- 1 - Zunächst das Integral über eine Bogenlänge. Ist in der x,y-ebene (oder im Raum) eine Kurve K vorgeben, so können wir das Integral

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1 - 1 - Vektoranalysis In diesem Kapitel untersuchen wir vornehmlich Vektorfelder und charakterisieren sie durch ihre Wirbel- und Quellstärke. Verstärkt findet diese Vektor(feld)analysis Anwendung in der Elektrodynamik. Sie ist aber praktisch in allen Bereichen der Physik von großem Nutzen. Als Anwendungen erwähnen wir die Mechanik und Elektrodynamik. Die Begriffe Divergenz, Gradient und Rotation hängen allerdings sehr eng mit Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegralen zusammen. Kurvenintegrale Zunächst das Integral über eine Bogenlänge. Ist in der x,y-ebene (oder im Raum) eine Kurve K vorgeben, so können wir das Integral f ( x, y) ds ( K ) entlang dieser Kurve K berechnen, indem wir sehr anschaulich von der diskreten Summe zum Integral übergehen. Vorgabe des Integrationsweges in Parameterform Ist die Kurve in der Form x x( t), y y( t) mit einem Parameter t vorgegeben, so berechnen wir das Integral konkret mittels der Anschrift in 2D ( K) T 2 2 f ( x, y) ds f [ x( t), y( t)] [ x'( t)] [ y '( t)] dt t0 da ds dx dy ( x' y' ) dt bzw. in der 3D Form ( K) T f ( x, y, z) ds f [ x( t), y( t), z( t)] [ x'( t)] [ y '( t)] [ z '( t)] dt t0

2 - 2 - Vorgabe des Integrationsweges in expliziter Form Ist der Parameter t = x, d.h. z=z(x) und y=y(x) gegeben, so lauten die Formen in 2D ( K) b 2 f ( x, y) ds f [ x, y( x)] 1 [ y '( x)] dx bzw. in 3D ( K) a b 2 2 f ( x, y, z) ds f [ x, y( x), z( x)] 1 [ y '( x)] [ z '( x)] dx Wegunabhängigkeit a Wenn wir von A nach B gehen, ist eine spannende Frage, ob der Wert des Integrals vom Weg abhängt. Dazu später mehr. Typisches Kurvenintegral in der Physik Zum Beispiel bei der Berechnung der Arbeit in einem Kraftfeld K( r) V ( r) tritt ein Integral in der Form V ( r) dr [ V dx V dy V dz] AB AB x y z auf. Wenn wir die Bahnkurve parametrisieren, können wir jedes der drei Teilintegrale, z.b. T z AB t0 V ( x, y, z) dz V [ x( t), y( t), z( t)] z '( t) dt wie gerade diskutiert berechnen. z Umlaufintegral Ein Umlaufintegral ist ein Kurvenintegral über einen geschlossenen Integrationsweg K K V(r) dr

3 - 3 - Oberflächenintegrale Oft müssen wir (skalare oder vektorielle) Felder über Oberflächen integrieren. Dann treten Integrale des Typs P ( S ) ( S ) ( S ) U ( r ) ds Q V ( r ) ds R V ( r ) ds auf. Auch haben wir gesehen, dass die Divergenz in Zusammenhang mit Oberflächenintegralen gebracht werden können. Die Oberfläche wird durch ein Oberflächenelement ds beschrieben, das senkrecht auf der Oberfläche steht und als Betrag die Größe des Flächenelementes besitzt Die Orientierung Oberflächennormale und Umlaufsinn der Berandung ist nach dem Rechtsschraubensinn festgelegt

4 - 4 - Bei der Berechnung der Zweifachintegrale wird die Projektion der Oberfläche S auf die Koordinatenebenen gebildet und ds dydz ex dxdz ey dxdy ez benutzt.

5 - 5 - Aufgabe 20.4: S sei das Ebenenstück x+y+z=1, das zwischen den drei Koordinatenebenen eingeschlossen ist. Die obere Seite soll die positive sein. Berechnen Sie P Q ( S ) ( S ) ( S ) xyz ds r ds R r ds Hilfe: Benutzen Sie ds dydz e dxdz e dxdy e x y z

6 - 6 - Divergenz Die Divergenz beschreibt die Quellstärke eines Feldes, d.h. sie verknüpft ein Feld, z.b. das elektrische Feld (oder Gravitationsfeld), mit seinen Quellen, in diesem Fall den Ladungen (bzw. Massen). Formal erhalten wir die Divergenz als das skalare Produkt aus dem Nabla-Operator und dem Vektorfeld. Anschauliche Definition Als Beispiel für ein Vektorfeld sei hier das Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit betrachtet. Die Strömung einer Flüssigkeit lässt sich durch ein Geschwindigkeitsfeld der Form v(x, y, z) = v x (x, y, z) e x + v y (x, y, z) e y + v z (x, y, z) e z beschreiben. Betrachten wir dazu ein infinitesimales, quaderförmiges Volumenelement V xy z, dessen Ausmaße so klein sind, dass die Geschwindigkeit sich von der einen zur anderen Grenzfläche kaum verändert. Der Flüssigkeitsstrom in y-richtung durch diesen Quader ist in der Eintrittsfläche durch die Geschwindigkeit v y (x, y, z) und in der Austrittsfläche durch v y (x, y + y, z) charakterisiert. In einem kleinen Zeitintervall t strömt dann eine Flüssigkeitsmenge (v y (x, y, z) t) x z durch die Stirnfläche x z in das Volumen ein. Gleichzeitig verlässt eine Flüssigkeitsmenge (v y (x, y + y, z) t) x z das Volumen durch die gegenüberliegende Fläche. Die Differenz zwischen zugeflossener und abgeflossener Flüssigkeit ist v y (x, y+ y, z) x z t - v y (x, y,z) x z t =[v y (x, y+ y, z) - v y (x,y,z)] x z t.

7 - 7 - Pro Zeiteinheit ergibt sich im Volumen eine Veränderung von Dividiert durch das Volumen ergibt sich ein Flüssigkeitsgewinn bzw. -verlust pro Volumen und Zeiteinheit von Das galt für die Strömung in y-richtung; entsprechend erhalten wir für die Strömungen in x- und z-richtung Machen wir für die Differenzenquotienten die Grenzübergänge, so lassen sich diese schreiben als v x / x, v y / y und v z / z. Die gesamte Flüssigkeitsveränderung pro Zeit- und Volumeneinheit ergibt sich also zu Dieser Ausdruck ist die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes. Meist kennzeichnet man die Divergenz eines Vektorfeldes durch den Nabla-Operator mit einem Punkt, d.h. v (empfehlenswert!). Im Volumenelement V wird also pro Zeiteinheit eine Flüssigkeitsmenge div v V v V V v erzeugt oder vernichtet. Ist div v > 0, so überwiegt der abfließende Anteil der Flüssigkeit, d.h. es tritt mehr Flüssigkeit aus dem Volumenelement aus als eintritt. Dann befindet sich in V eine Quelle. Entsprechend ergibt sich bei div v < 0 eine Senke, d.h. es fließt mehr Flüssigkeit in das Volumenelement hinein als aus ihm austritt. Im Falle div v = 0 gibt es weder eine Quelle noch eine Senke, d.h. der zufließende und abfließende Anteil halten sich die Waage und das Feld wird in diesem Punkt als quellenfrei bezeichnet.

8 - 8 - Zusammenfassend: Die Divergenz eines Vektorfeldes A(x, y, z) ist das skalare Feld In einem ebenen Vektorfeld A = A(x,y) reduziert sich die Divergenz auf Die Divergenz beschreibt eine Quellstärke. Dabei gilt: div A A > 0: im Volumenelement befindet sich eine Quelle div A A < 0: im Volumenelement befindet sich eine Senke div A A = 0: das Vektorfeld ist im Volumenelement quellenfrei Veranschaulicht man ein Vektorfeld durch Feldlinien, so finden sich Quellen in den Bereichen, in denen die Feldlinien entspringen, Senken dagegen dort, wo sie enden. Im elektrischen Feld sind die positiven Ladungen die Quellen und die negativen die Senken. Ebenso wie der Gradient ist die Divergenz eine lokale Größe: sie ist von den drei Raumkoordinaten abhängig und kann sich daher von einem Punkt zum anderen verändern. Die Divergenz ordnet dabei jedem Punkt eines Vektorfeldes einen Skalar zu. In diesem Fall erzeugt der Nabla-Operator aus einem Vektorfeld ein Skalarfeld (im Fall des Gradienten wurde mit Hilfe des Nabla-Operators aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld erzeugt). Die Divergenz kann im Lichte der anfangs gegebenen Definition als Grenzwert eines Oberflächenintegrals (siehe unten) aufgefasst werden div A lim V 0 A ds V Dabei wird auf der rechten Seite über die Oberfläche des (zusammenhängenden) Volumens V integriert. Wir kommen darauf beim Gaußschen Satz zurück.

9 - 9 - Beispiel: Die Divergenz von Spezielle Felder Die Divergenz lässt sich auf Vektorfelder aller Art anwenden. Für einige spezielle Geometrien gibt es einfache Lösungen. Konstantes Feld A(r) = a = (a x,a y,a z ) =const. Dann sind die einzelnen Komponenten des Vektorfeldes konstant und ihre räumlichen Ableitungen verschwinden. Damit verschwindet auch die Divergenz. Anschaulich bedeutet dies: Wenn ein Feld im betrachteten Raumbereich konstant ist, hat es dort keine Quellen oder Senken. Ein Beispiel ist das elektrische Feld innerhalb eines Plattenkondensators. Radialsymmetrisches Feld A(r) = r = (x,y,z). Dann ist die Divergenz Die Quellstärke folgt z.b. aus dem Gaußschen Gesetz des elektrischen Feldes (beachten Sie im Moment nicht das Maßsystem, das 0 zur Folge hat): mit (r) als der Ladungsdichte. Die physikalisch wichtigen Coulomb- und Gravitationsfelder Wir schreiben z.b für das Coulomb Feld (der Ladung q 1 ) E FC / q2

10 Ein Wirbelfeld (z.b. ausgehend vom Magnetfeld eines stromdurchflossenen Drahtes), kann dargestellt werden als mit A als der konstante Vektor senkrecht auf dem Wirbel und A als Maß für die Stärke des Wirbels. Die Divergenz ist d.h. Wirbelfelder sind quellenfrei. Rechenregeln Die folgenden Rechenregeln basieren wieder auf den üblichen Regeln der (partiellen) Differentiation: Für ein konstantes Feld A = c gilt div c = 0 Summenregel: div(a + B) = div A + div B Faktorregel: div(aa) = a div A bei konstantem Faktor a Produktregel bei der Multiplikation eines Skalar- und eines Vektorfeldes: div(ab) = AdivB + B. grada Laplace-Operator Betrachten wir ein skalares Feld A. Anwendung des Nabla-Operators liefert ein Vektorfeld A = grad A. Wenden wir nochmals den Nabla-Operator an, so erhalten wir die Divergenz dieses Gradientenfeldes: A x 2 A A y z 2 2 A Dabei ist x y z der Laplace-Operator

11 Rotation Die Rotation gibt ein Maß für die Wirbelstärke oder Wirbelhaftigkeit eines Vektorfeldes. Formal erhalten wir sie als das Vektorprodukt aus dem Nabla-Operator und einem Vektorfeld. Die Rotation eines Vektorfeldes A(x, y, z) ist das Vektorfeld Die Rotation beschreibt die Wirbelstärke eines Vektorfeldes. Ein Beispiel ist das magnetische Feld um einen stromdurchflossenen Draht. Das sich ergebende Vektorfeld ordnet jedem Punkt des Raumes einen Vektor zu, der senkrecht auf dem Wirbel steht und dessen Länge ein Maß für die Wirbelstärke ist. Ein Feld heißt in einem Bereich wirbelfrei, wenn in diesem Bereich rot F = curl F verschwindet. Wirbelfreie Felder sind homogene Felder (z.b. das elektrische Feld im Innern eines geladenen Plattenkondensators), kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder, z.b. das elektrische Feld einer Punktladung, das Gravitationsfeld) und zylinder- oder axialsymmetrische Vektorfelder (z.b. das elektrische Feld in der Umgebung eines geladenen Zylinders). Die anschauliche Herleitung der Rotation erfolgt analog zu der der Divergenz. In einem Feld F wird eine kleine rechteckige Kurve C mit den Kantenlängen 2 x und 2 y um (x o, y o, z o ) betrachtet. Die Zirkulation um diese Fläche ist

12 Die Rotation in Richtung n ist gleich der Zirkulation längs der Randkurve einer Fläche mit dem Normalenvektor n im Grenzfall Fläche 0. Diese Flächendichte der Zirkulation wird als Wirbelstärke bezeichnet. Aufgrund der gerade gegebenen Definition schreiben wir auch manchmal A dr K n rot A lim V 0 F mit der Fläche F, deren Umrandung K ist. Wir kommen darauf beim Stokesschen Satz zurück. Beispiel: Die Rotation des Vektorfeldes Für die Rotation erhalten wir einen entlang der Raumdiagonale eines kartesischen Koordinatensystems ausgerichteten Vektor, der senkrecht auf dem Wirbel steht und dessen Länge ein Maß für die Stärke dieses Wirbels ist. Da die Rotation nicht verschwindet, ist das Feld A ein Beispiel für ein Wirbelfeld.

13 Spezielle Felder Konstantes Vektorfeld A = (a x, a y, a z ) = const. Dann ist die Rotation gegeben zu rot A = x A = 0, d.h. ein konstantes Vektorfeld ist wirbelfrei. Das ist auch anschaulich: Im homogenen Feld eines Plattenkondensators oder in einem gleichförmig träge dahin fließenden Fluss finden sich keine Wirbel. Radiales Feld A = r = (x,y,z). Die Rotation dieses Feldes ist gegeben zu Ein radiales Feld ist wirbelfrei: alle Feldlinien weisen vom Ursprung weg (d.h. ein radiales Feld hat eine Quelle und damit eine nicht-verschwindende Divergenz), aber es bilden sich keine Wirbel. Ein quellenfreies Wirbelfeld schreiben wir oft in der Form ( x A). Wenn wir von diesem Wirbelfeld nochmals die Rotation bilden, so erhalten wir Nach Addition von Null in der Form Terme ergibt sich und umstellen der einzelnen

14 Rechenregeln Auch für die Rotation ergeben sich die Rechenregeln wieder aus den allgemeinen Rechenregeln für die partielle Differentiation. Für ein konstantes Feld A = c = const gilt x c = 0 Summenregel: rot(a + B) = x (A + B) = x A + x B Faktorregel: x (aa) = a x A wenn a ein konstanter Faktor ist Produktregel für das Produkt aus einem Skalar- und einem Vektorfeld: rot(ab) = x (AB) = A x B + A x B = A rot B + grada x B. Zusammenfassend: Der Nabla-Operator Aus oben besprochenen Rechenregeln können wir einige grundlegende Regeln für Felder zusammenfassen: Aufgabe 20.1: Begründen Sie die Aussagen Gradientenfelder sind wirbelfrei: rot (grada) = x ( A)= 0 Wirbelfelder sind quellenfrei: div (rota) =. ( x A) = 0 Wirbelfreie Vektorfelder lassen sich als der Gradient eines Skalarfeldes darstellen: rota = x A = 0, A = grade = E Quellenfreie Vektorfelder lassen sich als die Rotation eines anderen Vektorfeldes darstellen: div B =.B = 0, B = rot A = x A

15 Die zweifache Anwendung des Nabla-Operators führt auf den Laplace-Operator Für Kombinationen von Vektorfeldern A(r) und B(r) gelten die folgenden Rechenregeln: Aufgabe 20.2: Weisen Sie wenigstens eine der gerade angegebenen Beziehungen nach. Aufgabe 20.3: Berechnen Sie den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

16 Integralsatz von Gauß Unsere anschauliche Definition der Divergenz führt bei der Summation vieler kleiner Volumenelemente zu A(r) ds S V divadv wobei S die Oberfläche des gesamten (zusammenhängenden) Volumens V ist. Denken Sie daran, dass beim Zusammenfügen vieler kleiner Volumenelemente nur die einhüllende Oberfläche übrig bleibt. Das folgt insbesondere aus der Orientierung der einzelnen Oberflächenelemente. Kontinuitätsgleichung Die Divergenz einer Stromdichte j v mit der (Ladungs- oder Massen-) Dichte benutzt man zur Formulierung einer Kontinuitätsgleichung j 0 t Wir können diese differentielle Formulierung aus der integralen Form m dv j dv dv j ds j ds 0 t t t begründen, da wir schon gesehen haben, dass j ds den Verlust oder Gewinn beim Strömen durch die Oberfläche angibt, der durch eine entsprechende Veränderung im Volumen kompensiert wird. Integralsatz von Stokes Unsere anschauliche Definition der Rotation führt bei der Summation vieler kleiner Flächenelemente zu S rot V ds K V dr K ist die Umrandung der (zusammenhängenden) Fläche S.

17 Konservatives Potentialfeld Ein konservatives Feld zeichnet sich durch Wirbelfreiheit aus V 0 Dann ist das Umlaufintegral K V dr 0 was die Wegunabhängigkeit ausdrückt. 2 3 Aufgabe 20.5: Berechnen Sie x y dx dy zdz K mit K als Schnittkurve zwischen dem Zylinder x y a und der Ebene z = Aufgabe 20.6: Berechnen Sie VdS im Strömungsfeld V x ex y ey z ez durch K die Oberfläche der Kugel x y z a

18 Maxwell Gleichungen der Elektrodynamik Sie sehen im Folgenden die Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik in CGS- Einheiten. Keine Sorge: Sie müssen sie noch nicht im Detail verstehen. Die elektrische Ladungsdichte ist die Quelle des elektrischen Feldes: divd 4 DdA 4 dv V V (Die dielektrische Verschiebung D ist im Vakuum direkt proportional zum Feld E) Das Magnetfeld ist quellenfrei (es existieren keine magnetischen Monopole!): divb 0 BdA 0 V Induktionsgesetz : 1 B rote 0 c t (Die magnetische Induktion B ist im Vakuum direkt proportional zum Feld H) Durchflutungsgesetz : 1 D 4 roth j c t c