"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
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- Reinhold Beyer
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1 V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz der Analysis: Linienintegral des Gradients = Differenz an den Enden Linie von x nach x' Integral (Änderung pro Schritt) "Rand" der Linie = Punkte Gesamtänderung zwischen Endpunkten Satz v. Stokes: Flächenintegral der Rotation = Linienintegral Fläche mit Rand Integral (Zirkulation pro Flächenelement) Rand der Fläche = Linie Gesamtzirkulation entlang Rand der Fläche Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen mit Rand Integral (Ausfluss pro Volumenelement) Rand des Volumens = geschlossene Oberfläche Gesamtausfluss durch Aussenfläche des Volumens Erinnerung: V3.2 Gradient (siehe Seite V3e-g) Geometrische Interpretation: zeigt in Richtung maximaler Steigung v. steht auf den 'Höhenflächen' v. bei Definition: 'Nabla-Operator': (nützliche Eselsbrücke, zum merken von gradient, Divergenz und Rotation) ist ein Vektor-Differentialoperator, wirkt auf all Funktionen, die rechts von ihm stehen. beinhaltet Ableitungen liefert einen Vektor, wenn er auf eine skalere Funktion einwirkt
2 Erinnerung: V3.4 Linienintegral eines Gradientenfeldes (siehe Seite V4e) Skalarfeld: Gradient: Weg: Änderung von von nach Gesamtänderung entlang Weg : (vergleiche Seite V4e) 'Steigung v. f' Schritt in Zeit Zusammenfassung der Strategie: finde geometrische Interpretation für Änderung auf einem infinitesimalem Wegelement; Summe über viele Elemente liefert ein Integral. Analoge Strategie funktioniert auch bei Gauß & Stokes (diese & nächste Vorlesung) Gradient: kartesisch vs. krummlinig: Cartesisch: konsistent mit (2.4) Alternativ: in orthogonal krummlinigen Koordinaten: Z.B. Kugelkoord:
3 Explizit: Cartesische Koordinaten: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Z.B., für berechne Cartesisch: Zylindrisch: Kugel: V4.2 Divergenz, Satz von Gauß Divergenz: Vektorfeld: Definition: 'Divergenz von ' (in Cartesischen Koordinaten): Notationscheck: Beispiel: Rechenregeln: Beweis v. (6): Produktregel
4 Geometrische Interpretation der Divergenz: Ausfluss pro Volumenelement sei ein Vektorfeld: (zur Anschauung: "Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit", mit d=3) Ziel: Berechne den Aussfluss von durch ein quaderförmiges Volumenelement bei Koordinaten der Punkte 1 bis 6: Infinitesimaler Quader, zentriert bei mit Volumen = Nach aussen gerichtete Normalvektoren: und Aussenfläche Gesamtfluss aus Volumenelement Fluss durch Flächen (1) bis (6) "Ausfluss pro Volumenelement" = Divergenz (6) kann als geometrische Definition der Divergenz angesehen werden!
5 Beispiele zur Anschauung: mehr fließt raus als rein z.b.: mehr fließt rein als raus Satz v. Gauß: Volumenintegral v. Divergenz = Flussintegral über Fläche Betrachte nun endliches Volumen,, umschlossen durch Aussenfläche : aufgeteilt in viele infinitesimal kleine Quader: Ausfluss aus Quader i Volumen Fläche Beiträge innerer Flächen heben sich weg, denn Normalvektoren benachbarter Quader sind entgegengesetzt Aussenflächen Satz von Gauss Interpretation: alles was quillt... muss durch die Aussenfläche! [Mathematikvorlesung: sauberer Limesprozess, Approximation von durch Quader.]
6 Anmerkungen: (1) Berechnung des durch eine Fläche eingeschlossene Volumens : Wähle das triviale Vektorfeld Volumen Ermöglicht Volumenberechnung durch Integration allein über Oberfläche! Beispiel Kugel K mit Radius R: in Kugelkoordinaten (siehe Seite C4.6g) auf Kugeloberfläche gilt: (2) Kontinuitätsgleichung: Sei = Massendichte, = Geschwindigkeitsfeld = Massenstromdichte Massenerhaltung in einem Volumen : Massenabnahme pro Zeit = Ausgeströmte Masse pro Zeit (h.4) rückwärts Integralform der Kontinuitätsgleichung (4) gilt für jedes Gebiet Differentialform der Kontinuitätsgleichung äquivalent zu Erhaltung der Masse
7 (3) Maxwell-Gleichung für elektrisches Feld: Ladungsdichte Integriere über Volumen : Dielektrische Konstante Gesetz v. Gauß: Ladung in Fluss durch Oberfläche (4) Der Fluss über geschlossene Oberflächen quellenfreier Vektorfelder ist 0: Sei dann "quellenfrei" Explizites Beispiel für (1): Seite C4.7c Anwendung: Maxwell-Gleichung für Magnetfeld lautet: also sind Magnetfelder quellenfrei, und (4) gilt: Beispiel: Fluss durch Pyramide Berechne den Fluss des Magnetfeld eines ebenen Quadrupols, durch eine Pyramide: mit Gauß Alternativ: Rand: unten links hinten schräg
8 Unten: Normalenvektor: Links: Normalenvektor: Hinten: Normalenvektor: gleiche Rechnung wie für "links" Schräg: Parametrisierung von durch "Gebirge" Orientiertes Flächenelement: Fluss durch konsistent mit (i.4)
9 Divergenz in krumml. orthog. Koordinaten: "krummer" Quader: Volumen: Ausfluss: Fläche 1 Fläche 2 2 zyklische vertauschte Terme (u,v,w): Divergenz: (6) = allgemeine Formel für Divergenz in krummlinig orthogonalen Koordinaten! Konkret: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Beispiel 1: Sei also Beispiel 2: Sei also
10 Laplace-Operator (Divergenz v. Gradient): Definition 'Laplace- Operator': (Skalar-Differential operator, wirkt auf alle Funktionen, die rechts von ihm stehen) Beispiel: Laplace krummlinig: Hausaufgaben!
11 Zusammenfassung: V4.2 Divergenz, Satz v. Gauß Divergenz (cartesisch): Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Divergenz: "Ausfluss pro Volumenelement" Divergenz in krummlinigen Koordinaten (d=3):
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Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der
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