Vektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:

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1 Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit] - vektorielle Größen: Geschwindigkeit Kraft elektr. Feldstärke gekennzeichnet durch: Maßzahl [Maßeinheit] Richtungsangabe D.: Ein Vektor (im R 3 ) ist ein mathematisches Objekt, das durch Angabe einer nichtnegativen Maßzahl und einer Richtung im Raum (im R 3 ) bestimmt ist. Geometrisches Bild: gerichtete Strecke Nullvektor o : o = 0, Richtung beliebig. Einheitsvektor e : e = 1 1

2 D.: Gleichheit zweier Vektoren a = b := a und b stimmen in Betrag und Richtung überein. Vektoren, die durch Parallelverschiebung ineinander überführt werden können, werden als gleich angesehen. Kartesisches Koordinatensystem: Verschiebe Vektor x so, daß Anfangspunkt im Koordinatenursprung liegt. Dann ist x allein durch seinen Endpunkt P festgelegt, d. h. durch die Koordinaten von P. Man kann deshalb die Menge aller Vektoren identifizieren mit R 3 := {(x 1, x 2, x 3 ) x 1, x 2, x 3 R} Umgekehrt können wir P (x 1, x 2, x 3 ) als den Vektor x ansehen, der vom Ursprung zu P (x 1, x 2, x 3 ) führt. x heißt Ortsvektor. D.: Parallele Vektoren := Symbol: a b können durch Parallelverschiebung auf dieselbe Gerade gebracht werden. Gleichgerichtete Vektoren := a b haben gleichen Richtungssinn. Entgegengesetzte (antiparallele) Vektoren a b haben entgegengesetzten Richtungssinn. v v 2 v

3 Komplanare Vektoren := ihre zugehörigen gerichteten Strecken mit gleichem Anfangspunkt liegen in einer gemeinsamen Ebene. D.: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar: b = λ a := b = λ a a b bzw. a b falls λ > 0 a b falls λ < 0. Sei a o. a 0 := 1 a a a 0 a a 0 = 1. Einheitsvektor zu a. D.: Addition von Vektoren Für a = (a 1, a 2, a 3 ) und b = (b 1, b 2, b 3 ) R 3 gilt a + b := (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Anschaulich: Geometrische Addition von Kräften mit Hilfe des Kräfteparallelogramms. b a+ b a a v u a = λ u + µ v 3

4 Rechenregeln: Folgende Gesetze gelten allgemein für das Rechnen mit Vektoren in n Dimensionen (im sogenannten n-dim. Vektorraum R n, n = 1, 2, 3,...) Vektorraumaxiome a + b = b + a (Kommutativgesetz) a + ( b + c) = ( a + b) + c r (s a) = (r s) a, r, s R } (Assoz.-Ges.) o + a = a + o = a (neutrales Element) a + ( a) = ( a) + a = o (inverses Element) r( a + b) = r a + r b (r + s) a = r a + s a 0 a = a 0 = o 1 a = a 1 = a } (Distributivgesetze) Die Länge a eines Vektors a kann man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras aus den Koordinaten von a bestimmen: a := a a2 2 + a2 3 Damit gilt: a = 0 a = o und λ a = λ a, λ R. und -Ungl. a + b a + b (*) Aus (*) ergibt sich a b a ± b 4

5 Euklidischer Abstand d( b, c) zweier Punkte B(b 1, b 2, b 3 ) und C(c 1, c 2, c 3 ) im R 3 mit den Ortsvektoren b = (b 1, b 2, b 3 ) und c = (c 1, c 2, c 3 ): d( b, c) := b c = 3 i=1 (b i c i ) 2 1/2 Der Euklidischen Abstand d( b, c) hat folgende allgemeingültige Eigenschaften ( a, b, c sind Vektoren im R n ): (M1) d( b, c) 0 und d( b, c) = 0 b = c (M2) d( b, c) = d( c, b) (Symmetrie) (M3) d( b, c) d( b, a) + d( a, c) ( -Ungl.) Diese 3 Gesetzmäßigkeiten bilden später die Axiome für den metrischen Raum. 5

6 Beispiel: An dem Drehkran aus Abbildung 3 hängt eine Last, die eine Kraft K bewirkt. Wie groß sind die Zugkraft K 1 in der Schließe s 1 und die Druckkraft K 2 in der Strebe s 2 des Krans? Sind v 1 = ( ) v 1 1 v 1 2 und v 2 = ( ) v 2 1 v 2 2 v 1 α v 2 s 1 β s 2 Abbildung 3 fest gewählte Vektoren in Richtung von s 1 und s 2, so gibt es µ 1, µ 2 R mit K i = µ i v i, i = 1, 2. Befindet sich der gemeinsame Angriffspunkt der Kräfte K 1, K 2 und K in Ruhe, so muß Kraftgleichgewicht herrschen: K = K 1 + K 2 = µ 1 v 1 + µ 2 v 2. Komponentenweise geschrieben ist dies ein lineares Gleichungssystem K 1 = µ 1 v µ 2v 2 1 K 2 = µ 1 v µ 2v 2 2, (1) aus dem man µ 1, µ 2 (und damit K 1 und K 2 ) bestimmen kann. K 6

7 Wenn die eingezeichneten Winkel α und β bekannt sind, erhält man hier direkt mit dem Sinussatz für die Beträge K j der Kraftvektoren K j (j = 1, 2) K 1 = K sin α sin β K 2 sin(π α β) = K sin β = K (2) sin(α + β) (3) sin β Bemerkung: Bei der Zerlegung von Kräften wird im Ingenieurbereich die Verwendung der trigonometrischen Funktionen häufig überstrapaziert. Wie Sie sehen, können die Kräfte aus dem linearen Gleichungssystem (1) berechnet werden, ohne daß dabei auf die trigonometrischen Funktionen Bezug genommen werden muß. Die bei zunächst unbekannten Winkeln α und β oft angetroffene Lösungsvariante aus der Geometrie, zunächst diese Winkel zu bestimmen und sodann die Formeln (2) und (3) zu verwenden, löst auch nur dieses Gleichungssystem. 7

8 D.: Skalarprodukt: Geg.: Vektoren a, b. Die reelle Zahl a, b a b, die nach folgender Vorschrift erklärt wird a, b := a b cos( ( a, b)), ( a, b) [0, π] heißt Skalarprodukt oder auch inneres Produkt. b α ba a α a b b a = b cos α > 0 b cos α < 0 ba = b cos α a a = a, b a a a Satz: Eigenschaften des Skalarproduktes (i) a, b = 0 a b (ii) a, b = b, a a, b R 3 (iii) a + b, c = a, c + b, c a, b, c R 3 (iv) λ a, b = a, λ b = λ a, b a, b R 3, λ R (v) a, a = a 2 > 0 a R 3 \{0} 8

9 Aus diesem Satz läßt sich die winkelfreie Berechnungsvorschrift für a, b herleiten: Seien i = (1, 0, 0) = e 1, j = (0, 1, 0) = e 2, k = (0, 0, 1) = e 3 und a = a 1 i+a 2 j+a 3 k, b = b1 i+... Dann gilt a, b = 3 i=1 a i e i, 3 j=1 b j e j = 3 3 i=1 j=1 = 3 a i b i, da e i, e j = δ ij = i=1 cos α = a, b a b = 3 i=1 a i b i a b Wegen cos α 1 folgt hieraus die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: a, b a b 3 i=1 a i b i ( ) 3 1/2 ( ) 3 1/2 a 2 i b 2 i i=1 i=1 (wird noch für bel. Summen n i=1 a i b j e i, e j { 1, i = j 0, i j. gezeigt!) Mit dieser Ungleichung erhält man einen einfachen Beweis der -Ungl.: a + b 2 = a + b, a + b = a, a + 2 a, b + b, b a a b + b 2 = ( a + b ) 2 a + b a + b. 9

10 Geometrische Anwendungen: b b d c α a a c a Satz des Thales: Jeder Winkel über dem Durchmesser eines Kreises ist ein rechter. Wegen a = d gilt b, c = a + d, a + d = a, a + a, d d, a + d, d = a 2 + d 2 = 0 Kosinussatz: a 2 = a, a = b c, b c = = b 2 + c 2 2 b c cos α. Bem.: Die Gleichung a, x = p hat unendlich viele Lösungen! x x P a 10

11 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) Vektorprodukt ist nur im R 3 erklärt. c := a b wird nach folgender Vorschrift gebildet: 1) c = a b sin( ( a, b) ) } {{ } =α (α Winkel zwischen a und b, 0 α π.) 2) c a c b 3) a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, falls c o Geometrische Deutung: a b Fläche Parallelogramm: α h Grundseite a Höhe h a b sin α = a a b h = b sin α b 11

12 Rechenregeln: Für a, b, c R 3 und λ R gilt (i) a b = b a insbesondere a a = o (ii) λ( a b) = (λ a) b = a (λ b) (iii) a ( b + c) = ( a b) + ( a c) (iv) a b 2 = a 2 b 2 a, b 2 (v) Assoziativgesetz gilt nicht a ( b c) ( a b) c (vi) Winkel α zwischen a und b sin α = sin( ( a, b)) = a b a b B.: Sinussatz Dreiecksfläche F = 1 2 b c = 1 2 b c sin α b α c a β andererseits: F = 1 2 a c = 2 1 a c sin β a sin β = b sin α 12

13 Mehrfachprodukte von Vektoren D.: Unter dem Spatprodukt der Vektoren a, b, c R 3 versteht man die reelle Zahl a b, c. Der Betrag a b, c des Spatproduktes ist das Volumen V des von a, b und c aufgespannten Parallelepipedes oder Spates. Volumen V = F h = a b c cos γ = a b, c h a b γ c a b, c = 0 a, b, c komplanar, d.h. die Vektoren liegen in einer Ebene. b a F (Später bei Determinanten: a a 1 a 2 a 3 b, c = det b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Entwicklungssätze: a ( b c) = a, c b a, b c ( a b) c = a, c b b, c a (Es gilt auch hier kein Assoziativgesetz!) 13

14 2. Analytische Geometrie der Geraden und Ebenen 0 r 1 r P 1 01 g P 01 g Gerade g ist bestimmt durch Punkt P 1 und Richtung (beschrieben durch Vektor g o) : g(p 1 ; g), KS{o; i, j, k} Ortsvektoren bzgl. o. P g : r = r 1 + P 1 P, P 1 P g, P 1 P = t g, t R r = r 1 + t g, t R Parameterdarstellung von g. (Punkt-Richtungsform der Geraden), t Parameter. Falls g = 1, dann ist t = Abstand ( P 1 P ). Sei P 2 g, P 2 P 1. Wahl: g = r 2 r 1 r = r 1 + t( r 2 r 1 ), t R Elimination von t: ( r r 1 ) g = o (Zweipunkteform der Geraden) g Parameterfreie Darstellung von g (Plücker) ÜA: Bestimme Abstand Punkt - Gerade: d(p 0, g), mit P 0 / g. 14

15 Relative Lage zweier Geraden g 1 und g 2 g 1 : r = r 1 + t a g 2 : r = r 2 + t b 1) a b g 1 g 2 2) g 1 g 2 d. h. a b (i) g 1 g 2 =, d.h. Schnittpunkt (ii) g 1 g 2 =, d.h. Schnittpunkt: g 1 windschief zu g 2 15

16 Abstand windschiefer Geraden g 3 P 1 a F g 1 r 1 P 2 b ϑ = d( a b), d R r 2 r F1! r F2 F 2 g 2 g 1 : r = r 1 + t a t R bel. g 2 : r = r 2 + s geg. b s R bel. g 3 : Gerade, die g 1 und g 2 schneidet. r F1 = r 1 + t a r F2 = r 2 + s ϑ = r b F1 r F2 a, b r F1 r F2 = r 1 + t a r 2 s b = d( a b) ( a b) ( r 1 r 2 )( a b) + t a( a b) } {{ } =0 } s b( a b) } {{ } =0 d = r F1 r F2 = ( r 1 r 2 )( a b) a b 2 = d a b 2 16

17 Ebenen im R 3 Geg.: g(p 1, g), g o D.: Ebene E := Geometr. Ort aller Geraden, die auf g stehen und P 1 enthalten. g Normalenvektor zu E. n (Normalenvektor) g r r 1 P E r 1 r 0 P P 1 E P E r r 1 n : r r 1, n = 0 (auch r, n = r 1, n =: d) 17

18 Parameterfreie Darstellung der Ebene: r, n 0 = p := d n n Hessesche Normalform P b r r 1 a P E r 1 r 0 Wahl: a, b n, a b o (nicht parallel) r r 1 n, r r 1, a, b komplanar (d.h. in einer Ebene liegend) r r 1 = t a + s b, (s, t R beliebig) r = r 1 + t a + s b s, t R Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt der Ebene S Ortsvektor zu einem festen Punkt der Ebene Richtungsvektoren von E : a b 18

19 Parameterdarstellung der Ebene: Ebene festgelegt durch 3 Punkte P 1, P 2, P 3, die nicht auf einer Geraden liegen P 1 P 3 P 2 g 1 := r 2 r 1, g 2 := r 3 r 1 = r = r 1 + s( r 2 r 1 ) + t( r 3 r 1 ) (3-Punkte-Form der Ebene) Relative Lage zweier Ebenen E 1 : r, n 1 = d 1 n 1 NV zu E 1. E 2 : r, n 2 = d 2 n 2 NV zu E 2. P 1 P 3, n = g 1 g 2 1. Fall: E 1 E 2 n 1 n 2 Abstand d(e 1, E 2 ) = d(e 1, P 2 ) mit P 2 E Fall: E 1 E 2, d. h. n 1 n 2 E 1 E 2 = Gerade (Schnittgerade g) Richtung von g: zu n 1 und n 2 19

20 B.: E 1 : 2x + 6y 2z = 2 n 1 = (2, 6, 2) E 2 : 2x + 8y + 4z = 8 n 2 = (2, 8, 4) n 1 n 2 g = E 1 E 2 Lösung des linearen Gleichungssystems 2x + 6y 2z = 2 (E 2 E 1 ) 2y + 6z = 6 y = 3 3z x = z + z = = z Lsg.: z = t R bel. y = 3 3t x = t x t Geradengln.: g : r = y = 3 3t z t 8 10 = 3 + t 3 t R. 0 1 Parameterfreie Darstellung (Plücker): x + 8 y 3 z 10 3 = o 1 = y + 3z = 3 x + 10z = 8 3x + 10y = 6 20

21 Bsp.: 1) E : P 1 = (1, 0, 0), a = (1, 0, 1), b = (0, 1, 1) r = (1, 0, 0) + s(1, 0, 1) + t(0, 1, 1), s, t R Normalenvektor: n = i j k = ( 1, 1, 1) Parameterfreie Gln.: r ( 1, 1, 1) = r 1 n = 1. Mit r = (x, y, z)) lautet die Gleichung: (x, y, z)( 1, 1, 1) = x y + z = 1 Hessesche NF: r n 0 = p mit p = d n Da n = 3 folgt r 1 ( 1, 1, 1) = 1 = d 3 3 2) E : r(1, 2, 1) = 4 x + 2y + z = 4, Normalenvektor n = (1, 2, 1) Parametergln. von E: y = s, z = t bel. x = 2s t + 4 = 4 2s t r = x y z = 4 2s t s t = s t

22 Abstand Punkt P 1 - Ebene E: d(p 1, E) P 1 : r 1 = OP 1 E : r n = d } g: Gerade durch P 1 E g: r = r 1 + t n geg. F r E n r F P 1 t n 0 g F : Fußpunkt des Lotes von P 1 auf E = Schnittpunkt von g und E. r F = r 1 + t n, r F n = d r F n = ( r 1 + t n) n = r 1 n + t n 2 = d t = d r 1 n n 2. d(p 1, E) := r F r 1 = t n = t n = d r 1 n n 2 n d(p 1, E) = d r 1 n n d(o, E) = d n (d(p 1, E): Abstand des Punktes P 1 von der Ebene E, d(o, E): Abstand der Ebene vom Ursprung.) 22