Der zweidimensionale Unterraum è = R 8. o Eindimensionale Unterräume der Form è = Ü 6 Ü R. Die eindimensionalen Unterräume entsprechen genau den Geraden durch den Ursprung. SATZ Das Bild und der Kern einer linearen Abbildung sind Unterräume von R 8. Beweis für den Kern einer Matrix: 1. Seien 6 und L zwei Vektoren in ker G. Weil G linear ist, gilt G 6 + L = G 6 + G L = = 0. Somit ist 6 + L ker G. 2. Sei 6 ker(g) und N R. Weil G linear ist, gilt G N6 = NG 6 = N0 = 0. Somit ist auch N6 ker G. SATZ Das Bild einer linearen Abbildung ist die Menge aller Linearkombinationen der Spaltenvektoren der entsprechenden Matrix. 18

19 Beweis: Aus der Linearität der Abbildung folgt G, - = G,h U + -h 8 =,G h U + -G h 8. Weil G(h U ) und G(h 8 ) die Spalten der entsprechenden Matrix sind, folgt der obige Satz. SATZ Es sei G: R 8 R 8 eine lineare Abbildung mit der Matrix $. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1. det $ 0 2. Die Spalten von $ sind linear unabhängig. 3. im G = R 8 4. ker G = 0 Beweis: Es werden die folgenden Implikationen bewiesen: : (Widerspruchsbeweis) Angenommen die Spalten von $ sind linear abhängig. Dann hat $ die Form $ = * 4 * p 4 p. Damit gilt det $ = * 4p 4* p = 0. Dies widerspricht 1. det $ 0. Also sind die Spalten linear unabhängig. 2 3: Dies, genauso wie 3 2, folgt direkt aus dem Satz von oben. 3 4: Für einen beliebigen Vektor, - ker G gilt G, - = G,h U + -h 8 =,G h U + -G h 8 = 0 Aus im G = R 8 lässt sich schliessen, dass die Spaltenvektoren G h U und G h 8 linear unabhängig sind (3 2). Somit hat die Gleichung G, - = 0 nur die Lösung, - = : (Widerspruchsbeweis) Es sei $ = * p die Matrix der Abbildung G, wobei ker G = 0. Annahme: det $ = 0. t } Es gilt für den Vektor 6 = } t : G 6 = * p t } } t Also ist 6 = } t ker G. Aus ker G = 0 folgt } t = 0 0. = *} pt t} }t = det $ 0 = 0. Analog gilt für L = p * : G L = * p t } p *p p* = * tp }* = 0 det $ = 0. Also ist auch L = p * ker G und aus ker G = 0 folgt wiederum p * = 0 0. Also ist Matrix $ = , welche jeden Vektor auf 0 0 abbildet. Dies steht im Widerspruch zu ker G = 0. Daraus folgt, dass det $ 0. 19

20 Übungen 1) Bestimmen Sie den Kern und das Bild der folgenden Matrizen. Wenn es sich dabei um eine eindimensionale Lösung handelt, ist eine Parametergleichung der entsprechenden Geraden anzugeben. $ = , o = , r = , x = , ~ = ) Es sei G eine Projektion auf die Gerade - =, in Richtung 6 = 1 1. Bestimmen Sie den Kern und das Bild. 3) Geben Sie eine Matrix an, deren Kern die Gerade v: ç = Ü 1 2 und deren Bild die --Achse ist. 4) Geben Sie eine Matrix $ an, deren Kern und Bild übereinstimmen. Berechnen Sie auch $ 8. Challenges: 5) Beweisen Sie, dass das Bild einer linearen Abbildung einen Unterraum bildet. Tipp: L ist genau dann ein Element von Im(G), wenn es ein 6 R 8 gibt, mit G 6 = L. 6) Beweisen Sie die folgende Aussage: Es sei G eine lineare Abbildung mit ker(g) = 0. Dann ist G injektiv. Erinnerung: Injektiv bedeutet: Aus G 6 = G(L) folgt 6 = L. Tipp: Betrachten Sie G 6 L. 20

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