12.3 Kommutierende Abbildungen

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1 12.3 Kommutierende Abbildungen Definition Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei F eine Familie linearer Abbildungen V V mit UT = TU für alle U, T in F. Dann nennt man F eine Familie vertauschbarer (kommutierender) Operatoren. Ein Unterraum W heißt F-invariant, wenn er unter jedem U aus F invariant ist. Definition Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, und sei F eine Familie linearer Abbildungen V V. Dann heißt die Familie simultan diagonalisierbar, wenn es eine Basis von V so gibt, dass alle Abbildungen bzgl. B in Diagonalgestalt dargestellt werden. Entsprechend: simultan trigonalisierbar. Offensichtlich ist eine Familie simultan diagonalisierbarer Operatoren eine kommutierende Familie. Für trigonalisierbare Operatoren gilt das nicht, weil es obere Dreiecksmatrizen gibt, die nicht vertauschbar sind. Lemma Sei F eine Familie vertauschbarer linearer Operatoren auf V, dim(v ) <. Wir nehmen an, dass alle Operatoren aus F trigonalisierbar sind. Ferner sei W V ein F-invarianter Unterraum von V. Dann gibt es ein v V \ W so, dass für jedes T aus F der Vektor T(v) in W v liegt. Beweis Wir dürfen annehmen, dass F endlich ist: Wähle eine Basis des von F erzeugten Unterraumes von End(V ). Es genügt dann, die Behauptung für diese Basis, z.b. bestehend aus T 1,..., T r, nachzuweisen. Lemma zeigt, dass es zu T 1 ein γ 1 und einen Vektor v 1 V \ W gibt mit (T 1 γ 1 id V )(v 1 ) W. (12.7) Sei V 1 der Unterraum, der von allen Vektoren v 1 mit (12.7) aufgespannt wird. Der Unterraum V 1 ist F-invariant: Sei v V 1 beliebig, und sei T ein Operator, der mit T 1 vertauscht (das gilt insbesondere für alle T aus F). Dann gilt (T 1 γ 1 id V )(Tv) = T 1 (Tv) γ 1 Tv = T(T 1 γ 1 id V )(v) W, 181

2 also ist T(v) V 1. Offenbar ist V 1 echt größer als W. Wir können deshalb im Prinzip so fortfahren: Wir definieren U 2 := T 2 V1. Dann ist auch U 2 ein trigonalisierbarer Operator, insbesondere zerfällt das Minimalpolynom in Linearfaktoren, weil das Minimalpolynom von U 2 ein Teiler des Minimalpolynoms von T 2 ist. Wir können jetzt einen Vektor v 2 V 1 \ W finden mit (T 2 γ 2 id V )(v 2 ) W. (12.8) Beachten Sie, dass auch (T 1 γ 1 id V )(v 2 ) W. Wir definieren nun V 2 als den Vektorraum, der von allen Vektoren mit (12.8) aufgespannt wird. Auch V 2 ist echt größer als W. Wir können also so fortfahren, bis wir einen Vektor v finden mit v / W und T j (v) γ j v W für j = 1,..., r, also T(v) W + v für alle T in F. Satz Ist V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, und ist F eine Familie vertauschbarer trigonalisierbarer linearer Abbildungen V V, so ist F simultan trigonalisierbar. Beweis Genauso wie Satz , wobei wir Lemma durch Lemma ersetzen. Satz Ist V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, und ist F eine Familie diagonalisierbarer linearer Abbildungen V V. Dann ist F genau dann simultan diagonalisierbar, wenn F eine vertauschbare Familie ist. Beweis Genauso wie Satz Ein Alternativbeweis (Induktion über dim V ) wird in der Vorlesung gegeben. Beispiel Die beiden reellen Matrizen ( ) 1 2 A := und B := 2 kommutieren: AB = BA = ( ) ( ) Als gemeinsame Basis, bzgl. der A und B gemeinsam diagonalisiert werden, können wir ( ) ( ) 1 2 B = (, 1 wählen. 182

3 12.4 Jordan-Chevalley-Zerlegung Wir wollen uns in diesem Kapitel zunächst die Primärzerlegung für diagonalisierbare Operatoren anschauen, und dann den Fall genauer analysieren, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Satz Sei D End(V ), wobei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum ist. Wenn D diagonalisierbar ist, und wennn γ 1,..., γ k die k verschiedenen Eigenwerte sind, dann gibt es k lineare Abbildungen, die die folgenden Eigenschaften haben: (a.) D = γ 1 E γ k E k. (b.) id V = E E k. (c.) E i E j = für i j. (d.) Die E i sind Projektionen, d.h. E 2 i = E i. (e.) Bild(E i ) = Eig(D, γ i ). Wir nehmen nun umgekehrt an, dass es γ 1,... γ k K und E 1,..., E k End(V ) so gibt, dass (a.), (b.) und (c.) gilt. Dann ist D diagonalisierbar, die γ i sind die Eigenwerte, und es gilt auch (d.) und (e.). Beweis Nach der Diskussion im letzten Kapitel sollte der Beweis nicht mehr schwer fallen. Einzelheiten werden ggf. in der Vorlesung vorgeführt. Wir betrachten nun die Konsequenzen der Primärzerlegung für trigonalisierbare Operatoren, d.h. Operatoren, für die das charakteristische und damit auch das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt. Dazu wird die folgende Definition wichtig werden: Definition Ein linearer Operator N End(V ) heißt nilpotent wenn es ein r gibt mit N r = V. Entsprechend definieren wir nilpotente Matrizen. 183

4 Beispiel Alle oberen Dreiecksmatrizen mit Nullen auf der Hauptdiagonalen sind nilpotent. Es gibt aber noch weitere Beispiele: ( ) 1 1 N = 1 1 erfüllt N 2 =. Sei nun T End(V ), und die E i seien die Projektionen, die zu den invarianten Unterräumen W i in der Primärzerlegung (Satz ) gehören. Wir setzen D = γ 1 E γ k E k. Dieser Operator ist diagonalisierbar (siehe Satz ). Wir definieren N := T D. Es gilt Das zeigt T = TE TE k D = γ 1 E γ k E k. N = (T γ 1 id V )E (T γ k id V )E k. Es folgt nun (beachte, dass die E i Projektionen sind mit E i E j =, und die E i kommutieren mit T) und N 2 = (T γ 1 id V ) 2 E (T γ k id V ) 2 E k N r = (T γ 1 id V ) r E (T γ k id V ) r E k. Nun gilt W i = Kern(T γ i id V ) r i = Bild(E i ). Wenn wir r groß genug wählen, gilt also N r =, weil (T γ i ) r i (v) = für alle v Bild(E i ) gilt. Weil die E i Polynome in T sind, so ist auch D und N ein Polynom in T. Damit ist bereits eine Hälfte des folgenden Satzes gezeigt: Satz Sei T End(V ), wobei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum ist. Das charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren. Dann gibt es einen diagonalisierbaren Operator D und einen nilpotenten Operator N mit T = D+N. Ferner gilt DN = ND, und sowohl D als auch N sind Polynome in T. Durch die beiden Bedingungen 184

5 (JC1) (JC2) T = D + N DN = ND sind D und N eindeutig bestimmt. Bemerkung Die in diesem Satz auftretende Zerlegung eines trigonalisierbaren Operators in einen diagonalisierbaren plus einen nilpotenten Operator wird manchmal auch Jordan-Chevalley-Zerlegung genannt Beweis Wir müssen nur die Eindeutigkeit der Zerlegung zeigen. Sei also D + N eine weitere Zerlegung in einen diagonalisierbaren und einen nilpotenten Operator, wobei D und N wieder kommutieren. Also sind D und N auch mit T vertauschbar, und damit sind die beiden Operatoren auch mit allen Polynomen in T vertauschbar, insbesondere auch mit D und N. Also bilden die D, N, D, N eine kommutierende Familie, und es gilt D D = N N. Weil D und D diagonalisierbar sind, sind sie simultan diagonalisierbar und damit ist auch D D diagonalisierbar. Kommen wir nun zu N N : Wir benutzen den verallgemeinerten binomischen Lehrsatz für beliebige kommutative Ringe r ( ) r (a + b) r = a i b r i i i= und setzen für a und b die Matrizen N und N ein. Weil N und N vertauschbar sind, können wir das machen! Wir erhalten r ( ) r (N N ) r = N i ( N ) r i. i i= Wenn wir r groß genug wählen, ist stets N i oder ( N ) r i die Nullabbildung, also ist ist N N nilpotent. Damit ist aber D D ein nilpotenter diagonalisierbarer Operator. Der einzige solche Operator ist die Nullabbildung, also D = D und N = N : Ein nilpotenter Operator hat als Minimalpolynom und als charakteristisches Polynom eine Potenz von x. Wenn er diagonalisierbar ist, muss das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen, muss also x sein. 185

6 Für Matrizen gilt: Satz Sei T K (n,n). Das charakteristische Polynom von T zerfalle in Linearfaktoren. Dann gibt es eine diagonalisierbare Matrix D und eine nilpotente Matrix N mit T = D + N. Ferner gilt DN = ND. Durch die beiden Bedingungen (JC1) (JC2) T = D + N DN = ND sind D und N eindeutig bestimmt. Bemerkung Wenn eine Matrix T in der Form T = γ I n + N mit einer oberen Dreiecksmatrix N, die auf der Diagonalen nur Nulleinträge hat, geschrieben werden kann, dann ist dies auch bereits die Jordan- Chevalley-Zerlegung, weil γi n N = NγI n. Beispiel Sei T End(R 4 ) diejenige lineare Abbildung, die bzgl. der kanonischen Basis C die Darstellungsmatrix R(4,4) 2 1 hat. Wir suchen die Jordan-Chevalley-Zerlegung dieser Matrix. Dazu betrachten wir die dazugehörende lineare Abbildung T. Man rechnet leicht das charakteristische Polynom χ T = x(x + 1) 3 und das Minimalpolynom m T = x(x + 1) 2 aus. Wir erhalten als Primärzerlegung R 4 = W 1 W 2 mit W 1 = Kern(T) =

7 und 1 W 2 = Kern(T + I) 2 = Kern 1 1 =, 1, Bezüglich der Basis B = ( 1 2, 1, 1, 1 1 ) haben die Projektionen E 1 (auf W 1 ) und E 2 (auf W 2 ) die Darstellungsmatrizen 1 [E 1 ] B B =, [E 2] B B = Die Darstellungsmatrix von T bzgl. B ist [T] B B = P 1 [T] C CP = 1 1 1, (12.9) wobei P = [id R 4] B C = die übliche Transformationsmatrix ist Der diagonalisierbare Operator in der Jordan-Chevalley-Zerlegung ist der nilpotente Operator ist D = E 1 1 E 2, N = TE 1 + (T + id V )E

8 Bezüglich der Basis B ausgedrückt ist [D] B B = und [N] B B = 1 Die Zerlegung von [T] C C erhalten wir, wenn wir die Transformation (12.9) rückgängig machen: [T] C C = [N] C C + [D] C C mit entsprechend 1 [N] C C = P[N] B BP 1 =, 1 [D] C C = Die Zerlegung der Matrix ist also = Man rechnet schnell aus, dass diese beiden Matrizen auch in der Tat kommutieren. Wir halten noch einmal fest: Jeder Operator, dessen charakeristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt (der also trigonalisierbar ist) kann als Summe 188

9 eines diagonalisierbaren und nilpotenten Operators geschrieben werden. Diese Zerlegung ist eindeutig, wenn man verlangt, dass die beiden Operatoren miteinander vertauschbar sind. Im wesentlichen geht es nun also darum, Normalformen von nilpotenten Operatoren zu finden. 189