. Für K = Q, K = C, K = F α 1

Transkript

1 1. Übungsblatt, für den Sei n eine nichtnegative ganze Zahl. Eine Abbildung f: C C mit f(z) = n i=0 a iz i, deren Koeffizienten a i komplexe Zahlen sind, nennen wir (komplexe) Polynom(abbildung). Falls der Koeffizient a n ungleich 0 ist, heißt n der Grad von f. Ist a n = 1 so bezeichnet man f als normiert. Polynome, deren Grad mindestens 1 ist, heißen nichtkonstant. Wir nennen f ein reelles Polynom, falls alle Koeffizienten a i reelle Zahlen sind. a) Sei f ein reelles Polynom und z C \ R eine Nullstelle von f, d.h. f(z) = 0. Zeigen Sie, dass z, das komplex konjugierte von z, ebenfalls eine Nullstelle von f ist. b) Beweisen Sie, dass jedes normierte, nichtkonstante reelle Polynom als Produkt von normierten reellen Polynomen vom Grad 1 oder 2 geschrieben werden kann, wobei die Polynome vom Grad 2 genau zwei konjugierte nicht reelle Nullstellen besitzen. Hinweis: Verwenden Sie den Fundamentalsatz der Algebra. 2. a) Zeigen Sie, dass jedes normierte reelle Polynom vom Grad 3 mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Hinweis: Führen Sie zwei Beweise. Für den ersten Beweis benützen Sie das 1. Übungsbeispiel. Den zweiten Beweis bauen Sie auf dem Zwischenwertsatz (aus der Analysis) auf. Untersuchen Sie für welche r R die Ungleichung r 3 > a 2 r 2 + a 1 r + a 0 erfüllt ist, und folgern Sie daraus, dass f(r) und f( r) für hinreichend große r unterschiedliche Vorzeichen haben. b) Verallgemeinern Sie den ersten Beweis und zeigen Sie, dass jedes reelle Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. 3. Bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume des R 2 für ( ) ( a) A =, b) A = ), c) A = ( ) ( ) 1 α 4. Sei K ein Körper, α K \ {0} und A =. Für K = Q, K = C, K = F α 1 2 und K = F 3 bestimmen Sie alle A-invarianten Unterräume des K 2. Hinweis: F 2 ist der Körper { 0, 1} bestehend aus den Restklassen modulo 2, F 3 der Körper { 0, 1, 2} bestehend aus den Restklassen modulo 3 mit den Verknüpfungstabellen (wobei wir nun bei den Restklassen den Querstrich weglassen): F 2 : F 3 :

2 2. Übungsblatt, für den Der Grad des Nullpolynoms sei als definiert. Für Polynome f 0 wurde der Grad von f im 1. Übungsblatt eingeführt. Wir schreiben dafür Grad(f). Beweisen Sie die Gradformeln für Polynome f und g. Grad(f + g) max{grad(f), Grad(g)}. Grad(fg) = Grad(f) + Grad(g). Wir verwenden dabei die Konvention n + ( ) = ( ) + n = ( ) + ( ) = und n > für alle ganzen Zahlen n Für ein komplexes Polynom f zeigen Sie: α C ist genau dann Nullstelle von f, wenn es ein Polynom g gibt, so dass f(z) = (z α)g(z). Hinweis: Schreiben Sie das Polynom f(z) := f(z + α) in der Form n i=0 b iz i und bestimmen Sie den Wert von b 0. Leiten Sie nun aus f(z) = f(z α) die gewünschte Darstellung von f her. 3. Beweisen Sie: Das reelle Polynom z 2 + αz + β kann genau dann als Produkt (z λ 1 )(z λ 2 ) mit λ 1, λ 2 R geschrieben werden, wenn α 2 4β erfüllt ist. 4. Berechnen Sie das Produkt fg der komplexen Polynome f und g. a) f(z) = 3 i=0 a iz i, g(z) = 2 i=0 b iz i. b) f(z) = 1 + 2iz + 3z 2 + (4 + i)z 3, g(z) = 1 + iz 2 + z 5 mit i 2 = 1. c) f(z) = 1 z 2, g(z) = 1 + z 2 + z 4 + z Bestimmen Sie Polynome q und r so dass f(z) = g(z)q(z) + r(z) erfüllt ist, mit r = 0 oder Grad von r kleiner als Grad von g. a) f(z) = 6z 7 + 5z z z z z 2 + 7z + 3, g(z) = z 4 + 2z 2 + z + 1 b) f(z) = 24z 5 12z 4 10z z 9, g(z) = 4z 2 + 2z 1.

3 3. Übungsblatt, für den Sei T ein linearer Operator auf dem Vektorraum V. Beweisen sie: a) Sei r eine positive ganze Zahl, und U 1,..., U r seien T -invariante Unterräume von V, dann ist U U r ebenfalls T -invariant. b) Sei I eine beliebige Indexmenge. Für i I seinen U i Unterräume von V, die invariant unter T bleiben. Dann ist ebenfalls T -invariant. i I 2. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und sei A ein linearer Operator auf V. Beweisen sie: Wenn A n paarweise verschiedene Eigenwerte besitzt, dann bilden die Eigenvektoren von A eine Basis von V. 3. Beweisen sie, oder geben sie ein Gegenbeispiel zu folgender Aussage: Falls U ein Unterraum von V ist, der unter jedem linearen Operator T invariant ist, dann ist U = {0} oder U = V. Hinweis: Verwenden sie den Basisergänzungssatz. Falls ihnen der Beweis für beliebig dimensionales V zu schwer ist, dann führen sie ihn für V = R 3 durch. 4. Sei T ein linearer Operator auf V, so dass jeder Vektor in V ein Eigenvektor von T ist. Beweisen sie, dass T ein skalares Vielfaches der Identität ist. 5. Sei T ein linearer Operator auf dem n-dimensionalen Vektorraum V, so dass jeder (n 1)-dimensionale Unterraum von V invariant unter T ist. Beweisen sie, dass T ein skalares Vielfaches der Identität ist. Hinweis: Verwenden sie Beispiel 1 und Beispiel Sei T der lineare Operator auf R n gegeben durch T (x 1,..., x n ) = (x x n,..., x x n ). Bestimmen sie alle 1-dimensionalen T -invarianten Unterräume von R n. U i

4 4. Übungsblatt, für den Sei n eine positive ganze Zahl, und sei ODM(n, K) die Menge der oberen n n-dreiecksmatrizen über einem Körper K. Mit A, B und C bezeichnen wir Matrizen aus ODM(n, K), mit a ij, b ij und c ij die Komponenten dieser Matrizen für 1 i, j n. (a) Zeigen Sie, dass ODM(n, K) bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. (b) Seien A, B ODM(n, K) und C = AB. Zeigen Sie, dass c ii = a ii b ii ist für alle i = 1,..., n. (c) Zeigen Sie, dass die invertierbaren Matrizen in ODM(n, K) eine Gruppe bilden und die Diagonalelemente von A 1 die Reziprokwerte der Diagonalelemente von A sind. Hinweis: Falls A ODM(n, K) invertierbar ist, gibt es eine Matrix A 1 = (x ij ) 1 i,j n, so dass A A 1 die Einheitsmatrix ist. Bestimmen Sie die x ij aus a a 1n x x 1n =... 0 a nn x n1... x nn 0 1 und folgern sie daraus, dass A 1 ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist. (d) Zeigen Sie, dass es zu jeder Matrix A ODM(n, K) eine aufsteigende Folge von n Stück A-invarianten Unterräumen gibt. 2. Seien S und T zwei lineare Operatoren auf dem K-Vektorraum V, wobei S invertierbar ist, und sei f ein Polynom über K. Zeigen Sie: f(s T S 1 ) = S f(t ) S Seien S und T zwei lineare Operatoren auf dem endlich dimensionalen K-Vektorraum V. Zeigen Sie, dass S T und T S die gleichen Eigenwerte besitzen. Hinweis: Für Eigenwerte 0 ist der Beweis einfach. Der Eigenwert 0 erfordert eine eigene Überlegung.

5 5. Übungsblatt, für den Seien a, b R 3 mit a = b = 1 und 0 < a b < 2. Ferner sei das Winkelmaß des Winkels zwischen x und y definiert durch Zeigen Sie: (a) a o b und ( a + b) ( a b). (b) a, a + b > 0. (c) 0 < ( a, a + b) = ( a+ b 2, 3 b) < π. (d) a, b sind linear unabhängig. ( x, y) := arccos x x, y y. 2. Seien x 1, x 2, x 3 R 3 \ { 0} mit 1/2 < c < 1 und x = x, x für x R 3. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: (a) Ist x i, x j = 0 für alle i j, dann ist ( x 1, x 2, x 3 ) eine Basis von R 3. (b) Ist x i = 1 und x i, x j = c für alle i j, dann ist ( x 1, x 2, x 3 ) eine Basis von R 3. (c) Gibt es 3 Einheitsvektoren mit c = 1/2? Gilt Aussage (b) im Fall c = 1/2? (d) Gibt es 3 Einheitsvektoren mit c = 1? 3. Sei V ein Vektorraum mit einer durch ein inneres Produkt induzierten Norm. Seien u, v V mit u = 3, u + v = 4 und u v = 6. Bestimmen Sie v. 4. Sei eine von einem reellen inneren Produkt, induzierte Norm auf V. Drücken Sie das innere Produkt x, y, x, y V, durch x + y und x y aus. 5. Beweisen Sie, dass die Ungleichung n a j b j 2 n für alle reellen Zahlen a 1,..., a n und b 1,..., b n gilt. ja 2 j n 1 j b2 j Hinweis: Führen Sie diese Ungleichung auf die Cauchy Schwarzsche Ungleichung n n a j b j a 2 j n zurück. b 2 j

6 6. Übungsblatt, für den Sei I das Intervall [a, b] für zwei reelle Zahlen a < b, und sei C(I) die Menge aller stetigen Funktionen von I nach R. Auf C(I) sei eine innere Verknüpfung gegeben durch: +: C(I) C(I) C(I), (f, g) f + g, (f + g)(r) := f(r) + g(r), r I und eine Multiplilkation mit Skalaren aus R: Zeigen Sie: : R C(I) C(I), (s, f) s f, (s f)(r) := s f(r), r I. (a) C(I) ist mit diesen Verknüpfungen ein R-Vektorraum. (b) Durch f, g := b ist ein inneres Produkt auf C(I) gegeben. a f(r)g(r) dr, f, g C(I) (c) Für k N 0 sei p k : I R gegeben durch r r k. Zeigen Sie, dass für n N die Menge P n (I) aller Polynomabbildungen von I nach R, deren Grad n ist, ein (n + 1)-dimensionaler Unterraum von C(I) ist, und beweisen Sie, dass {p 0,..., p n } eine Basis von P n (I) ist. Hinweis zu (b): Führen Sie den Beweis in folgender Reihenfolge: Warum existiert das Integral f, g? Weisen Sie die Bilinearität und dann die positive Definitheit von, nach. Wenn f C(I) ungleich Null ist, warum ist dann f, f > 0? 2. Sei I = [ π, π]. Ausgehend von der Basis {1, x,..., x 3 } von P 3 (I) bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von P 3 (I). Bestimmen Sie die orthogonale Projektion σ von σ := sin I C(I) auf P 3 (I) und zeichnen Sie die Graphen von σ, σ und des Taylorpolynoms von σ vom Grad Fakultativ: Sei I = [ 1, 1]. Die Legendre-Polynome (L k ) k 0 sind gegeben durch L k (x) := 1 2 k k! d k dx k ( (x 2 1) k), k 0. (a) Zeigen Sie, dass L k (x) ein Polynom vom Grad k ist. (b) In C(I) sind für k l die Polynome L k und L l orthogonal. (c) Beweisen Sie: In C(I) gilt L k 2 = 2/(2k + 1), k 0. (d) Ausgehend von der Standardbasis bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von P 5 (I). Welche Beziehung besteht zwischen dem Legendre-Polynom L k und dem entsprechenden Element der Orthonormalbasis für k 5? Hinweis: Zu (b): Falls k < l ist, genügen k + 1 partielle Integrationen, um das innere Produkt L k, L l zu bestimmen. Zu (c): Sie sollten k Mal partiell integrieren, um bei einem Faktor unter dem Integral den Operator d/dx zu eliminieren, und dann k Mal partiell integrieren, um das verbleibende Integral zu bestimmen.

7 7. Übungsblatt, für den Sei V ein endlich dimensionaler R- oder C-Vektorraum, T ein linearer Operator auf V und T der adjungierte Operator zu T. Zeigen Sie: λ ist genau dann ein Eigenwert von T, wenn λ ein Eigenwert von T ist. 2. Sei V ein normierter R- oder C-Vektorraum, dessen Norm durch ein inneres Produkt, induziert wird. Für x, y V sei d(x, y) := x y. Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf V ist, d.h. (a) d(x, y) 0 für alle (x, y) V 2, (b) d(x, y) = 0 dann und nur dann wenn, x = y, (c) d(x, y) = d(y, x) für alle (x, y) V 2, (d) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) für alle (x, y, z) V Was passiert wenn man das Gram Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren in einem Vektorraum mit innerem Produkt auf ein Tupel linear abhängiger Vektoren anwendet? 4. Sei T ein linearer Operator auf einem R- oder C-Vektorraum V mit innerem Produkt,. Sei U ein Unterraum von V und P U die orthogonale Projektion von V auf U. Zeigen Sie, dass U genau dann T -invariant ist, wenn P U T P U = T P U gilt. 5. Sei R[x] die Menge aller Polynome über R. Zeigen oder widerlegen Sie: (a) Die formale Ableitung n i=0 a ix i D( n i=0 a ix i ) := n i=0 ia ix i 1 ist linear. (b) Die formale Integration n i=0 a ix i I( n i=0 a ix i ) := n a i i=0 i+1 xi+1 ist linear. (c) Es gilt D I = id R[x]. (d) Es gilt I D = id R[x]. 6. Gegeben sei die Matrix A = (a) Bestimmen Sie alle 1-dimensionalen A-invarianten Unterräume von R 3. (b) Zeigen Sie, dass eine Ebene E = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = 0} mit n 1 0 nicht A-invariant sein kann. (c) Bestimmen Sie alle A-invarianten Ebenen E = {(x, y, z) R 3 n 1 x+n 2 y +n 3 z = 0} mit n 2 0 bzw. mit n 3 0. (d) Wieviele A-invariante Unterräume besitzt R 3? Hinweis: Die 2-dimensionalen Unterräume der R 3 sind Ebenen, die den Nullpunkt enthalten. Als solche besitzen Sie eine Darstellung als E = E n = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = 0}, wobei n = (n 1, n 2, n 3 ) 0 ein Normalvektor auf E ist. Die Ebene E n ist dann und nur dann A invariant, wenn für alle v = (x, y, z) E n gilt, A v, n = 0.

8 8. Übungsblatt, für den Die Bezeichnung K stehe für R oder C. 1. Sei T der lineare Operator auf K n, n N, gegeben durch T (x 1,..., x n ) = (0, x 1,..., x n 1 ). Bestimmen Sie T. 2. Bestimmen Sie ein Polynom q P 2 ([0, 1]) (siehe 6. Übungsblatt, 1. Beispiel) so, dass für alle p P 2 ([0, 1]) gilt: p(1/2) = p, q. 3. Sei T eine lineare Abbildung zwischen den beiden inneren Produkträumen V und W. Zeigen Sie: (a) T ist genau dann injektiv, wenn T surjektiv ist. (b) T ist genau dann surjektiv, wenn T injektiv ist. 4. Widerlegen Sie die folgende Behauptung: Das Produkt zweier selbstadjungierter Operatoren auf einem endlich dimensionalen inneren Produktraum ist selbstadjungiert. Hinweis: Finden Sie ein Gegenbeispiel in der Menge der 2 2-Matrizen über R. 5. Sei T ein linearer Operator auf dem inneren Produktraum V und U ein Unterraum von V. Zeigen Sie, dass U genau dann T -invariant ist, wenn U invariant unter T ist. 6. Sei T ein normaler linearer Operator auf einem inneren Produktraum. Zeigen Sie, dass T k für alle k N normal ist.

9 9. Übungsblatt, für den Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht. 1. Sei T ein linearer Operator auf V. Zeigen Sie: dim ker T = dim ker T, dim T (V ) = dim T (V ). 2. Sei T ein positiver linearer Operator auf V. Zeigen Sie, dass T k positiv ist für alle k N. 3. Sei U ein Unterraum von V. (Dann besitzt V die Darstellung als U U. Sei P U die orthogonale Projektion auf U, d.h. falls V v = u + u mit u U und u U, dann ist P U (v) := u.) Zeigen Sie, dass P U ein positiver Operator ist. 4. Zeigen Sie, dass die Identität auf K 2 unendlich viele Quadratwurzeln besitzt. 5. Sei T der lineare Operator auf K 3 gegeben durch T (x, y, z) = (z, 2x, 3y). Bestimmen Sie die Isometrie S des K 3, sodass T = S T T. 6. Sei S ein linearer Operator auf dem n-dimensionalen Vektorraum V. Beweisen Sie oder geben Sie ein Gegenbeispiel zur Aussage: Falls es eine Orthonormalbasis (e 1,..., e n ) von V gibt, sodass Se i = 1 für alle i mit 1 i n, dann ist S eine Isometrie. 7. Seien k < n zwei natürliche Zahlen. Berechnen Sie das Produkt MN der zwei Blockmatrizen M = (I k, A), N = ( A, I n k ), wobei I r die r-zeilige Einheitsmatrix ist (r N) und A eine k (n k)-matrix ist.

10 10. Übungsblatt, für den Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht. 1. Sei V ein C-Vektorraum und T ein normaler linearer Operator auf V mit T 9 = T 8. Zeigen Sie, dass T selbstadjungiert ist, und dass T 2 = T gilt. 2. Sei T ein normaler linearer Operator auf V. Zeigen Sie, dass für alle k N gilt: ker T = ker T k, T (V ) = T k (V ). 3. Sei T ein normaler linearer Operator auf V. Zeigen Sie: (a) ker T = ker T, (b) ker T = T (V ), (c) T (V ) = T (V ). 4. Sei T ein positiver Operator auf V. Beweisen Sie, dass T dann und nur dann invertierbar ist, wenn T v, v > 0 für alle v V \ {0} erfüllt ist. 5. Sei n N, v R n, v = 1 und sei σ: R n R n gegeben durch σ(x) := x 2 x, v v. (a) Was bedeutet σ in den Fällen n = 1, n = 2 oder n = 3? (b) Zeigen Sie, dass σ eine Isometrie ist. (c) Bestimmen Sie alle Eigenvektoren von σ. (d) Zeigen Sie, dass σ selbst-adjungiert ist. (e) Zeigen Sie, dass es eine Orthonormalbasis von R n gibt, bezüglich der die Matrixdarstellung von σ eine Diagonalmatrix ist, in der n 1 mal der Wert 1 und einmal der Wert 1 auftritt. 6. Sei (e 1, e 2, e 3 ) die Standardbasis von R 3. (a) Bestimmen Sie die Matrix D der Drehung δ, mit der Drehachse {λ(e 1 + e 2 + e 3 ) λ R}, die den Punkt e 2 + e 3 in e 1 + e 2 überführt. (b) Bestimmen Sie die Matrix S der Spiegelung σ an der Ebene mit Normalvektor gleich e 1 +e 2 +e 3. (c) Zeigen Sie, dass σ δ = δ σ und dass σ δ eine Isometrie ist.

11 11. Übungsblatt, für den Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, wobei K für R oder C steht. 1. Sei m N, v V \ {0}, T ein linearer Operator auf V, T m 1 v 0 und T m v = 0. Zeigen Sie, dass die Vektoren v, T v,..., T m 1 v linear unabhängig sind. 2. Seien S und T lineare Operatoren auf V. Beweisen Sie: (a) Falls ST nilpotent ist, dann ist auch T S nilpotent. (b) Falls S nilpotent ist und ST = T S, dann ist auch T S nilpotent. (c) Falls S und T nilpotent sind und ST = T S, dann ist S + T nilpotent. 3. Sei A eine n n-matrix über K, n N, und A I n sei nilpotent. Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und bestimmen Sie A Sei A eine nilpotente n n-matrix über C, n N. (a) Welche Eigenwerte kann A besitzen? (b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A. (c) Bestimmen Sie die Menge aller diagonalisierbaren nilpotenten n n-matrizen über C. (d) Geben Sie eine nilpotente Matrix vom Rang 3 an. 5. Zeigen Sie, dass es nilpotente Matrizen A und B gibt, sodass zugleich A+B und AB nicht nilpotent sind. 6. Bestimmen Sie alle verallgemeinerten Eigenvektoren der Operatoren S und T auf C 2 gegeben durch S(x, y) := (y, 0) und T (x, y) := ( y, x) für (x, y) C Betrachten Sie den C-Vektorraum C mit dem inneren Produkt v, w = vw, für v, w C. Bestimmen Sie (a) alle Basen von C, (b) alle Orthonormalbasen von C, (c) alle linearen Operatoren auf C also die Menge L(C) (mit genauer Herleitung), (d) alle invertierbaren Operatoren auf C, (e) alle selbstadjungierten Operatoren auf C, (f) alle normalen Operatoren auf C, (g) alle positiven Operatoren auf C, (h) alle Isometrien auf C, (i) alle diagonalisierbaren Operatoren auf C, (j) alle trigonalisierbaren Operatoren auf C, (k) alle nilpotenten Operatoren auf C. Sei T ein linearer Operator auf C. Bestimmen Sie (l) alle Eigenwerte von T, (m) das charakteristische Polynom von T, (n) alle Operatoren auf C, die ähnlich zu T sind, (o) alle Operatoren, mit denen T vertauschbar ist, (p) die Menge aller Operatoren auf C, die mit allen Operatoren vertauschbar sind. (q) Zeigen Sie, dass L(C) ein zu C isomorpher Vektorraum ist, geben Sie einen Isomorphismus an, bestimmen Sie dim L(C) und beantworten Sie die Fragen (a) (p) für L(C) anstelle von C.

12 12. Übungsblatt, für den Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum, wobei K für R oder C steht. 1. Zeigen oder widerlegen Sie: Ist T ein linearer Operator auf V, dann ist V = ker T T (V ). 2. Sei T ein linearer Operator auf V mit T 2 = T. Zeigen Sie, dass dann V = ker T T (V ) gilt. 3. (a) Geben Sie einen Operator T auf C 4 an, dessen Minimalpolynom gleich z(z 1) 2 ist. (b) Geben Sie einen Operator T auf C 4 an, dessen charakteristisches Polynom und Minimalpolynom gleich z(z 1) 2 (z 3) sind. Begründen Sie genau die Wahl von T. 4. Zeigen Sie: Der lineare Operator T : C 3 C 3, T (z 1, z 2, z 3 ) = (z 2, z 3, 0) besitzt keine Quadratwurzel. 5. Sei N ein linearer Operator auf K 5 gegeben durch N(z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 ) = (2z 2, 3z 3, z 4, 4z 5, 0). Bestimmen Sie eine Quadratwurzel von id K 5 + N. 6. Sei dim V = n, n N, n 2, und T ein linearer Operator auf V so dass ker T n 2 ker T n 1. Zeigen Sie, T hat höchstens 2 verschiedene Eigenwerte. 7. Sei V ein C-Vektorraum und T ein linearer Operator auf V. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: (a) V besitzt eine Basis aus Eigenvektoren. (b) Jeder (von 0 verschiedene) verallgemeinerte Eigenvektor T ist ein Eigenvektor von T. (c) Das Minimalpolynom von T besitzt nur einfache Nullstellen.

13 Lösungen zum 12. Übungsblatt 6. Da ker T n 2 ker T n 1 ist, existiert ein v V, sodass T n 2 (v) 0 und T n 1 (v) = 0. Nach dem 1. Beispiel des 11. Übungsblattes sind die Vektoren v, T (v),..., T n 2 (v) linear unabhängig. Weiters sind sie alle verallgemeinerte Eigenvektoren von T zum Eigenwert λ 0 = 0. Die Dimension von U 0, der Menge der verallgemeinerten Eigenvektoren von T zu λ 0, ist demnach nicht kleiner als n 1. Hätte T mindestens 3 verschiedene Eigenwerte, dann gibt es neben λ 0 mindestens noch zwei weitere Eigenwerte λ 1 und λ 2, λ i λ j für i j, i, j {0, 1, 2}. Die Dimension von U i, der Menge der verallgemeinerten Eigenvektoren von T zu λ i, i {1, 2}, ist größer gleich 1, und V enthält U 0 U 1 U 2. Daher ist n = dim V dim U 0 + dim U 1 + dim U 2 n = n + 1, was unmöglich ist. Also ist die Annahme, T hätte mindestens 3 verschiedene Eigenwerte, falsch. 7. (a) = (b): Nach Voraussetzung besitzt T bezüglich der Basis aus Eigenvektoren Diagonalgestalt. Seien λ 1,..., λ m die paarweise verschiedenen Eigenwerte von T. Dabei trete λ i genau r i -mal in der Diagonale auf, 1 i m. Also ist dim V = m i=1 r i. Zum Eigenwert λ i gibt es daher r i linear unabhängige Eigenvektoren. Sei U i, 1 i m, die Menge der verallgemeinerten Eigenvektoren von T zum Eigenwert λ i. Dann ist V = U 1 U m. Also gilt dim V = m i=1 dim U i. Die r i linear unabhängigen Eigenvektoren von T zu λ i liegen in U i, daher ist dim U i r i, woraus dim V m i=1 r i folgt. Oben haben wir gezeigt, dass in dieser Ungleichung Gleichheit gilt, folglich muß dim U i gleich r i sein. Deshalb besitzt U i eine Basis aus Eigenvektoren. Jeder verallgemeinerte Eigenvektor zu λ i kann daher als Linearkombination von Eigenvektoren zu λ i dargestellt werden, ist somit (falls ungleich 0) ein Eigenvektor zu λ i (Nachrechnen!). Dies gilt für jedes i {1,..., m}. (b) = (c): Der Operator T besitze genau m 1 paarweise verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ m. Sei V = U 1 U m die Zerlegung von V in die T -invarianten Unterräume U i, die die Mengen der verallgemeinerten Eigenvektoren zu λ i von T sind. Nach Voraussetzung sind die von 0 verschiedenen Elemente u von U i bereits Eigenvektoren, d.h. sie erfüllen die Gleichung (T λ i id)u = 0. Sei v V, dann existieren eindeutig bestimmte u i U i, 1 i m, so dass v = u u m gilt. Da die Operatoren (T λ i id) miteinander vertauschbar sind für 1 i m erhalten wir: m m (T λ i id)v = (T λ i id)(u u m ) i=1 = = = i=1 m i=1 m (T λ i id)u j m m (T λ i id)(t λ j id)u j i=1 i j m m (T λ i id)0 = 0. i=1 i j (Achtung: Das Produkt von Operatoren ist deren Hintereinanderausführung!) Deshalb ist das Minimalpolynom von T ein Teiler von m i=1 (z λ i). Da dieses Polynom normiert ist, und die Nullstellen dieses Polynoms genau die m verschiedenen Eigenwerte von T sind, ist dieses Polynom das Minimalpolynom von T.

14 (c) = (a): Sei dim V = n N und seien λ 1,..., λ m, 1 m n, die paarweise verschiedenen Eigenwerte von T. Da V ein komplexer Vektorraum ist, besitzt T eine Jordansche Normalform T. Diese ist eine Blockdiagonalmatrix bestehend aus Jordanblöcken der Form λ i ( λ i ), oder... 1, 1 i m. 0 λ i Wir wollen zeigen, dass alle diese Blöcke nur von der Gestalt ( λ i ) sind. Indirekte Annahme, es gäbe einen Block von der Form λ i0 I k + N mit k 2, i 0 {1,..., m} und N = Dann ist N k 1 0 und N k = 0. Folglich ist z k das Minimalpolynom von N. Nach Voraussetzung ist m i=1 (z λ i) das Minimalpolynom von T. Daher gilt m i=1 (T λ ii n ) = 0. Da T eine Blockdiagonalmatrix ist, gilt m i=1 (T j λ i I nj ) = 0 für jeden Jordanblock T j von T mit einer geeignet dimensionierten Einheitsmatrix I nj. Also gilt dies auch für den oben beschriebenen Jordanblock λ i0 I k + N. Da die Matrizen I k und N vertauschbar sind erhalten wir 0 = = = m (λ i0 I k + N λ i I k ) i=1 m ((λ i0 λ i )I k + N) i=1 m ((λ i0 λ i )I k + N) i=1 i i 0 k 1 = a 0 I k + a j N j N k 2 = a 0 N + a j N j+1 N mit geeigneten a j C, 0 j k 1, wobei insbesondere a 0 0 (Warum?). Wir erhalten ein (von 0 verschiedenes) Polynom P (z) := a 0 z + k 2 a jz j+1 mit P (N) = 0. Deshalb ist das Minimalpolynom z k von N ein Teiler von P (z). Da a 0 ungleich 0 ist, folgt daraus k = 1, in Widerspruch zu unserer Annahme k 2. Also war die Annahme falsch und alle Jordanblöcke von T sind 1 1-Matrizen. Folglich besitzt T bezüglich einer geeignet gewählten Basis Diagonalgestalt. Die Elemente dieser Basis sind dann Eigenvektoren von T, d.h. V besitzt eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von T.

15 Name: Matrikelnr.: Lineare Algebra II, Übungen, Sommersemester Klausur am Bitte markieren Sie Ihre Lehrveranstaltungsgruppe durch Ankreuzen: Gruppe Fripertinger Gruppe Schöpf 1. Sei n N, v R n, v = 1 und sei π: R n R n gegeben durch π(x) := x x, v v, wobei x, y := n i=1 x iy i für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n. (a) Was bedeutet π im Fall n = 2 geometrisch? (b) Zeigen Sie, dass π keine Isometrie ist und dass π(x) x ist für alle x R n. (c) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von π. (d) Zeigen Sie, dass π selbst-adjungiert ist. (e) Beschreiben Sie alle Orthonormalbasen von R n, bezüglich der die Matrizendarstellungen von π Diagonalgestalt besitzen. Geben Sie eine solche Diagonalmatrix an. 2. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht, dim V = n, n N. Sei T ein normaler linearer Operator auf V und sei (v 1,..., v n ) eine Orthonormalbasis von V, so dass T bezüglich dieser Basis eine Matrixdarstellung als obere Dreiecksmatrix besitzt. Zeigen Sie, dass diese Matrix sogar eine Diagonalmatrix ist. 3. Geben Sie einen linearen Operator T auf C 4 an, dessen charakteristisches Polynom gegeben ist durch z(z 2) 2 (z + i), und dessen Minimalpolynom gleich z(z 2)(z + i) ist. Begründen Sie ausführlich, warum das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von diesem Operator T von der geforderten Gestalt sind. 4. Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum mit innerem Produkt, wobei K für R oder C steht. Zeigen Sie: wenn T ein nilpotenter selbst-adjungierter Operator auf V ist, dann ist T = 0. Lösung: 1. (a) Sei x R 2, dann ist π(x) die Projektion von x auf das orthogonale Komplement von [v] = {λv λ R}. (b) Berechne π(v) = v v, v v = v v 2 v = v v = 0. Also ist π(v) = 0 1 = v, weshalb π keine Isometrie ist. Sei x R n beliebig, dann ist π(x) 2 = x x, v v, x x, v v = x, x x, v v, x x, v x, v + x, v 2 v, v = x 2 2 x, v 2 + x, v v 2 = x 2 x, v 2 x 2,

16 da x, v 2 0. (c) Sei x R n \ {0}. Für x [v] gilt x = µv mit µ 0 und π(x) = µv µv, v v = µv µv = 0. Also ist x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0. Für x [v] ist π(x) = x, da x, v = 0 ist. Also ist x ein Eigenvektor zu dem Eigenwert 1. Es gilt R n = [v] [v], mit dim[v] = n 1. Sei x = w 1 + w 2 mit w 1 0 w 2, w 1 [v] und w 2 [v], dann ist x kein Eigenvektor von π, denn π(x) = π(w 1 + w 2 ) = π(w 1 ) + π(w 2 ) = 0 + w 2 {µ(w 1 + w 2 ) µ R}. Also sind 0 und 1 die Eigenwerte von π. (d) Zu zeigen: π(x), y = x, π(y) für alle x, y R n. π(x), y = x x, v v, y = x, y x, v v, y und x, π(y) = x, y y, v v = x, y y, v x, v = x, y x, v v, y. Also ist π selbstadjungiert. (e) Behauptung: Die Menge aller Orthonormalbasen von R n, bezüglich der die Matrizendarstellungen von π Diagonalgestalt besitzen, ist {B {v}, B { v} B ist eine Orthonormalbasis von [v] }. Sei B eine Orthonormalbasis von [v]. Dann sind die Elemente von B Eigenvektoren zum Eigenwert 1, und die Matrizendarstellung von von π eingeschränkt auf [v] ist eine (n 1) (n 1)- Diagonalmatrix deren Diagonalelemente alle gleich 1 sind. B {v} bzw. B { v} sind dann Orthonormalbasen von R n, da v = v = 1 und v, v [v]. Also sind B {v} bzw. B { v} Orthonormalbasen von R n bestehend aus Eigenvektoren, und die Matrizendarstellungen von π bezüglich dieser Basen hat Diagonalgestalt diag(1,..., 1, 0). }{{} n 1 Bisher haben wir gezeigt, dass die Matrizendarstellungen von π bezüglich aller Basen der Form B {v} oder B { v}, wobei B eine Orthonormalbasis von [v] ist, Diagonalgestalt besitzen. Falls umgekehrt π bezüglich einer Orthonormalbasis von R n Diagonalgestalt besitzt, so müssen die Basiselemente Eigenvektoren von π sein. Sie liegen also in [v] oder [v]. Die einzigen Vektoren der Länge 1 in [v] sind v und v. Die Basiselemente, die in [v] liegen, bilden eine Orthonormalbasis von [v]. Also ist jede Orthonormalbasis von R n, bezüglich der die Matrixdarstellung von π Diagonalgestalt besitzt, von der Form B {v} oder B { v}, wobei B eine Orthonormalbasis von [v] ist. 2. Sei die Matrixdarstellung von T gegeben durch a 11 a a 1n 0 a M := a 2n a nn

17 Da T normal ist, ist T mit T vertauschbar, d.h. MM = M M. Sei MM = (b ij ) 1 i,j n und M M = (c ij ) 1 i,j n. Dann ist b ii = n j=i a ija ij und c ii = i a jia ji für 1 i n. Aus b 11 = c 11 folgt n a 1j 2 = a Deshalb ist n j=2 a 1j 2 = 0, woraus a 1j = 0 folgt für 2 j n. Nun folgt daraus zusammen mit b 22 = c 22, dass n 2 a 2j 2 = a j2 2 = a 22 2, j=2 woraus dann a 2j = 0 folgt für 3 j n. Analog zeigt man dann zeilenweise, dass a ij = 0 für 3 i n und i + 1 j n. 3. Sei T der Operator x x 1 x x 2. x x 3 x i x 4 Da dieser Operator durch eine Diagonalmatrix (wir nennen sie M) gegeben ist, sind seine Eigenwerte in der Diagonale als 0, 2 und i ablesbar, und das charakteristische Polynom von T ist z(z 2) 2 (z+i), da der Eigenwert 2 zweimal auftritt. Es bleibt zu zeigen, dass das Minimalpolynom dieses Operators gleich z(z 2)(z + i) ist. Dazu berechnen wir M (M 2I 4 ) (M + ii 4 ) = i i =, i i i da das Produkt von Diagonalmatrizen wieder eine Diagonalmatrix ist, wobei jeweils die Elemente, die in der j-ten Diagonalposition stehen, miteinander multipliziert werden müssen. Das zeigt, dass das Minimalpolynom von T ein Teiler von z(z 2)(z + i) ist. Da dieses Polynom normiert ist, und jeden Eigenwert von T genau einmal als Nullstelle besitzt, ist dieses Polynom das Minimalpolynom von T. 4. Da T nilpotent ist, sind alle Eigenwerte von T gleich 0. Da T selbst-adjungiert ist, gibt es nach dem Spektraltheorem eine Orthonormalbasis von V bestehend aus Eigenvektoren von T. Bezüglich dieser Basis besitzt T Diagonalgestalt, wobei in der Diagonale die Eigenwerte (also 0) stehen. Also ist diese Diagonalmatrix die 0-Matrix und T der 0-Operator. 2. Lösung: Da T selbst-adjungiert ist, ist T auch normal, also ist ker T = ker T k für alle k N. Da T nilpotent ist, ist ker T dim V = V, also ker T = V, d.h. T = 0.