Lösung zu Serie Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: A := B :=

Transkript

1 Lineare Algebra D-MATH, HS 204 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 2. Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der folgenden reellen Matrizen: A := B := Lösung: A: Wir haben A 2 = 2 4 und A k = 0 für alle k 3. Durch Rechnen und das Kriterium des Satzes im Kapitel 8.9 der Zusammenfassung findet man die Einträge der folgenden Tabelle. k dim Kern(A k ) # k k-jordanblöcke 0 0 Um die Übergangsmatrix zu bestimmen, wähle einen beliebigen Vektor v V \ Kern(L 2 A ), zum Beispiel sei Dann ist v := (0, 0, 0, 0, ) T. Av = (0, 0,, 2, 0) T A 2 v = (, 2, 4, 0, 0) T. Wähle nun ein beliebigen v 2 Kern(L 2 A ) \ Kern(L A), Av, A 2 v, zum Beispiel sei v 2 := (0,, 0, 0, 0) T.

2 Dann bilden die Vektoren v, Av, A 2 v, v 2, Av 2 eine Basis von R 5 und für die Matrix S := (A 2 v, Av, v, Av 2, v 2 ) = gilt nach Konstruktion B: Wir haben B 2 = S AS = , B3 = und B k = 0 für alle k 4. Mit Rechnen folgt k dim Kern(B k ) # k k-jordanblöcke Sei v R 5 \ Kern(L 3 B ) ein beliebiges Element, zum Beispiel sei Dann gilt v := (0, 0, 0, 0, ) T. Bv = (0, 0,, 2, 0) T B 2 v = (, 2, 4, 0, 0) T B 3 v = (8, 0, 0, 0, 0) T. Sei v 2 Kern(L B ) \ B 3 v ein beliebiges Element, zum Beispiel sei v 2 := (0,, 2, 0, 0) T. Dann bilden die Vektoren v, Bv,..., B 3 v, v 2 eine Basis von R 5 und für die Matrix S := (B 3 v, B 2 v, Bv, v, v 2 ) =

3 gilt nach Konstruktion S BS = Bestimme die Jordansche Normalform und eine zugehörige Basiswechselmatrix der reellen Matrix A := Lösung: Das charakteristische Polynom der Matrix A ist char A (X) = X 4 X X 2 8X + 54 = (X 2) (X 3) 3. Wir betrachten nun die Eigenwerte 2 und 3 separat. Eigenwert 3. Mit B := A 3I 4 gilt Hau X 3 (A) = Kern(L 3 B) = Kern Mit B = erhalten wir und B2 = = , 0, k dim Kern(L k B ) # k k-jordanblöcke zu EW Sei v Hau X 3 (A) \ Kern(L B ) ein beliebiger Vektor, zum Beispiel sei v := ( 6, 0, 0, ) T. Dann gilt Bv = (8, 2, 2, 0) T. Sei v 2 Kern(L B ) \ Bv ein beliebiger Vektor, zum Beispiel sei v 2 := (2,, 0, 0) T 3

4 Dann bildet v, Bv, v 2 eine Basis von Hau X 3 (A). Eigenwert 2. Der Raum Hau X 2 (A) ist eindimensional und besteht aus den Eigenvektoren von A zum Eigenwert 2. Wir müssen also einen Eigenvektor zum Eigenwert 2 finden. Diesen erhält man als v 3 := (, 0, 0, 0) T. Nach der Hauptraumzerlegung ist b := (Bv, v, v 2, v 3 ) eine Basis von R 4. Nach Konstruktion hat A bezüglich b Jordansche Normalform: Mit der Matrix S := (Bv, v, v 2, v 3 ) = gilt S AS = Bestimme die Jordansche Normalform von 2 A := 2 2 über R und F 3. Lösung: Über R: Da die Matrix A symmetrisch ist, ist sie über R diagonalisierbar. Durch Berechnen des charakteristischen Polynoms oder durch direktes Raten der Eigenvektoren (,, ), (,, 0), (, 0, ) findet man die Eigenwerte 4 und mit jeweiliger geomtrischer Vielfachheit und 2. Die Matrix hat über R also die Jordansche Normalform Über F 3 besitzt A das charakteristische Polynom char A (X) = X 3 = (X ) 3 und besitzt daher genau einen Hauptraum zum Faktor (X ). Wir haben A I 3 = 4

5 und (A I 3 ) k = 0 für k 2. Aus dim Kern(A I 3 ) = 2 folgt, dass es jeweils einen Jordanblock der Grösse und 2 gibt. Somit hat die Matrix A über F 3 die Jordansche Normalform (a) Finde für jedes k =,..., 5 eine komplexe 5 5-Matrix mit Minimalpolynom (X ) k. (b) Sei B eine komplexe 5 5-Matrix mit charakteristischem Polynom (X 3) 2 (X + 5) 3 und Minimalpolynom (X 3)(X + 5) 2. Bestimme die möglichen Jordanschen Normalformen von B. Lösung: (a) Eine komplexe Matrix A hat Minimalpolynom (X ) k, wenn der einzige Eigenwert und der grösste Jordanblock ein k k-block ist. Somit finden wir folgende Beispiele: Minimalpolynom X : Minimalpolynom (X ) 2 : Minimalpolynom (X ) 3 : Minimalpolynom (X ) 4 : Minimalpolynom (X ) 5 : (b) Da B das charakteristische Polynom (X 3) 2 (X + 5) 3 besitzt, hat der Eigenwert 3 algebraische Vielfachheit 2 und der Eigenwert 5 hat algebraische Vielfachheit 3. 5

6 Der Faktor (X 3) tritt im Minimalpolynom mit der Potenz auf; der grösste Jordan-Block zum Eigenwert 3 ist also ein -Block und folglich besitzt der Eigenwert 3 auch geometrische Vielfachheit 2. Der Faktor (X + 5) tritt im Minimalpolynom mit der Potenz 2 auf; es existiert also ein Jordanblock zum Eigenwert 5 der Grösse 2 2. Aus Dimensionsgründen folgt, dass es genau einen weiteren Jordanblock der Grösse gibt. Für die Jordansche Normalform der Matrix B erhalten wir also als einzige Möglichkeit Beweise oder widerlege: (a) Je zwei n n-matrizen über K mit demselben Minimalpolynom sind ähnlich. (b) Je zwei n n-matrizen über K mit demselben Minimalpolynom und demselben charakteristischen Polynom sind ähnlich. (c) Je zwei n n-matrizen über K mit demselben charakteristischen Polynom, welches ausserdem keine mehrfachen irreduziblen Faktoren besitzt, sind ähnlich. Lösung: (a) Die komplexen Matrizen A := 0 0 und B := besitzen beide Minimalpolynom (X )(X 2). Wegen det(a) = 2 det(b) = 4 sind sie aber nicht ähnlich. (b) Die komplexen Matrizen A := und B := haben beide charakteristisches Polynom X 5 und Minimalpolynom X 3. Da sie aber unterschiedliche Jordansche Normalform haben, sind sie nicht ähnlich. 6

7 (c) Sei A eine Matrix mit einem charakteristischen Polynom, welches keine mehrfachen irreduziblen Faktoren besitzt, In der Jordanschen Normalform von A ist der Jordanblock zu jedem irreduziblen Faktor p(x) von char A (X) gleich der Begleitmatrix von p(x). Somit ist die Jordansche Normalform von A durch char A (X) eindeutig bestimmt. Insbesondere haben also zwei Matrizen von dieser Form dieselbe Jordansche Normalform, sind also ähnlich. Also gilt die Aussage. 6. Zeige: Für jede nilpotente Matrix N über K ist exp(n) ähnlich zu I n + N. Lösung: Falls N ähnlich zu einer Matrix N ist, also S NS = N ist für eine invertierbare Matrix S, dann gilt: S (I n + N)S = I n + S NS = I n + N S exp(n)s = exp(s NS) = exp(n ). Also ist auch I n + N ähnlich zu I n + N, und exp(n) ähnlich zu exp(n ). Da Ähnlichkeit eine Äquivalenzrelation ist, folgt also dass I n +N ähnlich zu exp(n) ist genau dann, wenn I n +N ähnlich zu exp(n ) ist. Es genügt daher die Aussage für eine Matrix N in Jordanscher Normalform zu zeigen. Falls die Aussage für jeden Jordanblock der Grösse j n gilt, so folgt aus der Zerlegung von N in eine Blockdiagonalmatrix mit Jordanblöcken auf den Diagonalen, dass sie auch für N gilt. Es genügt daher die Aussage für einen Jordanblock der Form N =... 0 zu zeigen. Aus der Lösung zu Aufgabe 3 der Serie 9 folgt, dass exp(n) I n = N + N N = 3! ( δi<j ), (j i)! i,j n also eine strikt obere Dreiecksmatrix ist, deren (i, i + )-te Einträge für alle i nicht verschwinden. Somit können wir das Beispiel im Kapitel 8.9 der Zusammenfassung verwenden, aus dem folgt, dass exp(n) I n ähnlich zu N ist. Es existiert daher eine Matrix S mit also mit S exp(n)s = I n + N. S (exp(n) I n )S = N, 7. Sei V der Vektorraum aller reellen Polynome vom Grad n. Betrachte die lineare Abbildung D : V V, p(x) p (X). 7

8 (a) Bestimme eine Basis B, für welche N := M BB (D) Jordansche Normalform hat. (b) Zeige, dass exp(d) : V V gleich der Abbildung ist. T : V V, p(x) p(x + ) (c) Bestimme eine Basis B mit M B B (T ) = I n+ + N. Lösung: (a) Für alle k 0 definiere e k := Xk k!. Für alle k gilt De k = e k, sowie De 0 = 0. Die Basis B := (e 0,..., e n ) hat also die gewünschte Eigenschaft. (b) Für alle k, m 0 gilt Somit ist exp(d)(x k ) = D m (X k ) = k m=0 { k! (k m)! Xk m falls k m 0 falls k < m. m! Dm (X k ) = k m=0 ( ) k X k m = (X + ) k m für alle k. Da die x k eine Basis von V bilden, ist also exp(d) = T. Alternativ kann man wie folgt vorgehen: Für jedes t R betrachte die Endomorphismen exp(td) : V V und T t : V V, p(x) p(x + t). Wir erhalten die glatten Abbildungen R End(V), Es gilt T 0 = id V t exp(td) und t T t. und für jedes Polynom p(x) V gilt d dt (T t(p(x))) = d dt (p(x + t)) = p (X + t) = D(T t (p(x))) also d dt T t = D T t. Ebenso gilt exp(0d) = id V und d exp(td) = D exp(td). dt Somit erfüllen t exp(td) und t T t die Differentialgleichung γ = D γ mit der Anfangsbedingung γ(0) = id V. Aus der Eindeutigkeit der Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung folgt exp(td) = T t, also exp(d) = T = T. 8

9 (c) Für alle k 0 sei p k (X) := ( ) X := X(X )... (X k + ). k k! Der Wert der Polynome p k (X) an allen natürlichen Zahlen m k stimmt mit den üblichen Binomialkoeffizienten überein: p k (m) = m(m )... (m k + ) k! = m! k!(m k)!. Für alle natürlichen Zahlen m k besagt die Pascalsche Identität ( ) ( ) ( ) m + m m = +, k k k also p k (m+) = p k (m)+p k (m). Somit stimmen die Polynome p k (X +) und p k (X) + p k (X) an den unendlich vielen Stellen m überein und es folgt p k (X + ) = p k (X) + p k (X) für alle k. Wegen p 0 (X) = gilt ausserdem p 0 (X + ) = p 0 (X). Da jedes Polynom p k (X) Grad k hat, sind zudem die Polynome {p k } linear unabhängig im Vektorraum aller reellen Polynome. Es folgt, dass B := ( p 0 (X),..., p n (X) ) eine Basis mit der gewünschten Eigenschaft ist. 8. Sei A eine komplexe n n-matrix. Zeige det exp(a) = exp(spura). Lösung: Sei S eine invertierbare Matrix, sodass S AS Jordanscher Normalform besitzt mit Jordanblöcken J,..., J k. Dann gilt det(exp(a)) = det(exp(s AS)) = k det(exp(j i )) ( k ) exp(spur(a)) = exp(spur(s AS)) = exp Spur(J i ) = i= i= k exp(spur(j i )). Es genügt daher die Aussage für einen beliebigen n n-jordanblock der Form λ J :=... λ i= mit λ C zu zeigen. 9

10 Aus Aufgabe 3 der Serie 9 folgt, dass exp(j) eine obere Dreiecksmatrix mit Einträgen exp(λ) auf den Diagonalen ist. Wir erhalten also det(exp(j)) = exp(λ) n = exp(nλ) = exp(spur(j)) und somit die Aussage der Aufgabe. Lösung 2. Sei g : R R die glatte Abbildung Wir haben t det(exp(ta)). g g(t + h) g(t) (t) = lim h 0 ( h ) det exp((t + h)a) det(exp(ta)) = lim h 0 ( h ) det exp(ta) exp(ha) det(exp(ta)) = lim det(exp(ta)) (det(exp(ha)) ) = lim det(exp(ha)) = det(exp(ta)) lim Da exp(ha) = I n + ha + O(h 2 ) ist und für jede Matrix M die Determinante det(m) ein polynomialer Ausdruck in den Einträgen von M ist, gilt Es folgt det(exp(ha)) = det(i n + ha + O(h 2 )) = det(i n + ha) + O(h 2 ). det(exp(ha)) lim = lim h 0 det(i n + ha) h Da Einträge ohne h in der Matrix I n + ha nur auf der Diagonalen stehen und eine Permutation σ S n mit n Fixpunkten gleich der Identität ist, folgt aus der Formel die Gleichung det(i n + ha) lim det(i n + ha) = σ S n sign(σ)(i n + ha) σ()... (I n + ha) nσ, ( ) = lim (+ha ) (+ha nn ) = Durch Einsetzen in den Ausdruck für g (t) erhalten wir n A ii = Spur(A). g det(exp(ha)) (t) = det(exp(ta)) lim = det(exp(ta)) Spur(A), also die Differentialgleichung g (t) = Spur(A) g(t). Mit der Anfangsbedingung g(0) = det(i n ) = folgt g(t) = exp(spur(a)t) für alle t, also insbesondere für t = die Aussage der Aufgabe. i= 0