Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik. Dritte, überarbeitete und ergänzte Auflage. H. J. Korsch

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1 Mathematische Ergänzungen zur Einführung in die Physik Dritte, überarbeitete und ergänzte Auflage H. J. Korsch Fachbereich Physik, Universität Kaiserslautern 3. Februar 2004 ULB Darmstadt iiniiiiiiiiiiiii

2 Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren Vektoren und Tensoren in der Physik Vektorrechnung Rechnen mit Vektoren Abstraktion des Vektorbegriffs Das Skalarprodukt Das Vektorprodukt Komponentendarstellung Das Spatprodukt Das doppelte Vektorprodukt Differentiation Differentiation von Vektorfunktionen Die partielle Ableitung Krummlinige Koordinaten I Ebene Polarkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Allgemeine orthogonale Koordinatensysteme Aufgaben 45 v

3 vi INHALTSVERZEICHNIS 2 Datenanalyse und Fehlerrechnung* Messungen und Messfehler Die Normalverteilung Die Lorentz-Verteilung Statistische Maße einer Messreihe Fehlerfortpflanzung Ausgleichsrechnung Aufgaben 60 3 Vektoranalysis I Der Gradient Die Divergenz Die Rotation Divergenz und Rotation Aufgaben 74 4 Grundprobleme der Dynamik Gradientenfelder und Energieerhaltung Der schräge Wurf Das Federpendel Das mathematische Pendel Bewegungsgleichungen in Polarkoordinaten Impulssatz und Drehimpulssatz Das Zweiteilchensystem Zentralkraftfelder und Drehimpulserhaltung Keplerproblem Aufgaben L13 5 Matrizen und Tensoren Rechnen mit Matrizen Quadratische Matrizen Taylor-Entwicklung iml" Eigenwerte und Eigenvektoren 123

4 INHALTSVERZEICHNIS vii Der Trägheitstensor Drehung des Koordinatensystems Transformation von Vektoren Transformation von Matrizen* Drehungen* Diagonalisierung und Matrix-Funktionen* Transformation auf Diagonalform Matrix-Funktionen Aufgaben Lineare Differentialgleichungen* Gleichungen zweiter Ordnung Systeme erster Ordnung Aufgaben Lineare Schwingungen Der harmonische Oszillator Die freie Schwingung Erzwungene Schwingungen ; Energiebilanz Dynamik im Phasenraum* Gekoppelte Schwingungen Aufgaben Nichtlineare Dynamik und Chaos Numerische Lösung von Differentialgleichungen Der Dufnng-Oszillator.' Die logistische Differentialgleichung Iterierte Abbildungen Fraktale Aufgaben 211

5 viii INHALTSVERZEICHNIS 9 Vektoranalysis II Integrale über Vektorfelder Kurvenintegrale Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen I Flächen- und Volumenintegrale Oberflächenintegrale Funktionaldeterminanten* Integraldarstellung von Divergenz und Rotation Die Divergenz als Quellenfeld Die Rotation als Wirbelfeld Integralsätze von Gauß und Stokes Der Satz von Gauß Der Satz von Stokes Krummlinige Koordinaten II Elementare Anwendungen Die MaxwelL-Gleichungen Die integrale Form der Maxwell-Gleichungen Der Zylinderkondensator Die Kontinuitätsgleichung Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen II Der Zerlegungssatz Die Poisson-Gleichung Aufgaben Die Delta-Funktion Elementare Definition der Delta-Funktion Eigenschaften der Delta-Funktion Die dreidimensionale Delta-Funktion Theorie der Distributionen* Aufgaben 276

6 INHALTSVERZEICHNIS ix 11 Partielle Differentialgleichungen Die Poisson-Gleichung Die Poisson-Gleichung in der Elektrostatik Die Multipolentwicklung Die Poisson-Gleichung in der Magnetostatik Poisson-Gleichung: Numerische Lösung Die eindimensionale Poisson-Gleichung Die zweidimensionale Poisson-Gleichung Die zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen* Die Diffusionsgleichung Die eindimensionale Diffusionsgleichung Numerische Lösung der Diffusionsgleichung Diffusion und 'Random Walk' Die Wellengleichung Eindimensionale Wellen Die zweidimensionale Wellengleichung Dreidimensionale ebene Wellen Aufgaben Orthogonale Funktionen Orthogonale Polynome Fourier-Reihen : Beispiele für Fourier-Reihen Allgemeine Eigenschaften der Fourier-Reihen Fourier-Transformationen ' Eigenschaften der Fourier-Transformation Beispiele für Fourier-Transformationen Die Unschärferelation* Anwendungen der Fourier-Transformation Aufgaben 353

7 x INHALTSVERZEICHNIS 13 Wahrscheinlichkeit und Entropie* Wahrscheinlichkeit Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeit und Häufigkeit Entropie Ein Maß für die Unbestimmtheit Eigenschaften von S(pi,...,p u ): Maximale Unbestimmtheit Die Boltzmann-Verteilung Der harmonische Oszillator Magnetisierung Das ideale einatomige Gas Entropie und Irreversibilität Aufgaben 381 Anhang 383 A Der Vektorraum der Polynome* 383 B Komplexe Zahlen 387 B.l Konjugiert komplexe Zahlen 390 B.2 Die Polardarstellung 392 B.3 Komplexe Wurzeln 394 B.4 Fundamentalsatz der Algebra 396 C Kegelschnitte 397 C.l Die Ellipse 397 C.2 Die Hyperbel 402 C.3 Die Parabel 405 C.4 Quadratische Formen 406 C.5 Die Familie der Kegelschnitte 407 Lösungen der Übungsaufgaben 409 Index 477