Aufgabenskript. Lineare Algebra
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- Herta Vogt
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1 Dr Udo Hagenbach FH Gießen-Friedberg Sommersemester Aufgabenskript zur Vorlesung Lineare Algebra 6 Vektoren Aufgabe 6 Gegeben sind die Vektoren a =, b =, c = Berechnen Sie die folgenden Vektoren und ihre Beträge: a) x = a b + c b) y = ( b + c) + ( a b) Aufgabe 6 Welche Gegenkraft F hebt die folgenden vier Einzelkräfte in ihrer gemeinsamen Wirkung auf: F = N, F = N, F = 8 N, F = N
2 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 6 Normieren Sie die Vektoren x = und y = Aufgabe 6 Berechnen Sie den Einheitsvektor in Richtung AB mit A( //) und B(// ) Aufgabe 6 Wie lautet der Einheitsvektor e, der die zum Vektor x = Richtung hat? entgegengesetzte Aufgabe 66 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P (// ) in Richtung des Vektors x = genau Längeneinheiten entfernt ist Aufgabe 67 Entsprechend dem Phototropismus wächst ein Pflanzenspross in die Richtung des einfallenden Lichtes, proportional zur Lichtstärke Auf einem Tisch befindet sich ein Topf mit einem Pflanzenspross Nach rechts um 6 cm, hinten um cm und nach oben um cm entfernt befindet sich die Lichtquelle Nach links um cm, nach hinten um cm und nach oben um 7 cm entfernt befindet sich die Lichtquelle, die die Pflanze dreimal stärker beleuchtet als Lichtquelle (Die Abhängigkeit dieses Verhältnisses von der Entfernung soll nicht berücksichtigt werden) a) In welche Richtung wächst der Spross? Führen Sie hierzu Koordinaten ein mit dem Spross im Ursprung des Systems b) Wo befindet sich die Spitze des Sprosses, wenn dieser cm gewachsen ist?
3 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 68 Bilden Sie mit den Vektoren x =, y =, z = Skalarprodukte: a) x y b) ( x + y) ( x z) die folgenden und prüfen Sie die Gültigkeit des Distributivgesetzes x ( y + z) = x y + x z Aufgabe 69 Zeigen Sie, dass die Vektoren x = e e + e und y = e + e e senkrecht aufeinander stehen Aufgabe 6 Welchen Winkel schließen die Vektoren x und y ein? a) x =, y = b) x =, y =, Aufgabe 6 Durch die drei Punkte A(// ), B(//), C( //) wird ein Dreieck festgelegt Berechnen Sie die Längen der drei Seiten und die drei Winkel Aufgabe 6 Eine Masse wird durch die Kraft F = nach Q( m/ m/ m) verschoben N geradlinig von P ( m/ m/ m)
4 Lineare Algebra, Sommersemester a) Welche Arbeit leistet die Kraft? b) Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor P Q? Aufgabe 6 Eine Kraft mit Betrag F = 8 N verschiebt eine Masse um die Strecke s = m und verrichtet dabei die Arbeit W = 6 Nm Unter welchem Winkel greift die Kraft an? Aufgabe 6 Beweisen Sie den Kosinussatz für allgemeine Dreiecke, also c = a + b ab cos γ Hinweis: Setzen Sie a = CB, b = CA, c = AB und berechnen Sie das Skalarprodukt c c Aufgabe 6 Bilden Sie mit den Vektoren x =, y =, z = 6 Vektorprodukte: a) x y b) ( x y) z die folgenden aufgespann- Aufgabe 66 Bestimmen Sie den Flächeninhalt des von x = ten Parallelogramms und y =
5 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 67 Es sei x = und y = k k Wie muss k gewählt werden, damit x y die Länge hat? Aufgabe 68 Liegen die Vektoren x =, y =, z = in einer Ebene? Aufgabe 69 Für welchen Wert k liegen die Vektoren x = k, y =, z = in einer Ebene? Aufgabe 6 Bestimmen Sie das Volumen, des aus den Vektoren x =, y = 7, z = 8 gebildeten Spats
6 Lineare Algebra, Sommersemester 6 Aufgabe 6 Eine Leiterschleife mit den Eckpunkten A(, //)m, B(/, /)m und C(//, )m wird von einem homogenen Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte V s B = m durchflutet Wie groß ist der magnetische Fluss φ durch die Leiterschleife? Hinweis: Der magnetische Fluss φ berechnet sich als φ = B A mit dem Flächenvektor A, der senkrecht auf der Dreiecksfläche steht und dessen Betrag dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht
7 Lineare Algebra, Sommersemester 7 7 Analytische Geometrie Aufgabe 7 Es sei G die Gerade durch die Punkte P (// ), P (//) a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung von G b) Liegt der Punkt Q( //) auf G? c) Welchen Abstand hat Q von G? Aufgabe 7 E sei die Ebene durch die Punkte P (/ /), P ( //), P (/7/ ) a) Bestimmen Sie eine Parameterform von E b) Bestimmen Sie eine Normalenform von E c) Bestimmen Sie die Höhe von E über (//) d) Liegt der Punkt Q(//) auf E? e) Welchen Abstand hat Q von E? Aufgabe 7 Die Vektoren x = 7, y = 7 spannen eine Ebene auf Welchen Betrag hat die vektorielle Komponente der Kraft die senkrecht zur Ebene steht? F = N, Hinweis: Verwenden Sie den Normalenvektor der Ebene
8 Lineare Algebra, Sommersemester 8 Aufgabe 7 Die Ebene E schneidet die x -,x -,x -Achse in, und Wie groß ist der senkrechte Abstand der Ebene zum Koordinatenursprung? Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Aufgabe 7 Die Ebene E ist orthogonal zur x -x -Ebene und zur x -x -Ebene und enthält den Punkt A(//) Stellen Sie eine Gleichung der Ebenen in Normalenform auf Aufgabe 76 Berechnen Sie Abstand und gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden gegebenen Geraden: a) G : x =, G : x = b) G : x = 6, G : x = 8 Aufgabe 77 Flugzeug A bewegt sich von P (/ /) nach Q(//), Flugzeug B von R( /6/) nach S(/ 8/) Wie groß ist der kleinste Abstand der Flugbahnen zueinander? Aufgabe 78 Für welche Werte des Parameters a hat der Punkt P den Abstand d zur Ebene E? a) E : 6 x =, P (//a), d =,
9 Lineare Algebra, Sommersemester 9 b) E : x 6y + 9z =, P (7/ /a), d =, c) E : x + 8y + z = 6, P (a/6/9), d = Aufgabe 79 Berechnen Sie den Abstand der Geraden zur Ebene und gegebenenfalls den Schnittpunkt a) G : x = 9, E : x = + µ b) G : x = 6, E : x = µ Aufgabe 7 Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von G und E Berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunt S a) G : x = 6 7, E : x =, b) G : x = 8, E : x =, c) G : x =, E : x =
10 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen E : 7 x = 6 mit E : x = Aufgabe 7 Untersuchen Sie, welche Lage die Ebene E : x = + µ in Bezug auf die Ebene E einnimmt Bestimmen Sie gegebenenfalls die Gleichung der Schnittgeraden a) E : 6 x =, b) E : x =, c) E : x = 8
11 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 7 Gegeben ist die Ebenenschar E a : a a x = a) Zeigen Sie: Die Ebenen der Schar E a schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden G und bestimmen Sie eine Gleichung von G b) Welche Ebene der Schar E a verläuft parallel zur x -Achse? c) Welche Ebene der Schar E a wird von der Geraden G : x = +λ 6 senkrecht geschnitten? Aufgabe 7 Gegeben sind die Ebene E : 6 x = 6 und die Gerade G : x = 6 9 a) Stellen Sie die Ebene E durch eine Gleichung in Parameterform dar b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen c) Bestimmen Sie a R so, dass der Punkt P (a/ a/ a) auf E liegt d) E und G schneiden sich Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel
12 Lineare Algebra, Sommersemester e) Welche Punkte von G haben zu E den Abstand d = 6 6? f) Welchen Abstand hat der Punkt Q(/ /) zu G g) Die Punkte R(6/ 9/6) und R (/ / ) liegen spiegelbildlich bezüglich einer Ebene E Bestimmen Sie eine Gleichung von E
13 Lineare Algebra, Sommersemester 8 Matrizen Aufgabe 8 Gegeben sind die folgenden Matrizen: A = B = 7 C = D = E = 9 7 ( F = ) G = Berechnen Sie (falls möglich) die folgenden Ausdrücke: a) BA + C, b) ABG, c) E + D, d) DE, (DE) T, e) E T D T, f) F CF Aufgabe 8 Wie muss man k wählen, damit das Matrixprodukt eine Diagonalmatrix ergibt? 7, k
14 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 8 Berechnen Sie a, b, so dass 7 a a b + = 7 Aufgabe 8 Bilden Sie mit einer allgemeinen ( )-Matrix A = (α ik ) die folgenden Matrizenprodukte und beschreiben Sie, welche Veränderungen in der Matrix A durch die jeweilige Multiplikation erreicht wurde a) A, b) A, c) A Aufgabe 8 Geben Sie eine ( )-Matrix P an, so dass beim Multipizieren mit A von links die erste und dritte Spalte von A vertauscht werden Aufgabe 86 Es sei A eine (m n)-matrix, B, C seien (n r)-matrizen Zeigen Sie jeweils durch ein Gegenbeispiel, dass die folgenden Aussagen nicht allgemein gelten a) Wenn A B = ist, dann ist A = oder B = b) Wenn A A = ist, dann muss A = sein c) Wenn A B = A C gilt, dann muss B = C sein Aufgabe 87 Zeichnen Sie die Punkte P (/), Q(/) und R(/) in ein Koordinatensystem ein Berechnen Sie danach mit Hilfe einer Drehmatrix die Koordinaten der um π gedrehten Punkte und zeichnen Sie diese ebenfalls in das Koordinatensystem ein
15 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 88 Berechnen Sie die Determinanten a) 6 b) 6 c) d) a a a Aufgabe 89 Berechnen Sie die Determinanten a) b) b b b b c) x x x x x Aufgabe 8 Vereinfachen Sie die folgenden Determinanten und berechnen Sie danach ihren Wert: a) + cos α + sin α sin α + cos α b) c) Aufgabe 8 Berechnen Sie für zwei beliebige untere und obere Dreiecksmatrizen U und O a) det U, b) det O, c) det(uo) Welches vereinfachte Gesetz gilt für die Berechnung der Determinante einer Dreiecksmatrix?
16 Lineare Algebra, Sommersemester 6 Aufgabe 8 Für welche der folgenden Paare gilt, dass A und B invers zueinander sind?, a) A =, B =,, b) A =, B = Aufgabe 8 Berechnen Sie mit der Cramer-Regel die Inverse zu A = 8 Aufgabe 8 Berechnen Sie mit dem Verfahren von Gauß-Jordan die Inverse zu A = 8 Aufgabe 8 Für welche x R ist A = x x invertierbar?
17 Lineare Algebra, Sommersemester 7 Aufgabe 86 Welchen Rang hat die Matrix A =? Aufgabe 87 Gegeben ist die Drehmatrix D ϕ = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ a) Berechnen Sie die inverse Matrix D ϕ b) Vergleichen Sie Dϕ sollten sie es sein? mit D ϕ : Sind die Matrizen identisch und warum eigentlich
18 Lineare Algebra, Sommersemester 8 9 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 9 Gegeben ist das LGS x x = a) Zeigen Sie, dass das LGS genau eine Lösung besitzt b) Berechnen Sie diese Lösung mit der Cramer-Regel Aufgabe 9 Ein LGS sei auf das Lösungsschema transformiert a) Welchen Rang hat das LGS? b) Welche Dimension hat die Lösungsmenge L? c) Wie lauten die Lösungen x des LGS? d) Was stellen die Lösungen geometrisch dar? Aufgabe 9 Lösen Sie das LGS mit Hilfe des Gauß-Verfahrens x + y z = x y z = x + y z =
19 Lineare Algebra, Sommersemester 9 Aufgabe 9 Für welche reellen Werte des Parameters λ besitzt das homogene LGS = ( ) ( ) λ λ x x x x = Lösungen verschieden von? Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Lösungen des LGS x + x + x = 8 x x + x = x + x x = Aufgabe 96 Bestimmen Sie die Lösungen des LGS x + x + x 9x = x x + x + x = x + x + x x = Warum kann die Cramer-Regel für dieses Beispiel nicht angewendet werden? Aufgabe 97 Berechnen Sie die Lösungen der Vektorgleichung x + x x = 8 8
20 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 98 Bestimmen Sie a, b, c, d R, so dass gilt: a b a) = a a + b c d d c + d 6 b) a + b + c + d = 7 9 Aufgabe 99 Finden Sie eine Matrix A, so dass die folgenden Matrizengleichungen erfüllt sind a) + A 7 = A 6 b) ( 7 ) ( A + ( 7) ) ( ) = A c) ( ) 6 A + = A
21 Lineare Algebra, Sommersemester Lineare Abbildungen Aufgabe Durch f (x) = x, f (x) = x + x, f (x) = x + seien drei Funktionen f k : R R, k =,, definiert a) Zeigen Sie, dass {f, f, f } ein Erzeugendensystem des Vektorraums V aller Polynome auf R höchstens zweiten Grades ist b) Ist {f, f, f } sogar eine Basis von V? c) Stellen Sie g : R R, g(x) = x +x als Linearkombination von f, f, f dar Aufgabe Betrachtet wird eine lineare Abbildung f : R R, welche zunächst orthogonal in die x -x -Ebene projiziert und danach am Ursprung spiegelt a) Wie lautet die Abbildungsmatrix der Gesamtabbildung? b) Wie lautet das Bild der Strecke AB mit A(//) und B(//6)? Aufgabe Das Dreieck ABC mit A(/), B(/) und C(/) soll im mathematisch positivem Sinn um um den Ursprung gedreht und anschließend an der x -Achse gespiegelt werden a) Wie lautet die Matrixdarstellung der gesamten linearen Abbildung? b) Berechnen Sie die Eckpunkte des Bilddreiecks Aufgabe Die lineare Abbildung f : R R sei eine orthogonale Spiegelung an der x -x - Ebene a) Wie lautet die Abbildungsmatrix?
22 Lineare Algebra, Sommersemester b) Bestimmen Sie das Bild der Geraden G : x = Aufgabe Gesucht sind die Abbildungsmatrizen für lineare Abbildungen f : R R mit den folgenden Eigenschaften: a) Spiegelung an der Geraden x = x, b) Spiegelung an der Geraden x = x, c) Spiegelung an der Geraden x = x, d) Drehung um um den Ursprung, e) Projektion parallel zur x -Achse auf die Gerade x = x, f) Projektion parallel zur Winkelhalbierenden x = x auf die x -Achse Aufgabe 6 Gegeben sei die lineare Abbildung f : R R ; f( x) = x Untersuchen Sie die geometrische Wirkung der Abbildung, indem Sie das Einheitsquadrat ABCD mit A(/), B(/), C(/), D(/) abbilden und eine Skizze anfertigen Aufgabe 7 Gegeben sind die linearen Abbildungen f,, f mit den Abbildungsmatrizen: A f = A f = A f = A f = Bestimmen Sie die Bildmenge, den Kern und die Fixpunktmenge der vier Abbildungen
23 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe 8 Betrachtet wird die lineare Abbildung f aus Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die Bilder der folgenden Geraden G : x =, G : x = G : x =, b) Erhält die Abbildung f die Parallelität von Geraden? c) Erhält die Abbildung f die Winkel zwischen zwei Geraden? Aufgabe 9 Gegeben sind die linearen Abbildungen f,, f mit den Abbildungsmatrizen: A f = A f = A f = A f = a) Bestimmen Sie den Kern und die Fixpunktmenge der vier Abbildungen b) Bestimmen Sie die Bildmenge der Abbildung f c) Auf welche Vierecksform wird das Rechteck mit den Eckpunkten A(//), B(/7/8), C(/7/8), D(//) durch die Abbildung f abgebildet? Ändert sich dabei der Flächeninhalt des Vierecks? Aufgabe Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildungen f,, f Aufgabe 9 aus
24 Lineare Algebra, Sommersemester Aufgabe Gegeben seien die Abbildungen f, f, f aus Aufgabe 7 a) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Abbildungen b) Bestimmen Sie die Eigenvektoren der Abbildungen c) Beurteilen Sie mit Hilfe der Eigenvektoren die geometrische Abbildungswirkung von f, f, f Aufgabe (Orthogonale Spiegelung an einer Ebene) Betrachtet wird die lineare Abbildung f : R R, welche eine orthogonale Spiegelung an der Ebene E : x x = bewirkt a) Stellen Sie die Abbildungsmatrix A(f) auf b) Bestimmen Sie die Bildmenge, den Kern und die Fixpunktmenge von f c) Errechnen Sie die Eigenwerte von f d) Bestimmen Sie die Fixgeraden von f, also alle Geraden, die auf sich selbst abgebildet werden Aufgabe (Schrägspiegelung an einer Ebene) Gegeben ist die lineare Abbildung f : R R ; f( x) = x a) Bestimmen Sie Bildmenge, Kern und Fixpunktmenge von f b) f beschreibt eine Spiegelung an einer Ebene E Bestimmen Sie eine Gleichung von E und geben Sie die Spiegelungsrichtung durch einen Vektor an c) Bestimmen Sie das Bild der Geraden G : x =
25 Lineare Algebra, Sommersemester d) Zeigen Sie, dass die Gerade G : x = auf sich selbst abgebildet wird e) Bestimmen Sie die Fixgeraden von f
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