Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure

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1 Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure Eine, anwendungsbezogene Einführung mit Übungen Prof. Dr. Manfred Andrie Dipl.-Ing. Paul Meier 3. Auflage VER^G

2 Inhaltsverzeichnis MENGEN 1 Grundbegriffe Begriff der Menge Teilmengen 15 2 Verknüpfungen von Mengen Durchschnitt von Mengen Vereinigung von Mengen Differenzmenge Komplement Mengenalgebra.* Anwendungen: Geometrisches Modellieren Übungen: Mengenverknüpfungen 24 B ABBILDUNGEN UND RELATIONEN 3 Begriff der Abbildung 26 4 Kartesisches Produkt 27 5 Begriff der Relation 29 6 Anwendungen: Darstellende Geometrie 30 ZAHLEN 7 Menge der reellen Zahlen 32 8 Eigenschaften reeller Zahlen 35 9 Ungleichungen und Beträge Potenzen und Wurzeln Logarithmen Dualsystem und Digitalrechner Anwendungen Graphen von Funktionen und Relationen Physikalische Größen Schaltalgebra Übungen: Dualzahlen, Schaltfunktionen 57

3 Inhaltsverzeichnis TRIGONOMETRIE 15 Winkel als geometrische Größe Trigonometrische Funktionen Zyklometrische Funktionen Sätze der Trigonometrie Sinussatz und Kosinussatz Tangenssatz Additionstheoreme Übungen: Trigonometrie und ihre Anwendung im Vermessungswesen 72 VEKTOREN 20 Begriff des Vektors Addition und Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Winkel zwischen zwei Vektoren Vektoren im kartesischen Koordinatensystem Begriff des Vektorraumes Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren Komponentendarstellung eines Vektors; Basis und Dimension eines Vektorraumes Der n-dimensionale Vektorraum Übungen: Zusammensetzung und Zerlegung ebener und räumlicher Vektoren Skalares Produkt zweier Vektoren Begriff des skalaren Produktes Skalares Produkt zweier Vektoren aus IR Vektorielles Produkt zweier Vektoren Begriff des vektoriellen Produktes Vektorielles Produkt zweier Vektoren aus IR Anwendungen: Geometrie und Mechanik Sätze zu Parallelogramm und Dreieck 117

4 Inhaltsverzeichnis Sätze der Trigonometrie Flächeninhalt eines n-ecks Drehmoment Statisches Gleichgewicht Zerlegung von Kräften Übungen: Skalarprodukt, Vektorprodukt und Zerlegung von Kräften 132 MATRIZEN 34 Begriff der Matrix Addition und Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Spezielle Matrizen Lineare Abbildungen Anwendungen: Geometrische Abbildungen Übungen: Rechnen mit Matrizen 152 G DETERMINANTEN 42 Determinanten zweiter Ordnung Determinanten dritter Ordnung Determinanten n-ter Ordnung 160 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 45 Begriff des linearen Gleichungssystems Cramersche Regel Gauß-Algorithmus Anwendung: Berechnung der inversen Matrix nach Gauß-Jordan Übungen: Determinanten, lineare Gleichungssysteme, Cramersche Regel, Gauß-Algorithmus 178

5 10 Inhaltsverzeichnis J GEOMETRIE IN DER EBENE 50 Geraden in der Ebene Geradengleichungen Schnittwinkel zwischen Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Ebene Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten Geodätische Koordinaten und Richtungswinkel Absolute und relative (inkrementale) Koordinaten Logarithmische Skalen (Skalierung) Abbildungen in der Ebene Parallelverschiebung und Drehung kartesischer Koordinatensysteme Drehstreckung und zentrische Streckung Übungen: Geraden, Schnittpunkte und Schnittwinkel von Geraden 197 K GEOMETRIE IM RAUM 54 Geraden im Raum Ebenen im Raum Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden Räumliche Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Anwendungen: Finite Elemente und natürliche Koordinaten Flächenkoordinaten für Dreieckselemente Volumenkoordinaten für Tetraeder Übungen: Geraden und Ebenen im Raum 219

6 Inhaltsverzeichnis 11 KURVEN ZWEITER ORDNUNG 60 Kreis Koordinaten- und Parameterdarstellung des Kreises Kreis, Tangente und Polare Ellipse Hyperbel Parabel Zusammenhang zwischen den Kegelschnitten Anwendungen: Kreis in der CAD-Geometrie und im Vermessungswesen Ausrunden und Bogenhauptelemente im Vermessungswesen Vollkreis und Kreisbogen in der CAD-Geometrie Übungen: Kreis (Ausrunden), Ellipse, Hyperbel und Parabel Hauptachsentransformation Übungen: Hauptachsentransformation Anwendungen: Trägheitsmomente ebener Flächen 251 M EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 70 Eigenwerte und Eigenvektoren einer (n,n)-matrix Hauptachsentransformation für Kurven zweiter Ordnung Hauptachsentransformation für Flächen zweiter Ordnung Anwendungen: Flächenträgheitsmomente und Massenträgheitsmomente Hauptflächenträgheitsmomente Massenträgheitsmomente 270 N AUSBLICK 74 Spline- und Bezier-Kurven in der C A D - G e o m e t r i e LÖSUNGEN 277 SYMBOLVERZEICHNIS REGISTER 294

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