Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
|
|
- Hilko Schneider
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x = A λi n x = 0. Der Skalar λ ist dann ein Eigenwert von A, mit sagt x ist Eigenvektor zum Eigenwert λ. Beispiel Mit A = Es folgt, dass x = λ = 3 ist. und x = ist Ax = 3 3 = 3 x. Eigenvektor von A zum Eigenwert eigenwerte4.pdf, Seite
2 Beispiel 0, 8 0, 6 Die Matrix Q = beschreibt eine Spiegelung an 0, 6 0, 8 der Geraden durch 0; 0 und 3;. Für alle Vektoren v auf der Spiegelachse, d. h. die skalaren Vielfachen von 3;, gilt Qv = v = v. Somit besteht die Spiegelachse aus Eigenvektoren zum Eigenwert. Die skalaren Vielfachen w von ; 3 stehen senkrecht zur Spiegelachse. Damit gilt Qw = w = w, d. h. diese Vektoren sind Eigenvektoren zum Eigenwert. Man kann nachprüfen, dass Vektoren, die auf keiner dieser beiden Achsen liegen, keine Eigenvektoren von Q sind. Zum, 4 Beispiel Q = kein skalares Vielfaches von. 0, eigenwerte4.pdf, Seite
3 Beispiel 3 Ist A eine 3 3Drehmatrix und x ein Vektor auf der Drehachse, so gilt Ax = x = x. Folglich hat jede 3 3Drehmatrix den Eigenwert und die zugehörigen Eigenvektoren liegen auf der Drehachse. Zum Bespiel sind alle Vektornen der Form t mit t R \ {0} Eigenvektoren zum Eigenwert λ = von A = 3. vgl. Beispiel im Abschnitt lineare Abbildungen eigenwerte4.pdf, Seite 3
4 Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren Man bestimmt im ersten Schritt die Eigenwerte einer gegebenen Matrix A und anschlieÿend im zweiten Schritt zu jedem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren. Letztere erhält man als Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems. Zur Bestimmung der Eigenwerte dient folgende Überlegung: Es gilt λ ist Eigenwert von A Es gibt einen Vektor x 0 mit Ax = λx = λi n x das LGS A λi n x = 0 hat eine Lösung x 0 die Matrix A λi n = 0 ist singulär nicht regulär deta λi n = 0. eigenwerte4.pdf, Seite 4
5 Charakteristisches Polynom Aus der LaplaceEntwicklung der Determinante folgt, dass p A λ = deta λi n ein Polynom nten Grades in λ ist, das charakteristische Polynom von A. Dessen Nullstellen sind gerade die Eigenwerte. Beispiel: Das charakteristische Polynom von A = ist p A λ = deta λi = det = det λ λ λ 0 0 λ = λ = λ λ 3. Die Eigenwerte von A sind die Nullstellen 3 und von p A λ. eigenwerte4.pdf, Seite 5
6 Bemerkungen Nur quadratische Matrizen können Eigenwerte und Eigenvektoren haben. Ist A nicht quadratisch, so haben Vektoren x und y = Ax unterschiedliche Dimensionen, so dass y kein skalares Vielfaches von x sein kann. Das charakteristische Polynom einer n nmatrix ist ein Polynom nten Grades und hat somit höchstens n Nullstellen. Diese können reelle oder komplexe Zahlen sein. Auch eine Matrix mit reellen Koezienten kann somit komplexe Eigenwerte haben. Im folgenden werden wir uns auf Beispiele beschränken, wo die Eigenwerte reell sind. Warnung: Die Eigenwerte einer Matrix ändern sich im Allgemeinen bei elementaren Zeilenoperationen. Daher können diese bei der Berechnung von Eigenwerten nicht benutzt werden. eigenwerte4.pdf, Seite 6
7 Berechnung der Eigenvektoren Hat man einen Eigenwert λ bestimmt, so erhält man die zugehörigen Eigenvektoren als Lösung des homogenen LGS A λi n x = 0. Im Beispiel ergeben sich die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = als Lösungen des LGS [ ] 0 x x = = 0 x x x x = t mit t R beliebig. Mit λ = 3 ergibt sich 3 x = 3 x x = t mit t R. x x = x eigenwerte4.pdf, Seite 7
8 Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Dierentialgleichungssysteme, z. B. Schwingungsgleichungen Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von Funktionen mehrerer Veränderlicher Stabilität von Gleichgewichtslösungen dynamischer Systeme Stationäre Verteilungen für MarkovProzesse Dreh und Spiegelachsen bei geometrischen Transformationen eigenwerte4.pdf, Seite 8
9 Beispiel Gegeben sei die lineare Rekursion x n+ = x n + x n. Mit y n = x x erhält man die Vektorgleichung xn+ xn + y = n xn =. y n+ x n 0 y n Die Matrix A = hat das charakteristische Polynom 0 deta λi = λ λ = λ λ mit den Nullstellen λ = und λ =. Die zum Eigenwert λ = gehörenden Eigenvektoren von A sind skalare Vielfache von 0 0 Lösungen des LGS, die Eigenvektoren zu λ = sind skalare Vielfache von 0 0 Lösungen des LGS eigenwerte4.pdf, Seite 9
10 Fortsetzung Beispiel Die Eigenvektoren liefern spezielle Lösungen der Rekursion: x x Mit = = erhält man y x 0 x x x = A = und durch mehrfache Anwendung y y y xn y n = A n x y = n x y = n und damit x n = n x = n. x x Mit = = erhält man analog y x 0 xn xn = = n = n x y n x n n n = n. eigenwerte4.pdf, Seite 0
11 Fortsetzung Beispiel Da Linearkombinationen von Lösungen einer homogenen linearen Rekursion wieder Lösungen sind, ist xn = A n x = p n + q n Lösung y n y x zu den Anfangsbedingungen = p + q, y d. h. x n = p n + q n ist Lösung zu den Anfangsbedingungen x 0 = y = p + q und x = p + q. Ist nun beispielsweise die Anfangsbedingung x 0 = und x = vorgegeben, so sind p und q aus dem linearen Gleichungssystem = p + q = p zu bestimmen. q Die eindeutige Lösung ist p = q =, die Lösung der Rekursion damit x n = n + n. eigenwerte4.pdf, Seite
12 Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren Eine n nmatrix hat höchstens n Eigenwerte. Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind die Koezienten auf der Diagonale. Ist λ Eigenwert von A, so bildet die Menge aller Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösungsmenge eines homogenen LGS einen Unterraum des R n, den Eigenraum zum Eigenwert λ. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig. Hat A n verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine aus Eigenvektoren { bestehende Basis des R n. } Beispiel:, ist eine aus Eigenvektoren von A = bestehende Basis des R. eigenwerte4.pdf, Seite
13 Beispiel A = hat das charakteristische Polynom λ 0 0 det 4 λ 0 = λ λ 3 λ λ mit den Nullstellen λ =, λ = und λ 3 = 3. Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = löst man das LGS A I 3 x = 0 x = t mit t R, d. h. der Eigenraum zum Eigenwert λ = ist der aus allen skalaren Vielfachen von bestehende eindimensionale Unterraum des R 3. eigenwerte4.pdf, Seite 3
14 Fortsetzung Beispiel A = Zur Bestimmung der Eigenvektoren zu λ = löst man das LGS A Ix = mit der allgemeinen Lösung x = t t bzw. t = t , = t 0 R, die den zugehörigen Eigenraum bildet. mit Analog erhält man den Eigenraum zu λ 3 = 3 als Menge aller skalaren Vielfachen von 0 0. Eine Basis aus Eigenvektoren ist {, 0, 0 0 } eigenwerte4.pdf, Seite 4
15 Geometrische und algebraische Vielfachheit Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ von A ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes. Sie ist gleich der Zahl der frei wählbaren Parameter bei der Lösung des LGS A λi n x = 0. Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms p A λ, d. h.: ˆλ hat algebraische Vielfachheit k, wenn p A λ = λ ˆλ k qλ mit qˆλ 0. Satz: Die algebraische Vielfachheit ist immer gröÿer gleich der geometrischen Vielfachheit. Insbesondere: Ist λ einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so sind die algebraische und die geometrische Vielfachheit gleich. eigenwerte4.pdf, Seite 5
16 Beispiel A = hat das charakteristische Polynom p A λ = det A λi = 7 λ 5 λ 4 9 = λ λ + = λ. Also ist λ = Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheit. Das LGS A I x = 0 hat die allgemeine Lösung x = t 3 = t 3 R mit t R, die den t zugehörigen Eigenraum bildet. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ = ist die Dimension dieses Eigenraums, also Zahl der frei wählbaren Parameter. eigenwerte4.pdf, Seite 6
17 Beispiel A = 3 4 hat das charakteristische Polynom p A λ = λ 3 + 3λ + λ 3 mit den einfachen Nullstellen λ =, λ = und λ 3 = 3. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = sind die Lösungen des LGS A Ix = A + Ix = 3 x = Als allgemeine Lösung erhält man x = t 0,, T mit t R. Analog erhält man Eigenvektoren x = t,, 0 mit t R zum Eigenwert λ = sowie x = t, 3, mit x = t R zum Eigenwert λ 3 = 3. Somit haben die drei Eigenwerte, und 3 jeweils die algebraische und geometrische Vielfachheit. eigenwerte4.pdf, Seite 7
18 Ähnlichkeit von Matrizen Zwei n nmatrizen A und B heiÿen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix U gibt mit Es folgt A = UBU. B = U AU. Die Zuordnung A U AU wird als Ähnlichkeitstransformation bezeichnet. U ist dabei eine Basiswechselmatrix. Die Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist. Interpretation Ähnliche Matrizen stellen die selbe lineare Abbildung bezüglich unterschiedlicher Basen dar. eigenwerte4.pdf, Seite 8
19 Satz: Diagonalisierung Eine n nmatrix ist genau dann diagonalisierbar ähnlich zu einer Diagonalmatrix wenn es n linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Bilden diese die Spalten der Matrix U, so ist U invertierbar Spalten von U linear unabhängig rang U = n und D = U AU ist eine Diagonalmatrix. Hat A n verschiedene Eigenwerte, so sind die zugehörigen Eigenvektoren immer linear unabhängig, also ist A in diesem Fall diagonalisierbar. eigenwerte4.pdf, Seite 9
20 Beispiel Mit A = AU = Mit U = U AU = und U = = eine Diagonalmatrix. = = ist dann ist = D eigenwerte4.pdf, Seite 0
21 Andere Betrachtungsweise AU = = 3 3 Da die Spalten von U Eigenvektoren von A sind, werden sie mit den entsprechenden Eigenwerten und 3 multipliziert. Dies entspricht der Multiplikation von rechts mit der Diagonalmatrix D, deren Koezienten auf der Diagonalen die Eigenwerte und 3 sind: 3 0 AU = = = UD Nach Mulitplikation beider Seiten von links mit U folgt dann U AU = U UD = D. eigenwerte4.pdf, Seite
22 Beispiel A = 3 4 Eigenvektoren U = AU = und U AU = hat die Eigenwerte, und 3 mit , 0 und U = = = Mit ist dann eigenwerte4.pdf, Seite
23 Beweis des Satzes am ersten Beispiel A = hat Eigenvektoren zum Eigenwert λ = und zum Eigenwert λ = 3. Für R gilt dann mit U = x y U x y = x + y AU x y = x A + y A = x + y 3 = U x U AU x y = U U x 3y = x 3y = D x y 0 mit D = Das dies für alle. 0 3 x y R gilt, muss U AU = D sein. eigenwerte4.pdf, Seite 3 3y
24 Umgekehrte Betrachtung Lineare Abbildung x y A x y und D aus dem letzten Beispiel: Darstellung von x y Eigenvektoren Basiswechsel: x y in zwei Schritten mit A, U als Linearkombination von = c + c = U c c c c = U x y Berechnung der linearen Abbildung mit Hilfe von Eigenvektoren und Eigenwerten: A x y = A c + c = c A + c A = c + 3c = U c 3c = UD c c = UDU x y eigenwerte4.pdf, Seite 4
25 Eigenschaften von Ähnlichkeitstransformationen Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrealtion auf der Menge aller n nmatrizen. Ähnliche Matrizen haben die selben Eigenwerte. Die Eigenvektoren von B werden durch U auf die Eigenvektoren von A abgebildet. Es gibt genau dann eine Basis aus Eigenvektoren, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte gleich n ist. Ist A = UBU, so folgt A n = UB n U. eigenwerte4.pdf, Seite 5
26 Beispiel 0, 4 0, 3 A = hat Eigenwerte λ 0, 6 0, = und λ = 0, mit 7 Eigenvektoren v = und v = Für x = gilt z. B. x = v 3 + v 3. Es folgt Ax = 3 Av + 3 Av = 3 v + 30 v sowie A n x = 3 v n v für alle n N. Für n gilt dann lim n A n v = 3 v = /3 4/3. eigenwerte4.pdf, Seite 6
27 Noch mehr Eigenschaften Sind A und B ähnlich, so ist det A = det B. Umgekehrt folgt aus det A = det B aber noch nicht, dass A und B ähnlich sind. Ist A diagonalisierbar, so ist det A das Produkt der Eigenwerte. Die Spur von A, deniert als Summe der Koezienten a ii auf der Diagonalen, ist gleich der Summe der Eigenwerte. Liegt der Körper C der komplexen Zahlen zugrunde, so ist eine Matrix genau dann diagonalisierbar, wenn für alle Eigenwerte die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist. Jede n nmatrix lässt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation in die Jordansche Normalform bringen. eigenwerte4.pdf, Seite 7
28 Eigenwerte symmetrischer Matrizen Ist A eine symmetrische n nmatrix, so sind alle Eigenwerte reell und ihre geometrische Vielfachheit ist gleich der algebraischen Vielfachheit. Es folgt, dass die Summe der geometrischen Vielfachheiten gleich n ist. Damit gibt es eine Basis des R n aus Eigenvektoren. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander. Folgerung Es gibt es eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R n. Äquivalent dazu ist: Es gibt eine orthogonale Matrix Q, sodass Q AQ = Q T AQ diagonal ist. Beispiel: A =, Q = eigenwerte4.pdf, Seite 8
29 Beispiel : A = p A λ = deta λi 3 = det mit der Regel von Sarrus λ λ 0 0 λ = λ λ λ 4 λ 4 λ = λ + λ λ 4 λ λ = λ λ + 8λ = λ λ + 8 = λ 9 λ hat die Nullstellen λ = 0, λ = 3 und λ 3 = 3. Die Eigenvektoren zu λ = 0 erhält man durch Ax = 0 mit t R x = t eigenwerte4.pdf, Seite 9
30 Fortsetzung Beispiel A = Mit λ = 3 erhält man das LGS A + 3I 3 x = mit t R, mit λ 3 = 3 dann A 3I 3 x = x = t mit t R x = t eigenwerte4.pdf, Seite 30
31 Fortsetzung Beispiel A = Wählt man zu jedem Eigenwert einen normierten Eigenvektor, so erhält man die Orthonormalbasis { } 3, 3 Matrix Q = 3 AQ = 3, Q T AQ = 3 =, mit der die orthogonale gebildet werden kann. Es ist sowie = eigenwerte4.pdf, Seite 3
32 Beispiel 3 A = hat die Eigenwerte λ = 3, λ = 3 und λ 3 = 3 mit normierten Eigenvektoren x = , x = und x 3 = x, x und x 3 bilden eine Orthogonalbasis des R 3. eigenwerte4.pdf, Seite 3
33 Fortsetzung Beispiel Ist Q die Matrix mit den Eigenvektoren x, x und x 3 als Spalten, so hat 0 0, , , AQ = = 0 0 0, , , , , , , , , , , , , die Spalten λ x, λ x und λ 3 x 3. 3 Q T 0 0 AQ = d ij = hat dann die Koezienten d ij = x i, λ j x j = λ j x i, x j = { λj, falls i = j 0, falls i j eigenwerte4.pdf, Seite 33
34 Eigenwerte spezieller Matrizen Satz : Ist Q orthogonal, so gilt λ = für alle Eigenwerte λ von Q. Beweis: Für einen Eigenvektor x zum Eigenwert λ gilt x = Qx = λx = λ x. Die erste Gleichung folgt aus den Eigenschaften orthogonaler Matrizen, die letzte aus denen der Vektornorm. Da x Eigenvektor ist, gilt x 0, womit aus obiger Gleichung λ = folgt. Bemerkung und geometrische Interpretation Im allgemeinen können orthogonale Matrizen auch komplexe Eigenwerte mit Betrag haben. Diese treten bei Drehungen auf. Der Eigenwert λ = tritt immer dann auf, wenn an einem Unterraum gespiegelt wird, der Eigenwert λ = + gehört zu Unterräumen, die invariant unter der linearen Abbildung x Qx sind wie z. B. Dreh und Spiegelachsen. eigenwerte4.pdf, Seite 34
35 Satz Eigenwerte einer Projektion Für eine quadratische Matrix A gilt genau dann A = A d. h. A beschreibt eine Projektion, wenn sie diagonalisierbar ist und alle Eigenwerte entweder 0 oder sind. Beweis Ist A Diagonalisierbar mit Eigenwerten {0; }, so gibt es eine invertierbare Matrix U mit A = UDU, wobei D eine Diagoanlmatrix mit ausschlieÿlich mit Nullen und Einsen auf der Diagonale ist. Man rechnet leicht nach, dass für eine solche Matrix gilt D = D und somit A = A A = UDU UDU = UD U = UDU = A. Zum Beweis von stellt man fest, dass Vektoren im Kern von A Eigenvektoren zum Eigenwert 0 sind, Vektoren im Bild von A sind Eigenvektoren zum Eigenwert. Da es zu einer Projektion immer eine Basis bestehend aus solchen Vektoren gibt, ist A diagonalisierbar mit Eigenwerten 0 und. eigenwerte4.pdf, Seite 35
Eigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte (Teschl/Teschl 4.2 Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
Mehr1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von
1.11 Eigenwertproblem Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren Lineare Rekursionen Lineare Differentialgleichungssysteme Bestimmung von Wachstumsraten Bestimmung von Maximal- und Minimalwerten von
MehrEigenwerte. Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1)
Eigenwerte 1 Eigenwerte und Eigenvektoren Ein Eigenwert einer quadratischen n n Matrix A ist ein Skalar λ C (eine komplexe Zahl) mit der Eigenschaft Ax = λx (1) für einen Vektor x 0. Vektor x heißt ein
MehrProbeklausur zu Mathematik 2 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
Mehr9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 9. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-4.. Aufgabe G (Koordinatentransformation)
MehrKapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel 5 : Eigenwerte und Eigenvektoren 5.1 Definition und allgemeine Eigenschaften Definition 5.1 Sei A eine quadratische (n n)-matrix. λ C heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor x C n mit x 0 existiert,
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)
Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009) Diagonalisierbarkeit
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine Vektorräume (Teschl/Teschl 9 Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen: Eine
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
Mehr6 Eigenwerte und Eigenvektoren
6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt
MehrSerie a) Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix 1 0 1? 0 1 1
Prof. Norbert Hungerbühler Serie Lineare Algebra II ETH Zürich - D-MAVT. a Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? i (,,. ii (,,. iii (,,. iv (, 3,. v (,,. Ein Vektor v ist Eigenvektor
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 215 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 12 Aufgabe 121 Matrixpotenzen und Eigenwerte Diese Aufgabe ist
Mehr18 λ 18 + λ 0 A 18I 3 = / Z 2 Z 2 Z Z Z 1
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive
MehrLösungen Serie 2. D-MAVT Lineare Algebra II FS 2018 Prof. Dr. N. Hungerbühler 1 0 1? 0 1 1
D-MAVT Lineare Algebra II FS 8 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie. Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix? (a) (,, ). Ein Vektor v ist Eigenvektor von A :=, falls Av ein skalares
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe Beispiel einer Koordinatentransformation Gegeben seien zwei
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen
12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn
MehrBerechnung der Determinante
Berechnung der Determinante Verhalten der Determinante unter elementaren Zeilenoperationen: Das Vertauschen zweier Zeilen/Spalten der Matrix A ändert nur das Vorzeichen der Determinante, d.h: i, j {1,...,
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrLösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Sommer 4 Lösungen zu Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. [ Punkte] Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 12
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 1 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 12 Hausaufgaben Aufgabe 12.1 Sei f : R 3 R 3 gegeben durch f(x) :=
MehrDiagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen
¾ Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen a) Eigenwerte und Eigenvektoren Die Matrix einer linearen Abbildung ³: Î Î bezüglich einer Basis ( Ò ) ist genau dann eine Diagonalmatrix wenn jeder der Basisvektoren
MehrLösung zu Serie [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich:
Lineare Algebra D-MATH, HS 04 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie. [Aufgabe] Faktorisieren Sie die folgenden Polynome so weit wie möglich: a) F (X) := X 5 X in R[X] und C[X]. b) F (X) := X 4 +X 3 +X in
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)
Mehr46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46.1 Motivation Symmetrische Matrizen (a ij = a ji für alle i, j) kommen in der Praxis besonders häufig vor. Gibt es für sie spezielle Aussagen über
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2018/2019
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
Mehr5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit
ME Lineare Algebra HT 2008 99 5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 5.1 Ein Beispiel zur Motivation Als einfachstes Beispiel eines dynamischen Systems untersuchen wir folgendes Differentialgleichungssystem
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,
MehrProbeklausur Lineare Algebra 1 Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! 100 Punkte sind 100%. Inhaltsverzeichnis
Prof. Dr. Wolfgang Arendt Manuel Bernhard Wintersemester 5/6 Probeklausur Lineare Algebra Achten Sie auf vollständige, saubere und schlüssige Argumentation! Punkte sind %. Inhaltsverzeichnis Aufgabe Aufgabe
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrD-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung. Musterlösung 13. (A ± I)x = 0 Ax ± x = 0 Ax = ±x Ax = λx
D-INFK Lineare Algebra HS 2017 Özlem Imamoglu Olga Sorkine-Hornung Musterlösung 13 1. Die Matrix A±I ist singulär falls es einen Vektor x 0 gibt der die Gleichung (A±I)x = 0 erfüllt, d.h. wenn A ± I als
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Motivierendes eispiel Lineare Abbildungen werden durch Matrizen dargestellt: Abbildung : Spiegelung A =. Abbildung A = : Verzerrung. ei der Spiegelung wird ~e auf sich selbst
MehrRichie Gottschalk Lineare Algebra I Seite 1. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? Es gibt genau einen Unterraum W von V mit dim(w ) = n.
Richie Gottschalk Lineare Algebra I Seite Aufgabe Im Folgenden sind K immer ein Körper und V ein K-Vektorraum. a) Welche der folgenden Ringe sind kommutativ? K[x] K[x] ist per se ein kommutativer Polynomring.
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
Mehrund Unterdeterminante
Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,
MehrAussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2012/2013
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
Mehreine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ.
Eigenwert, Eigenvektor In der Regel hat bei einer linearen Abbildung das Bild eines Vektors eine andere Richtung als das Original r. Bei der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von linearen Abbildungen
MehrAussagenlogik. 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl. C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7. F: 3 ist Teiler von 9
Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert
MehrLösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Winter 6 Lösungen zur Prüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT. Hinweise zur Bewertung: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch; machen Sie ein Kreuzchen in das entsprechende
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS. Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FERIENKURS Lineare Algebra FLORIAN NIEDERREITER & AILEEN WOLF 07.03.2016-11.03.2016 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Darstellungsmatrizen 2 2 Diagonalisierbarkeit
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 11
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Vorbemerkung: Zur Bestimmung der Eigenwerte (bzw. des charakteristischen Polynoms) einer (, )-Matrix verwenden wir stets die Regel von Sarrus (Satz..) und zur Bestimmung
MehrMathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
MehrLineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)
Lineare Abbildungen Teschl/Teschl.3,. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
MehrHenning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 2017 Klausur mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich
Henning Krause Lineare Algebra Julia Sauter SS 27 Klausur 2.9.27 mit Lösungsvorschlag Jan Geuenich Aufgabe (4 Punkte: Sei n N und seien A und B zwei (n n-matrizen über einem Körper K. Wahr Falsch (a Es
MehrLineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse
Mehr47 Singulärwertzerlegung
47 Singulärwertzerlegung 47.1 Motivation Wir haben gesehen, dass symmetrische Matrizen vollständig mithilfe ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren beschrieben werden können. Diese Darstellung kann unmittelbar
Mehr5.2 Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierung
HINWEIS: Sie finden hier eine vorläufige Kurzfassung des Inhalts; es sind weder Beweise ausgeführt noch ausführliche Beispiele angegeben. Bitte informieren Sie sich in der Vorlesung. c M. Roczen und H.
MehrDie wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen.
Definition: Lineare Abbildung Lineare Abbildungen Die wichtigste Klasse von Funktionen zwischen Vektorräumen sind die linearen Abbildungen. 8.1 Definition: Lineare Abbildung Eine Funktion f : V Ñ W zwischen
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 14. Übung: Woche vom (Lin.Alg.
Übungsaufgaben 14. Übung: Woche vom 30. 1.-3. 2. 2017 (Lin.Alg. III): Heft Ü 3: 3.2.6.a,b,l,n; 3.2.12; 3.2.13; 5.4.1; 5.4.5.c; Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist seit 9.1. freigeschalten
MehrTheoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra
Theoretische Fragen zu ausgewählten Themen in Lineare Algebra { Oren Halvani, Jonathan Weinberger } TU Darmstadt 25. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Determinanten................................................
MehrLineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Algebra und Geometrie Dr. Klaus Spitzmüller Dipl.-Inform. Wolfgang Globke Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für die Fachrichtung Informatik Lösungen zum
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 12. Aufgabe Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Devaud.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 15 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 1 Aufgabe 1.1 1.1a) Sei A eine n n-matrix. Das Gleichungssystem Ax = b sei
MehrKapitel 11 Eigenwerte und Eigenvektoren
Kapitel Eigenwerte und Eigenvektoren. Problem der Diagonalisierbarkeit Es sei wieder K gleich R oder. Eine n n)-matrix A mit Koeffizienten aus K wird als diagonalisierbar bezeichnet, wenn es eine invertierbare
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 $Id: jordantex,v 7 9/6/ :8:5 hk Exp $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5 Die Jordansche Normalform Nachdem wir bisher das Vorgehen zur Berechnung
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 7. Februar 2002 Aufgabe. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./9.4.2002 in den Übungsgruppen (2, 2, 3 Punkte) Der Vektorraum V = C[, ] sei mit dem üblichen Skalarprodukt f, g = f(t)g(t)
MehrLineare Algebra I Lösungsvorschlag
Aufgabe Lineare Algebra I Lösungsvorschlag Wir bezeichnen mit a, a 2, a 3 Q 4 die Spalten der Matrix A. Es ist 7 a + 2a 2 = 7 4 = 7a 3, und wir sehen im l A = a, a 2, a 3 = a, a 2. Da die Vektoren a und
MehrProbeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT
Prof. N. Hungerbühler ETH Zürich, Frühling 018 Probeprüfung Lineare Algebra I/II für D-MAVT Die Prüfung dauert 10 Minuten. Sie dient der Selbstevaluation. Die Musterlösungen folgen. Die Multiple Choice
Mehra b Q = b a 0 ) existiert ein Element p Q, so dass gilt: q 1 q 2 = 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a b p = 1 det(q) C 2 2,
Aufgabe I Es sei Q die folgende Teilmenge von C 2 2 : { ( ) a b Q a, b C b a Hier bezeichnet der Querstrich die komplexe Konjugation Zeigen Sie: (a) Mit den üblichen Verknüpfungen + und für Matrizen ist
Mehr3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n
3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 61 3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n Wir können den Hauptsatz über symmetrische Matrizen verwenden, um uns einen Überblick über die Lösungsmengen
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrLösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II. Definitionen
Technische Universität Berlin Sommersemester 2008 Institut für Mathematik 18 Juli 2008 Prof Dr Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Klausur zur Linearen Algebra II Aufgabe 1 (1+1+1 Punkte)
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG. Serie 13
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 2015 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Serie 13 Diese letzte Serie des Semesters befasst sich noch einmal mit wichtigen Themen
MehrMC-Serie 11: Eigenwerte
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 14 Dr. Ana Cannas MC-Serie 11: Eigenwerte Einsendeschluss: 12. Dezember 2014 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung
MehrLineare Algebra I für Mathematiker Lösungen
Lineare Algebra I für Mathematiker Lösungen Anonymous 24. April 2016 Aufgabe 1 Beantworten Sie bitte die folgenden Fragen. Jeder Vektorraum hat mindestens ein Element. Q ist ein R-Vektorraum (mit der Multiplikation
MehrT := {σ S 4 σ 3 = Id}. a) Es seien V ein Vektorraum und Φ ein Endomorphismus von V, sodass
I. a) Es sei (G, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element e G. Zeigen Sie, dass U := {g G g 3 = e G } eine Untergruppe von G ist. b) In der symmetrischen Gruppe S 4 definieren wir analog zu a) die
MehrProseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
MehrLösung zu Serie Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: A := B :=
Lineare Algebra D-MATH, HS 204 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 2. Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
MehrLösungsvorschläge zur Klausur. Lineare Algebra, Herbst 2010
Lösungsvorschläge zur Klausur Lineare Algebra, Herbst 200 I. Es seien n eine natürliche Zahl, M = {,..., n} N und S n die Gruppe der Permutationen der Menge M. Zeigen Sie: a) Für jedes a M ist H a := {σ
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2016
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 26 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (3.64) 2. Haupttest (FR, 2..27) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.
MehrMusterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom
Musterlösungen für die Nachklausur in LinAlg vom 10.10.16 1. Finden Sie mindestens ) zwei Dreh )Matrizen ) M R 2 2 mit der Eigenschaft 1 0 M = : M = ± 1 1 2 ±1 1 k k 1 k 2. Sei A R 3 3 die Matrix A = 0
MehrÜbungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 2017/18 Blatt 3 - Lösung
Technische Universität München Physik Department Pablo Cova Fariña, Claudia Nagel Übungen zum Ferienkurs Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WiSe 207/8 Blatt 3 - Aufgabe : Darstellungsmatrizen Sei
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 5 4.5.5 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt
MehrEigenwerte/Eigenvektoren/Eigenräume/Diagonalisierung
Zurück Stand 4.. 6 Eigenwerte/Eigenvektoren/Eigenräume/Diagonalisierung Im Allgemeinen werden Vektoren durch Multiplikation mit einer Matrix gestreckt und um einen bestimmten Winkel gedreht. Es gibt jedoch
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 27 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64) 2. Haupttest (FR, 9..28) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.
Mehr7.2 Die adjungierte Abbildung
7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 23): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Lösungsvorschlag 3. Mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen sowie der Tatsache, daß sich die Determinante
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2017
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 7 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (.64). Haupttest (FR, 9..8) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt.
MehrLineare Algebra. Wintersemester 2017/2018. Skript zum Ferienkurs Tag Claudia Nagel Pablo Cova Fariña. Technische Universität München
Technische Universität München Wintersemester 27/28 Lineare Algebra Skript zum Ferienkurs Tag 3-2.3.28 Claudia Nagel Pablo Cova Fariña Wir danken Herrn Prof. Kemper vielmals für seine Unterstützung bei
Mehr6.3 Eigenwerte. γ ist Eigenwert von T [T] B B γi ist nicht invertierbar.
Um zu zeigen, dass die irreduziblen Teiler eines reellen Polynoms höchstens den Grad 2 haben, fassen wir nun (x γ) und (x γ) zusammen und stellen fest, dass (x (a + b i))(x ((a b i)) = x 2 2a + (a 2 +
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 0/06 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen Beziehung zwischen Eigenräumen Wir
MehrProf. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =
Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 7..7 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix A mit 3 3 A = 3 Ist die Matrix A diagonalisierbar? (b) Die Matrix A
Mehr