4.4 Simultane Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit

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1 4.4 Simultane Diagonalisierbarkeit und Trigonalisierbarkeit Definition Eine Familie F linearer Operatoren heißt vertauschbar oder kommutierend, wenn für je zwei Operatoren U,T in F gilt: UT = TU. Ein Unterraum U V heißt F-invariant, wenn er T-invariant ist für alle T in F. Beispiel Ist T ein linearer Operator auf einem K-Vektorraum V, dann ist {f(t) : f K[x]} eine kommutierende Familie linearer Operatoren. Lemma Sei F eine kommutierende Familie linearer Operatoren auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum V. Ferner sei W V ein F-invarianter Unterraum. Dann gibt es v / W so, dass Tv W,v für alle T F. Beweis. Vorlesung! Man überlegt sich zunächst, dass es genügt, das Lemma für eine endliche Menge T i von Operatoren in F zu zeigen. Dann muß man Lemma 4.40 geeignet nacheinander für diese T i anwenden. Satz Sei F eine kommutierende Familie trigonalisierbarer linearer Operatoren auf V, dimv = n. Dann gibt es eine Basis B, bzgl. der alle Operatoren in F simultan in Dreiecksgestalt dargestellt werden. Beweis. Der Beweis geht genauso wie der von Satz 4.35, wobei man das dort verwendete Lemma 4.40 durch Lemma 4.43 ersetzt. Genauso zeigt man mit derselben Modifikation wie im Beweis von Satz 4.44: Satz Sei F eine kommutierende Familie diagonalisierbarer linearer Operatoren auf V, dimv = n. Dann gibt es eine Basis B, bzgl. der alle Operatoren in F simultan in Diagonalgestalt dargestellt werden. 4.5 Primärzerlegung Proposition Sei V = W 1 W k. Dann gibt es lineare Abbildungen E i : V V mit folgenden Eigenschaften: (1.) E 2 i = E i (solche Abbildungen heißen Projektionen). (2.) E i E j = 0 für alle i j. (3.) I = E 1 + +E k. (4.) Bild(E i ) = W i. Erfüllen lineare Abbildungen E i die Eigenschaften (1.) (3.), dann gilt V = W 1 W k, wobei W i = Bild(E i ). Ferner sind die E i durch (1.) (4.) eindeutig bestimmt. 34

2 Beweis. Direktes Nachrechnen. Wir können nun zeigen, wann ein Vektorraum V eine direkte Summe T-invarianter Unterräume ist. Beachten Sie, dass eine Darstellungsmatrix dann eine Blockdiagonalgestalt hat (bzgl. einer geeigneten Basis): A 1 A 2... Ak wobei A i eine Darstellungsmatrix von T Wi ist. Korollar Sei T ein linearer Operator auf V. Mit der Notation aus Proposition 4.46 gilt: Die Unterräume W i sind T-invariant genau dann, wenn TE i = E i T für alle i gilt. Das gilt insbesondere, wenn die E i Polynome in T sind. Beweis. Vorlesung. Recht direktes Nachrechnen. Satz Sei T ein linearer Operator auf V und m T = p r1 1 pr k k für paarweise verschiedene irreduzible Polynome p i. Ferner sei W i := Kern(p ri i (T)). Dann gilt: (1.) V = W 1 W k. (2.) W i ist T-invariant für i = 1,...,k. (3.) Wenn T i := T Wi, dann m Ti = p ri i. Ferner sind die zu den W i gehörenden Projektionen Polynome in T. Beachten Sie, dass die W i eindeutig sind: Angenommen, wir haben eine weitere Zerlegung V = U 1 U k in T-invariante Unterräume so, dass p ri i das Minimalpolynom von T Ui ist, dann gilt U i W i. Es genügt also, Normalformen von linearen Operatoren zu finden, deren Minimalpolynom p r ist, wobei p K[x] irreduzibel ist. 4.6 Zyklische Unterräume Definition Sei T ein linearer Operator auf V und sei v V. Der Unterraum Z(v,T), der von den Vektoren T i v, i = 1,...,n aufgespannt wird, heißt der von v erzeugte zyklische Unterraum. Der Vektor v heißt zyklisch (genauer: T-zyklisch) wenn Z(v,T) = V gilt. Proposition Die Dimension von Z(v,T) ist der Grad von m T (v,{0}), vergleiche Lemma

3 Definition Sei f = n 1 i=0 a ix i. Die Matrix 0 0 a a 1 C f := a a n 1 heißt die Begleitmatrix des Polynoms f. Proposition Für die Begleitmatrix C f eines Polynoms f gilt χ Cf = m Cf = f. Hat ein linearer Operator T auf einem n-dimensionalen Vektorraum V einen zyklischen Vektor v, so wird T bzgl. der Basis v,tv,...,t n 1 v durch C f dargestellt. Beweis. Es gilt m Cf (e 1,{0}) = f. Insbesondere ist e 1 ein zyklischer Vektor. Rest: klar. Resultat Sei T ein linearer Operator mit Minimalpolynom m T und charakteristischem Polynom χ T. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome f 1,...,f s mit s i=1 f i = χ T und f i+1 f i für i = 1,...,s 1 so, dass T bezüglich einer geeigneten Basis eine Darstellungsmatrix C f1 C f2... Cfs hat. Dabei gilt f 1 = m T. Bemerkung Man nennt diese Darstellung die rationale Normalform von T. Interessant ist, dass man sie bestimmen kann, ohne das charakteristische Polynom zu faktorisieren, also ohne Eigenwerte zu bestimmen (Smith sche Normalform). Der Beweis dieses Satzes ist nicht trivial. Er hat einige interessante und wichtige Konsequenzen, z.b.: Korollar Es gibt einen T-zyklischen Vektor v genau dann wenn χ T = m T gilt (eine Richtung, dass nämlich χ T = m T für Operatoren mit zyklischem Vektor gilt, ist Proposition 4.52). 4.7 Jordan sche Normalform Sei T ein linearer Operator, dessen Minimalpolynom m T = k i=1 (x λ i) ri in Linearfaktoren zerfällt (λ i λ j für i j). Dann zerfällt auch das charakteristische Polynom in Linearfaktoren(siehe Satz 4.35). Wir bestimmen dann zunächst die Primärzerlegung und erhalten so Unterräume W i = Kern(T λ i I) ri. Die Dimension dieser Unterräume ist d i, wobei d i der Exponent von x λ i im charakteristischen Polynom ist. 36

4 Wir setzen nun voraus, dass T ein Operator mit Minimalpolynom (x λ) r und charakteristischem Polynom (x λ) d ist. Wir zerlegen T in zwei Operatoren T = λi+(t λi). Dann hat T λi das Minimalpolynom x r und charakteristisches Polynom x d. Es gibt einen Vektor v mit m T (v,{0}) = x r (andernfalls wäre ein echter Teiler von x r das Minimalpolynom von T). Die Vektoren v,tv,...,t r 1 v sind linear unabhängig und erzeugen einen T-invarianten Unterraum Z. Bezüglich der Basis (v,tv,...,t r 1 v) wird T, eingeschränkt auf Z, durch die Matrix J r := dargestellt.dasistdiebegleitmatrixzumpolynomx r.esfolgtnunausresultat 4.53: Satz Ein nilpotenter Operator mit Minimalpolynom x r hat bezüglich einer geeigneten Basis eine Darstellung J e1,...,e f J e1 J e2... Jef Dabei gilt e 1 e 2... e f, e 1 = r sowie f = dimeig(t,0). Ferner sind die e i eindeutig durch N bestimmt, d.h. J e1,...e f und J g1,...g f sind genau dann ähnlich wenn e i = g i für i = 1,...,f gilt. (Das ist gerade die rationale Normalform eines nilpotenten Operators.) Korollar Jede Matrix T K (n,n) mit charakteristischem Polynom χ T = k i=1 (x λ i) di ist ähnlich zu einer Matrix M 1 M 2... Mk wobei M i = λ i I di +J e i 1,...,e i f(i) mit ei 1... e i f(i). Dabei ist ei 1 der Exponent von (x λ i ) im Minimalpolynom von T und f(i) = dimeig(t,λ i ). Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der M i eindeutig. 37

5 5 Innere Produkte In diesem Kapitel ist der Körper stets R oder C. 5.1 Grundlagen und Orthonormalbasen Definition 5.1. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung ( ) : V V K heißt inneres Produkt, wenn für alle u,v,w V und λ K gilt: (IP1) (v +w u) = (v u)+(w u). (IP2) (λv u) = λ(v u). (IP3) (v u) = (u v). (IP4) (v v) > 0 für v 0. Dabei ist x+iy := x iy komplexe Konjugation (wobei i = 1). Bemerkung 5.2. Es gilt offensichtlich: (1.) (v v) R, deshalb ist (IP4) sinnvoll! (2.) (0 0) = 0. (3.) (v λu) = λ(v u). Beispiel 5.3. (1.) V = K n, dann ist x 1 (. x n y 1. y n ) = n x i y i i=1 ein inneres Produkt. (2.) Wenn ( ) ein inneres Produkt ist, dann wird durch (v w) T := (Tv Tw) ebenfalls ein inneres Produkt definiert, sofern T ein invertierbarer linearer Operator ist. Zu jedem inneren Produkt gehört eine Norm: Definition 5.4. Ist ( ) ein inneres Produkt, so heißt die Abbildung : V R mit v := (v v) die zu ( ) gehörende Norm. Wir können aus der Norm das innere Produkt rekonstruieren: 38

6 Proposition 5.5. Sei die zu einem inneren Produkt gehörende Norm. (1.) Ist K = R, so gilt (2) Ist K = C, so gilt (v w) = 1 4 v +w v w 2. (v w) = 1 4 v +w v w 2 + i 4 v +iw 2 i 4 v iw 2. Beweis. Übungsaufgabe. Definition 5.6. Ein endlichdimensionaler Vektorraum über K heißt Euklidisch wenn K = R. Gilt K = C, nennen wir ihn unitär. Allgemein: IPS (inner product space). Satz 5.7. Sei V ein IPS mit innerem Produkt ( ) und zugehöriger Norm. Dann gilt für alle v,w V und λ K: (1.) λv = λ v (dabei ist λ = λλ der Betrag der komplexen Zahl λ). (2.) v > 0 für v 0 und 0 = 0. (3.) v + w v + w (Dreiecksungleichung). (4.) (v w) v w (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). Beweis. Analysis oder Vorlesung. Dabei sind (1.) und (2.) klar! Wenn wir konkret mit einem inneren Produkt rechnen wollen, ist es, ähnlich wie bei linearen Abbildungen, sinnvoll, eine Basis auszuwählen: Proposition 5.8. Sei V ein IPS mit innerem Produkt ( ), und sei B = (b 1,...,b n ) eine Basis von V. Die Matrix G B := ((b j b i )) i,j=1,...,n heißt Darstellungsmatrix oder Gram-Matrix des inneren Produktes, wobei hier i den Zeilen- und j den Spaltenindex beschreibt. Für zwei Vektoren v,w V gilt Dabei ist (v w) = [w] BG B [v] B. x 1.. x n := (x 1,...,x n ), also bedeutet komplex kionjugieren und transponieren. Die Vektoren [w] B und [v] B sind hier die Darstellungsvektoren von v und w bezüglich der Basis B, also z.b. wenn v = n i=1 α ib i ist. [v] B = 39 α 1. α n

7 Beweis. Vorlesung! Man beachte dabei, dass die Matrix G B ganz bewusst so gewählt wurde, dass der (i,j)-eintrag das innere Produkt (b j b i ) ist. Man kann sich nun fragen, wie ein Basiswechsel aussieht. Dazu zunächst eine Definition: Definition 5.9. Ist P = (τ i,j ) i,j=1,...,n K (n,n), so definieren wir P := (τ j,i ) i,j=1,...,n (komplex konjugieren und transponieren). Zwei Matrizen U 1 und U 2 in K (n,n) heißen hermit sch kongruent wenn es eine invertierbare Matrix P gibt mit U 2 = P U 1 P. Beachten Sie: K ist hier wieder R oder C. Im Fall reeller Matrizen bedeutet nur transponieren. Satz Sei G B Gram-Matrix eines inneren Produktes auf V bzgl. Basis B, und sei P = [id] C B, wobei C eine weitere Basis von V ist. Dann gilt G C = P G B P, insbesondere sind Gram-Matrizen, die ein inneres Produkt bzgl. verschiedener Basen beschreiben, hermit sch kongruent. Beweis. Ähnlich wie bei linearen Abbildungen, allerdings wird hier nicht von links mit P 1, sondern mit P multipliziert! Das liegt einfach daran, dass die Matrizen jetzt etwas anderes, nämlich ein inneres Produkt, beschreiben. Definition Zwei Vektoren v, w 0 in einem IPS heißen orthogonal, wenn (v w) = 0 gilt. Eine Menge S V heißt orthogonal, wenn je zwei verschiedene Vektoren in S orthogonal sind. Die Menge heißt orthonormal, wenn zusätzlich v = 1 für alle v S gilt. Eine Basis von V heißt Orthogonalbasis, wenn die Basis orthogonal ist. Ist die Basis sogar orthonormal, sprechen wir von einer Orthonormalbasis. Bemerkung Man kann jede orthogonale Menge ganz einfach orthonormal machen (Normalisierung): Ist v V, v 0, so gilt v = 1. v Proposition Eine orthogonale Menge von Vektoren ist linear unabhängig. Beweis. Vorlesung (ist auch recht einfach). Eine naheliegende Frage ist nun, ob jeder IPS eine Orthonormalbasis hat. Die Antwort liefert folgender Satz, der aber sogar noch etwas mehr zeigt: Satz 5.14 (Gram-Schmidt Orthogonalisierung). Sei V ein IPS, dim V = n, und sei B = (b 1,...,b n ) eine Basis von V. Dann gibt es eine Orthogonalbasis C = (c 1,...,c n ) von V mit c 1,...,c i = b 1,...,b i für i = 1,...,n. Normierung liefert eine Orthonormalbasis. 40

8 Beweisskizze. Setze c 1 := b 1. Sind die c 1,...,c k bereits gefunden, so setze c k+1 := b k+1 k i=1 (b k+1 c i ) c i 2 c i. Korollar Jeder IPS hat eine Orthonormalbasis. Korollar Ist G Gram-Matrix eines inneren Produktes, dann gibt es eine invertierbare obere Dreiecksmatrix P mit P GP. Beweis. Beachten Sie, dass Gram-Schmidt nur einen Basiswechsel beschreibt, der durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird: Zur Darstellung von c k werden nur die b i mit i k benötigt. 41