VI.3. JORDAN SCHE NORMALFORM 167

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1 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 67 VI3 Definition (Verallgemeinerte Eigenräume Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ϕ: V V linear und λ ein Eigenwert von ϕ Unter dem verallgemeinerten Eigenraum von ϕ zum Eigenwert λ verstehen wir den Teilraum Ẽ λ := { v V N N : (ϕ λidv N (v = } = N ker ( (ϕ λid V N Beachte dass Ẽλ wegen der offensichtlichen Inklusionen ker ( (ϕ λid V N ker ( (ϕ λid V N+ tatsächlich einen Teilraum von V bildet der den Eigenraum zum Eigenwert λ enthält E λ Ẽλ Unter den verallgemeinerten Eigenräumen einer Matrix A M n n (K verstehen wir die verallgemeinerten Eigenräume der damit assoziierten linearen Abbildung K n K n x Ax VI3 Beispiel Die reelle Matrix A = hat charakteristisches Polynom p = (5 z 3 und daher nur einen Eigenwert λ = 5 mit algebraischer Vielfachheit 3 Der entsprechende Eigenraum E 5 = ker(a 5I = e ist ein dimensional Da A 5I 3 = ( (A 5I 3 = ( (A 5I 3 3 = ( ist der verallgemeinerte Eigenraum Ẽ5 = ker((a 5 3 = K 3 echt größer als E 5 VI33 Beispiel Die reelle Matrix A = ( hatcharakteristisches Polynomp = (3 z 4 (5 z also zwei Eigenwerte nämlich λ = 3 mit algebraischer Vielfachheit 4 und λ = 5 mit algebraischer Vielfachheit Aus ( ( A 3I 5 = (A 3I 5 = 4 4 erhaltenwir E 3 = ker(a 3I = e e 3 undẽ3 = ker ( (A 3I = e e e 3 e 4 der verallgemeinerte Eigenraum ist daher echt größer als der Eigenraum Ebenso A 5I 5 = (A 5I 5 = ( und daher E 5 = Ẽ5 = ker(a 5I = e 5 e 6 für diesen Eigenwert stimmt der verallgemeinerte Eigenraum also mit dem Eigenraum überein Wir untersuchen zunächst verallgemeinerte Eigenräume zum Eigenwert

2 68 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN VI34 Lemma Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V linear Dann existiert N {n} sodass Es gilt dann für jedes k N Darüber hinaus gilt ker(ϕ N = ker(ϕ N+ ker(ϕ N = ker(ϕ N+k und img(ϕ N = img(ϕ N+k V = ker(ϕ N img(ϕ N und diese Zerlegung ist invariant unter ϕ dh ϕ ( ker(ϕ N ker(ϕ N und ϕ ( img(ϕ N img(ϕ N Weiters ist die Einschräkung ϕ ker(ϕ N : ker(ϕ N ker(ϕ N triangulierbar mit als einzigem Eigenwert und die Einschränkung ϕ img(ϕ N : img(ϕ N img(ϕ N ist invertierbar Bezeichnet m die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts von ϕ so ist dim ( ker(ϕ N = m ker(ϕ N = ker(ϕ m und img(ϕ N = img(ϕ m Schließlich existiert eine Basis B von V sodass ( A [ϕ] BB = A = C M m m(k C GL n m (K Beweis Betrachte die aufsteigende Kette von Teilräumen: {} = ker(id V = ker(ϕ ker(ϕ ker(ϕ ker(ϕ n ker(ϕ n+ V Indirekt angenommen ker(ϕ N ker(ϕ N+ für alle N {n} Dann gilt wir erhalten dimker(ϕ N < dimker(ϕ N+ N = n = dimkerϕ < dimkerϕ < dimkerϕ < < dimkerϕ n < dimkerϕ n+ und somit dimker(ϕ n+ n + Da dies dimker(ϕ n+ dim(v = n widerspricht muss also ein N {n} mit ker(ϕ N = ker(ϕ N+ existieren Wir zeigen nun ker(ϕ N = ker(ϕ N+k mittels Induktion nach k Der Induktionsanfang k = ist trivial Für den Induktionsschritt sei nun k Da offensichtlich ker(ϕ N ker(ϕ N+k genügt es die umgekehrte Inklusion ker(ϕ N ker(ϕ N+k zu zeigen Sei dazu v ker(ϕ N+k Dann gilt ϕ N+ (ϕ k (v = ϕ N+k (v = also ϕ k (v ker(ϕ N+ = ker(ϕ N und daher v ker(ϕ N+k = ker(ϕ N wobei

3 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 69 wir im letzten Gleichheitszeichen die Induktionsvoraussetzung verwendet haben Damit ist ker(ϕ N = ker(ϕ N+k gezeigt Insbesondere gilt dim(ker(ϕ N = dim(ker(ϕ N+k und wegen der Dimensionsformel dim(v = dim(ker(ϕ l +dim(img(ϕ l auch dim(img(ϕ N = dim(img(ϕ N+k für alle k N Da img(ϕ N+k img(ϕ N folgt img(ϕ N = img(ϕ N+k Wir zeigen nun ker(ϕ N img(ϕ N = {} (VI Sei dazu v ker(ϕ N img(ϕ N Dann existiert w V sodass v = ϕ N (w Somit ϕ N+N (w = ϕ N (v = also w ker(ϕ N+N = ker(ϕ N Dies bedeutet v = ϕ N (w = Damit ist (VI gezeigt Zusammen mit der Dimensionsformel dim(v = dim(ker(ϕ N +dim(img(ϕ N folgt dass V direkte Summe der Teilräume ker(ϕ N und img(ϕ N ist Die Invarianz der Zerlegung ist offensichtlich denn ϕ(ker(ϕ N ker(ϕ N ker(ϕ N und ϕ(img(ϕ N = img(ϕ N+ = img(ϕ N Daraus folgt auch dass die Einschränkungϕ img(ϕ : img(ϕ N img(ϕ N surjektivalsoinvertierbaristwähle N eine Basis b b k von ker(ϕ ergänze sie zu einer Basis b b k b k von ker(ϕ ergänze weiter zu einer Basis b b k b k b k3 von ker(ϕ 3 usw bis wir bei einer Basis B := (b b k von ker(ϕ N angelangt sind wobei k := dim(ker(ϕ N Bezüglich dieser Basis hat ϕ ker(ϕ N folgende Blockdiagonalgestalt: A := [ϕ ker(ϕ N ] B B = M k k(k (VI Dies zeigt dass die Einschränkung ϕ ker(ϕ N triangulierbar ist mit als einzigem Eigenwert Sei nun b k+ b n eine Basis von img(ϕ N und betrachte die Basis B := (b b n von V Da ϕ auf img(ϕ N invertierbar ist gilt ( A [ϕ] BB = C mit obigem A und C GL n k (K Insbesondere ist nicht Eigenwert von C Nach Lemma VI4(d gilt p ϕ = p A p C also muss der Eigenwert von A algebraische Vielfachheit m haben und wir erhalten k = m vgl (VI Daraus folgt nun auch A m = also [ϕ m ] BB = ( C m mit Cm GL n m (K Daraus lesen wir ker(ϕ N = ker(ϕ m und img(ϕ N = img(ϕ m ab Damit ist der Beweis des Lemmas vollständig

4 7 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Aus dem vorangehenden Lemma erhalten wir sofort eine analoge Aussage über verallgemeinerte Eigenräume zu beliebigen Eigenwerten: VI35 Lemma Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V linear Weiters sei λ Eigenwert von ϕ mit algebraischer Vielfachheit m und verallgemeinerten Eigenraum Ẽλ Dann gilt dim(ẽλ = m und Ẽ λ = ker ( (ϕ λid V m Weiters existiert ein invarianter komplementärer Teilraum W dh V = Ẽλ W ϕ(ẽλ Ẽλ ϕ(w W Darüber hinaus ist die Einschränkung ϕ Ẽλ : Ẽ λ Ẽλ triangulierbar mit λ als einzigen Eigenwert und λ ist kein Eigenwert der Einschräkung ϕ W : W W dh σ(ϕ Ẽλ = {λ} und σ(ϕ W = σ(ϕ\{λ} Schließlich existiert eine Basis B von V sodass λ ( A λ [ϕ] BB = A = C M m m(k λ und C M (n m (n m (K mit σ(c = σ(ϕ\{λ} Beweis Beachte dass Eigenwert der linearen Abbildung ϕ λid V : V V (VI3 ist und algebraische Vielfachheit m besitzt Wenden wir Lemma VI34 auf diese lineare Abbildung an so folgt dim(ẽλ = m Ẽ λ = ker ( (ϕ λid V m und der Teilraum W := img ( (ϕ λid V m bildet ein Komplement V = Ẽλ W Dabeide Teilräume unter ϕ λid V invariant sind sind sie auchinvariant unter ϕ dh ϕ(ẽλ Ẽλ und ϕ(w W Nach Lemma ist (ϕ λid V Ẽλ triangulierbar mit als einzigen Eigenwert Somit ist auch ϕ Ẽλ triangulierbar mit λ als einzigen Eigenwert insbesondere gilt σ(ϕ Ẽλ = {λ} Nach Lemma ist (ϕ λid V W invertierbar folglich ist λ kein Eigenwert von ϕ W dh λ / σ(ϕ W Aus der Invarianz der Zerlegung folgt σ(ϕ = σ(ϕ Ẽλ σ(ϕ W also σ(ϕ W = σ(ϕ\{λ} Sei nun B eine Basis von V wie in Lemma VI34 dh [ϕ λid V ] BB = (Ã Ã = C M m m(k

5 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 7 und C GL n m (K Dann hat [ϕ] BB die Form (VI3 wobei A = Ã+λI m und C = C +λi n m VI36 Bemerkung Betrachte nochmals die Matrix A aus Beispiel VI33 Sie hat λ = 3 als Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 4 Nach dem vorangehenden Lemma muss Ẽ3 = ker ( (A 3I 4 gelten Weiter oben haben wir gesehen dass in diesem Fall sogar Ẽ3 = ker ( (A 3I gilt IA ist daher die algebraische Vielfachheit m eines Eigenwerts λ nicht die minimale Zahl mit Ẽ λ = ker ( (A λi m VI37 Satz (Primärzerlegung Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V linear Weiters bezeichnen λ λ k alle (paarweise verschiedenen Eigenwerte m m k ihre algebraischen Vielfachheiten und Ẽλ Ẽλ k die entsprechenden verallgemeinerten Eigenräume Dann gilt dim(ẽλ i = m i und Ẽ λi = ker ( (ϕ λ i id V m i (VI4 für alle i = k Darüber hinaus existiert ein invarianter Teilraum W sodass V = Ẽλ Ẽλ k W ϕ(ẽλ i Ẽλ i ϕ(w W (VI5 Die Einschränkung ϕ Ẽλi : Ẽ λi Ẽλ i ist triangulierbar mit λ i als einzigen Eigenwert und ϕ W hat keine Eigenwerte also σ(ϕ Ẽλi = {λ i } und σ(ϕ W = Schließlich existiert eine Basis B von V sodass A λ i [ϕ] BB = Ak wobei A λ i = i M m i m i (K A λ i und A M m m (K keineeigenwertebesitzt σ(a = und m = n m m k Zerfällt das charakteristische Polynom von ϕ in Linearfaktoren (etwa weil K algebraisch abgeschlossen ist dann ist W = {} V = Ẽλ Ẽλ k und der letzte Block in der Matrixdarstellung A tritt nicht auf dh m = Beweis Wir gehen mittels Induktion nach der Anzahl der verschiedenen Eigenwerte vor Der Induktionsanfang σ(ϕ = ist trivial Für den Induktionsschritt sei nun λ ein Eigenwert von ϕ Nach Lemma VI35 existiert ein komplementärer Teilraum W sodass V = Ẽλ W ϕ(ẽλ Ẽλ ϕ(w W (VI6 Bezeichnet ϕ := ϕ W : W W die Einschränkung so gilt weiters σ(ϕ Ẽλ = {λ } und σ(ϕ = {λ λ n }

6 7 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein Teilraum W von W sodass W = Ẽ λ Ẽ λ k W ϕ (Ẽ λ i Ẽ λ i ϕ (W W σ(ϕ W = wobei Ẽ λ i die verallgemeinerten Eigenräume von ϕ bezeichnen Offensichtlich ist Ẽ λ i Ẽλ i es gilt aber auch die umgekehrte Inklusion Ẽ λi Ẽ λ i für jedes i = k Sei dazu v Ẽλ i und N so dass (ϕ λ i id V N v = Bezeichnet v = e + w die eindeutige Zerlegung mit e Ẽλ und w W dann folgt (ϕ λ i id V N e = = (ϕ λ i id V N w wegen der Invarianz der Zerlegung (VI6 Da λ i nicht Eigenwert von ϕ Ẽλ ist muss e = gelten und daher v = w Ẽ λ i Dies zeigt Ẽ λ i = Ẽλ i und daher die invariante Zerlegung (VI5 Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren dann muss W = {} gelten da ja σ(ϕ W = Wählen wir Basen von Ẽλ i wie in Lemma VI35 und vereinigen diese mit einer Basis von W so erhalten wir eine Basis B von V bezüglich der die Matrixdarstellung [ϕ] BB die gewünschte Form hat Daraus erhalten wir sofort: VI38 Korollar Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V linear Weiters bezeichnen λ λ k alle (paarweise verschiedenen Eigenwerte und Ẽλ Ẽλ k die entsprechenden verallgemeinerten Eigenräume Dann sind äquivalent: (a Das charakteristische Polynom p ϕ zerfällt über K in Linearfaktoren (b V = Ẽλ Ẽλ k (c dim(v = k i= dim(ẽλ i VI39 Beispiel Wir wollen die Primärzerlegung der Matrix 5 4 A = bestimmen Für das charakteristische Polynom erhalten wir 5 z 4 z p = det 3 z 6 6 z 6 4 z = det 5 z 4 z det( 6 z = (3 z 4 z 3 (5 z 3 z

7 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 73 also σ(a = {35} Dann ist A 5I = (A 5I = 4 6 also E 5 = ker(a 5I = ( Ẽ 5 = ker ( (A 5I = ( siehe (VI4 Analog 4 A 3I = 6 3 (A 3I = also und E 3 = ker(a 3I = Ẽ 3 = ker ( (A 3I = ( ( Bezeichnen wir die gewonnene Basis von V mit B = ( ( ( ( ( ( 3 3 und die entsprechende Basiswechselmatrix mit S = T EB = 3 3 dann gilt [A] BB = S AS = die gesuchte Primärzerlegung von A ( ( (

8 74 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN VI3 Satz (Caley Hamilton Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V eine lineare Abbildung mit charakteristischem Polynom p Dann gilt p(ϕ = Beweis Wir werden dies nur für algebraisch abgeschlossene Körper zeigen der allgemeine Fall lässt sich dann durch Übergang zum algebraischen Abschluss von K beweisen Sei also K algebraisch abgeschlossen Es bezeichnen λ λ k alle verschiedenen Eigenwerte m m k ihre algebraischen Vielfachheiten und Ẽ λi die entsprechenden verallgemeinerten Eigenräume Für das charakteristische Polynom gilt dann p = (λ z m (λ k z m k und daher Nach Satz VI37 ist p(ϕ = (λ id V ϕ m (λ k id V ϕ m k V = Ẽλ Ẽλ k und ϕ(ẽλ i Ẽλ i Schränken wir p(ϕ: V V auf den Teilraum Ẽλ k V ein erhalten wir p(ϕ Ẽλk = (λ id V ϕ m (λ k id V ϕ m k Ẽλk = }{{} = siehe (VI4 Da die Faktoren (λ i id V ϕ m i miteinander kommutieren gilt auch und wir erhalten analog p(ϕ Ẽλi = (λ id V ϕ m (λ i id V ϕ m i Ẽλi = }{{} = p(ϕ Ẽλi = i = k Nachdem die Teilräume Ẽλ Ẽλ k ganz V aufspannen folgt p(ϕ = VI3 Bemerkung Ist A M n n (K und bezeichnet p das charakteristische Polynom von A dann gilt p(a = Dies folgt sofort aus aus Satz VI3 siehe auch Aufgabe 6 Etwa hat die Matrix A = 6 4 charakteristisches Polynom p = z 3 + 7z 6z + = ( z (3 z und es gilt tatsächlich p(a = A 3 +7A 6A+I 3 ( = = + ( ( ( ( 6 4 ( ( ( = (

9 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 75 VI3 Bemerkung Es scheint verlockend den Beweis von Satz VI3 wie folgt kürzer zu führen: Da p(z = det(a zi n ist p(a = det(a AI n = det(a A = det( = Dies ist jedoch kein korrekter Beweis! Das Problem liegt beim vermeintlichen Gleichheitszeichen p(a = det(a AI n denn auf der linken Seite steht eine Matrix p(a wohingegen auf der rechten Seite der Skalar det(a AI n steht VI33 Definition (Nilpotente Abbildungen Sei V ein endlich dimensionaler K-Vektorraum Eine lineare Abbildung ϕ: V V wird nilpotent genannt falls N N existiert sodass ϕ N = Eine Matrix A M n n (K wird nilpotent genannt wenn die damit assoziierte lineare Abbildung K n K n x Ax nilpotent ist Dies ist genau dann der Fall wenn A N = für ein N N Aus den vorangehenden Betrachtungen folgt sofort: VI34 Proposition Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V eine lineare Abbildung Dann sind äquivalent: (a ϕ ist nilpotent (b Ẽ = V (c ϕ n = (d Es existieren ineinander geschachtelte Teilräume (Flagge {} = V V V V r = V sodass ϕ(v i V i für alle i = r (e Es existiert eine Basis B von V bezüglich der die Matrixdarstellung von ϕ strikte obere Dreiecksgestalt hat dh [ϕ] BB = Ist K algebraisch abgeschlossen dann ist dies weiters äquivalent zu (f σ(ϕ {} Eine Folge (strikt geschachtelter Teilräume wie in (d ist durch {} = ker(ϕ ker(ϕ ker(ϕ ker(ϕ r = V gegeben wobei r die kleinste Zahl mit ϕ r = bezeichnet (Nilpotenzindex Eine Basis wie in (e lässt sich gewinnen indem wir mit einer Basis von ker(ϕ beginnen diese zu einer Basis von ker(ϕ ergänzen weiter zu einer Basis von ker(ϕ 3 ergänzen usw bis wir schließlich bei einer Basis von V landen VI35 Korollar Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V eine lienare Abbildung deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt Dann existiert eine eindeutig bestimmte diagonalisierbare lineare Abildung ψ: V V und eine eindeutig bestimmte nilpotente

10 76 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN lineare Abbildung ν: V V sodass ϕ = ψ +ν und ψν = νψ Darüber hinaus haben ϕ und ψ das selbe charakteristische Polynom also die gleichen Eigenwerte und algebraischen Vielfachheiten Beweis Die Existenz von ψ und ν folgt aus der Primärzerlegung Ist B eine Basis von V bezüglich der [ϕ] BB von der Form in Satz VI37 ist dann definieren wir [ψ] BB (und damit ψ durch die Diagonaleinträge von [ϕ] BB und ν := ϕ ψ Eine einfache Überlegung zeigt dass diese linearen Abbildungen alle gewünschten Eigenschaften haben Es bleibt daher nur noch die Eindeutigkeit zu zeigen Seien dazu ψ: V V diagonalisierbar und ν: V V nilpotent sodass ϕ = ψ+ν und ψν = νψ Da die verallgemeinerten Eigenräume von ϕ ganzv aufspannen genügt es ψ Ẽλ = λidẽλ für jeden Eigenwert λ von ϕ zu zeigen denn dadurch sind ψ und dann auch ν = ϕ ψ eindeutig festgelegt Da ψ und ν kommutieren gilt auch ϕψ = ψϕ und ϕν = νϕ und daher siehe Aufgabe 6 ψ(ẽλ Ẽλ und ν(ẽλ Ẽλ Beachte dass ν Ẽλ und ϕ Ẽλ λidẽλ beide nilpotent sind Da sie kommutieren ist auch ihre Differenz ψ Ẽλ λidẽλ = ϕ Ẽλ λid Ẽλ ν Ẽλ nilpotent siehe Aufgabe6Andererseitsistψ Ẽλ λidẽλ auchdiagonalisierbarsieheaufgabe63 Somitistψ Ẽλ λidẽλ diagonalisierbarundnilpotentalsonullsieheaufgabe64 Wir erhalten ψ Ẽλ = λidẽλ Nach Korollar VI35 lässt sich jede Matrix A M n n (K deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt in der Form A = D + N schreiben wobei D M n n (K diagonalisierbar N M n n (K nilpotent und DN = ND Die Matrizen D und N sind durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt die Eigenwerte von A und D und deren algebraische Vielfachheiten stimmen überein VI36 Satz Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ: V V eine nilpotente lineare Abbildung Dann existieren Vektoren v v l V und Zahlen r r r l sodass ϕ r i (v i = für jedes i = l und so dass v ϕ(v ϕ r (v v ϕ(v ϕ r (v v l ϕ(v l ϕ r l (v l eine Basis von V bildet Bezeichnet B diese Basis in umgekehrter Reihenfolge dann ist die Matrixdartsellung von der Form ε ε [ϕ] BB = (VI7 εn

11 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 77 für gewisse ε i {} Es gilt in diesem Fall n = r + +r l und l = dimkerϕ = + {i ε i = } Eine solche Basis kann durch Lösen linearer Gleichungssysteme algorithmisch konstruiert werden (siehe den Beweis unten Beweis Sei r die kleinste Zahl sodass ϕ r = und ϕ r Es existiert daher v V sodass ϕ r (v Wir zeigen zunächst dass die Vektoren v ϕ(v ϕ (v ϕ r (v linear unabhängig in V sind Seien dazu λ i K mit λ v +λ ϕ (v +λ ϕ (v + +λ r ϕ r (v = Da ϕ r (v = erhalten wir durch sukzessives Anwenden von ϕ das System λ v +λ ϕ (v +λ ϕ (v + +λ r ϕ r (v = λ ϕ (v +λ ϕ (v + +λ r ϕ r (v = λ ϕ (v + +λ r 3ϕ r (v = λ ϕ r (v +λ ϕ r (v = λ ϕ r (v = (VI8 Da ϕ r (v folgt daraus λ = λ = = λ r = in dem wir Gleichungssystem von unten nach oben inspizieren Dies zeigt dass (VI8 linear unabhängig sind Bezeichne den davon aufgespannten Teilraum mit U := v ϕ(v ϕ (v ϕ r (v Beachte dass U invariant unter ϕ ist dh ϕ(u U Die Abbildung ϕ induziert daher eine Abbildung auf dem Quotientenraum ϕ: V V ϕ([v] = [ϕ(v] V := V/U Beachte ϕ r = denn ϕ r ([v] = [ϕ r (v] = [] = für jedes v V Insbesondere ist auch ϕ: V V nilpotent Mittels Induktion nach der Dimension von V dürfen wir daher annehmen dass Zahlen r r r l und Vektoren v v l V existieren sodass ϕ r i ( v i = für jedes i = l und so dass v ϕ( v ϕ r ( v v l ϕ( v l ϕ r l ( v l (VI9 eine Basis von V bildet Wähle Repräsentanten ṽ ṽ l V dh v i = [ṽ i ] Es folgt [ϕ r i (ṽ i ] = ϕ r i ( v i = also ϕ r i (ṽ i U Es existieren daher µ ij K sodass ϕ r i (ṽ i = r j= µ ij ϕ j (v i = l (VI3

12 78 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Anwenden von ϕ r r i liefert unter Verwendung von ϕ r = = ϕ r (ṽ i = ϕ r r i ( ϕ r i (ṽ i = = r j= r +r r i µ ij ϕ r r i +j (v j=r r i µ ij r +r i ϕ j (v = r j=r r i µ ij r +r i ϕ j (v Aus der linearen Unabhängigkeit des Systems (VI8 folgt µ i = µ i = = µ iri = Zusammen mit (VI3 erhalten wir also Setzen wir dann gilt somit Beachte dass ϕ r i (ṽ i = r j=r i µ ij ϕ j (v v i := ṽ i r j=r i µ ij ϕ j ri (v i = l ϕ r i (v i = und v i = [v i ] i = l v ϕ(v ϕ r (v v l ϕ(v l ϕ r l (v l (VI3 unter der kanonischen Projektion V V v [v] bijektiv auf die Basis (VI9 abgebildet wird Somit ist (VI3 linear unabhängig in V und bildet die Basis eines zu U komplementären Teilraums Da v ϕ(v ϕ r (v eine Basis von U ist bildet v ϕ(v ϕ r (v v ϕ(v ϕ r (v v l ϕ(v l ϕ r l (v l also eine Basis von V Damit ist der erste Teil des Satzes gezeigt Die verbleibenden Aussagen sind nun offensichtlich Für nilpotente Matrizen A M n n (K besagt der vorangehende Satz dass eine invertierbare Matrix S GL n (K und Skalare ε i {} existieren sodass S AS die Form (VI7 hat VI37 Beispiel Die Matrix A = 3

13 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 79 ist nilpotent denn A 4 = A 3 = A 4 = Wir wollen eine invertierbare Matrix S finden sodass S AS die Gestalt (VI7 hat Wir gehen wie im Beweis des vorangehenden Satzes vor Da A 3 und A 4 = ist r = 4 Es ist v so zu wählen dass A 3 v Wir verwenden v = e 4 und erhalten A 4 v = sowie v = ( Av = ( A v = A 3 v = Nach dem Beweis des Satzes oben sind diese Vektoren linear unabhängig und spannen daher einen 4-dimensionalen Teilraum U auf Um den Nilpotenzindex der induziertenabbildungaufdemquotientenraumk 6 /U zubestimmenbeobachten wir dass img(a zur Gänze in U liegt aber img(a U somit r = Es ist daher ṽ so zu bestimmen dass Aṽ U Wir entscheiden uns für ṽ = e und erhalten ṽ = ( Aṽ = ( A ṽ = Setzen wir v := ṽ Av dann gilt A v = und v = 4 Av = ( = A 3 v U Wir erhalten eine Basis B und die entsprechende Basiswechselmatrix S 3 ( ( ( 3 4 } {{ } B S = 3 4 3

14 8 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN mit der gewünschten Eigenschaft: S AS = VI38 Definition (Jordanblock Unter dem Jordanblock der Größe m N mit Eigenwert λ K verstehen wir die Matrix λ λ J m (λ := M m m(k λ VI39 Satz (Jordan Zerlegung Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ: V V eine lineare Abbildung deren charakteristisches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt Weiters bezeichnen λ λ k alle (paarweise verschiedenen Eigenwerte von ϕ und m m k ihre algebraische Vielfachheiten und n n k ihre geometrischen Vielfachheiten Dann existiert eine Basis B von V sodass die Matrixdarstellung von ϕ folgende Blockdiagonalgestalt besitzt: J m (λ J (λ mn [ϕ] BB = J (λ mk k J (λ mknk k Dabei sind m ij N und m i + +m ini = m i für jedes i = k Für die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert λ i und Größe mindestens r gilt { j mij r } = dimker ( (ϕ λ i id V r dimker ( (ϕ λ i id V r Insbesondere ist diese Matrixdarstellung von ϕ bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig betsimmt Sie wird die Jordan sche Normalform von ϕ genannt Beweis Bezeichnen Ẽλ i = ker ( (ϕ λ i id V m i die verallgemeinerten Eigenräume von ϕ so haben wir nach Satz VI37 eine invariante Zerlegung V = Ẽλ Ẽλ k ϕ(ẽλ i Ẽλ i

15 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 8 und die Einschränkung ϕ Ẽλi ist triangulierbar mit einzigem Eigenwert λ i Somit ist die Einschränkung ϕ Ẽλi λ i idẽλi : Ẽ λi Ẽλ i nilpotent Nach Satz VI36 existiert daher eine Basis B i von Ẽλ i und Zahlen ε ij {} sodass ε i [ ] ϕ Ẽλi λ i idẽλi B i B i = εimi Folglich: Beachte [ ϕ Ẽλi] B i B i = λ i ε i λ i εimi n i = dim(e λi = dim ( ker(ϕ λ i id V ( = dim ker ( ϕ Ẽλi λ i idẽλi = + {j ε ij = } Es existieren daher Zahlen m i m ini N sodass m i + +m ini = m i und λ i J [ mi (λ i ϕ Ẽλi] B i B i = λ J mij (λ i = i J (λ mini i }{{} λ i m i m i }{{} m ij m ij Die Vereinigung B := B B k bildet daher eine Basis von V bezüglich der ϕ die gewünschte Form hat Daraus erhalten wir sofort dim ( ker(ϕ λ i id V r = dim (ker ( r ϕ Ẽλi λ i idẽλi = dimker ( Jmi ( J mini ( r = {j m ij }+ + {j m ij r} λ i unddaher { j mij r } = dimker ( (ϕ λ i id V r dimker ( (ϕ λ i id V r Für Matrizen A M n n (K deren charakteristisches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt besagt der vorangehende Satz gerade dass eine invertierbare Matrix S GL n (K existiert sodass S AS wie die Matrix in Satz VI39

16 8 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN aussieht Eine mögliche Jordan sche Normalform ist etwa: wobei wie bisher alle nicht spezifizierten Eintragungen Null sind VI3Korollar Zwei Matrizen AB M n n (K deren charakteristische Polynome in Linearfaktoren zerfallen sind genau dann ähnlich wenn ihre Jordan schen Normalformen bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke gleich sind Dies ist genau dann der Fall wenn A und B die selben Eigenwerte λ λ k haben und für jedes i = k und jedes r die folgende Relation gilt: 5 dimker ( (A λ i I n r = dimker ( (B λ i I n r VI3 Bemerkung Durch die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte ist die Jordan sche Normalform noch nicht eindeutig festgelegt Etwa haben die beiden Matrizen 7 A = und B = beide nur einen Eigenwert nämlich λ = 7 mit algebraischer Vielfachheit 6 und geometrischer Vielfachheit Die beiden Matrizen sind jedoch nicht ähnlich da ihre Jordan schen Normalformen verschieden sind es gibt daher keine invertierbare Matrix S GL 6 (K sodass S AS = B Dass A und B nicht ähnlich sein können folgt auch direkt aus (B 7I 3 = und (A 7I 3 VI3 Beispiel Wir wollen die Jordan sche Normalform der Matrix A =

17 VI3 JORDAN SCHE NORMALFORM 83 bestimmen Wir setzen N := A 7I n und berechnen N = 5 7 N = 4 N 3 = Somit dimker(n = 3 dimker(n = 6 und dimker(n r = für r 3 Nach Satz VI39 hat die Jordan sche Normalform von A daher 3 Jordanblöcke der Größen 3 und muss somit folgende Gestalt haben: J = (VI3 Um auch eine Matrix S mit S AS = J zu bestimmen gehen wir wie im Beweis von Satz VI36 vor Da N und N 3 = ist r = 3 Es daher v so zu wählen dass N v Wir verwenden v = e 5 und erhalten: v = Nv = N v = N 3 v = Da img(n U := v Nv N v aber img(n U ist r = Es daher v so zu wählen dass Nv / U und N v = Wir verwenden v = e und erhalten v = Nv = N v = Da img(n v Nv N v v Nv ist auch r 3 = Es ist daher v 3 so zu wählen dass Nv 3 / v Nv N v v Nv und N v 3 = Wir verwenden v 3 = e 7 und erhalten 5 7 v 3 = Nv 3 = N v 3 = Insgesamt erhalten wir folgende Basis und Transformationsmatrix: 5 7 } {{ } B S = 5 7

18 84 VI EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN Nach Konstruktion gilt S AS = J siehe (VI3 VI33 Beispiel Betrachte die Folge Genauer: x = x = x = x n = 6x n x n +8x n 3 n 3 Wir wollen eine explizite Formel für x n herleiten Setzen wir v n := x n x n+ A := 8 6 x n+ danngiltv n+ = Av n unddaherv n = A n v Dadasgesuchtex n denersteneintrag von v n bildet genügt es also A n zuberechnen Dascharakteristische Polynom von A ist p = ( z 3 die Matrix hat also nur einen Eigenwert nämlich Es gilt A I = (A I = (A I 3 = und daher b = (A Ib = (A I b = 4 4 Daraus lesen wir die Jordan sche Normalform von A ab: S AS = wobei S = S = Damit können wir die Potenzen von A bestimmen siehe Aufgabe 66 A n = S n ( S = S n n n n n n n n S n Somit ( v n = A n v = S n n n n n n n n = S n n n n = n Der erste Eintrag liefert die gesuchte explizite Formel für x n ( n x n = n = n(n n = n(n n 3 ( n ( n n n ( n+ ( n+ n