Hochschule Düsseldorf University of Applied Sciences. 19. November 2015 HSD. Physik. Energie II

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1 Physik Energie II

2 Arbeit bei variabler Kraft Was passiert wenn sich F in W = Fx ständig ändert? F = k x

3 Arbeit bei variabler Kraft W = F dx

4 Arbeit bei variabler Kraft F = k x W = F dx = ( k x)dx W = F dx = 1 2 kx2 E pot = W = 1 2 kx2

5 Variable Kraft und Energie Hooke sches Gesetz F = k x E pot = 1 2 kx2

6 Arbeit vektoriell Um Arbeit im dreidimensionalen Raum zu definieren muss eine vektorielle Form gewählt werden. Das Skalarprodukt von F und x gibt die Arbeit an und muss über die gesamte Strecke integriert werden. Nur der Anteil von F in Richtung x wird gezählt! W = ~F d~x

7 Konstante Kraft und grader Weg ~F ~ F cos

8 Konstante Kraft und grader Weg W = ~ F cos x ~F x

9 Weg vektoriell A Weg des Objektes d~x B

10 Weg vektoriell A W = ~F d~x d~x B

11 Weg vektoriell A W = ~F d~x d~x B

12 Weg vektoriell A W = ~F d~x Das Skalarprodukt ist die Projektion von dx auf F dh i d~x B

13 Weg vektoriell W = ~F d~x W = = m g ~F d~x = m g dh = m g h ~e y d~x h = X dh i A = h A h B d~x B

14 Weg vektoriell W = ~F d~x = m g Die Arbeit ist unabhängig vom Weg! ~e y d~x = m g dh d~x = m g h A B

15 Konservatives Kraftfeld Wenn die Arbeit gegen eine Kraft unabhängig vom Weg ist nennt man es eine konservative Kraft. Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft. Die Coulomb-Kraft ist eine konservative Kraft Alle fundamentalen Kräfte (also noch schwache und starke Kernkraft) sind konservativ!

16 Arbeit und keine Arbeit

17 Kraft als Ableitung des Potentials W = F dx, F = d dx W W = m g (x x 0 ), F = m g

18 Ableitung vektoriell? W = ~F d~x, ~ F =?? W Erst einmal veranschaulichen...

19 Ableitung vektoriell? W = ~F d~x, ~ F = ~ rw ~r Nabla ist der Ableitungsoperator Nabla

20 Definition Nabla ~r = x, y, z = ~e x x + ~e y y + ~e z z x ist eine partielle Ableitung. Es wird in Richtung x abgeleitet wie eine normale Ableitung. Es wird also die Steigung einer Funktion in x-richtung ermittelt. Dabei werden y und z konstant gehalten, es spielt also nur die Differenz in der x-komponente der Funktion eine Rolle. y z Entsprechend für und.

21 Vektormultiplikation Typ Name Schreibweise Resultat Skalar mal Vektor Produkt mit einem Skalar ~a 0 = c ~a Vektor Vektor mal Vektor Skalarprodukt (inneres Produkt) s = ~a ~b Skalar Vektor mal Vektor Kreuzprodukt (äußeres Produkt) (Vektorprodukt) ~c = ~a ~ b Vektor

22 Vektorielle Ableitungen Typ Name Schreibweise Resultat Nabla mal skalare Funktion Gradient ~rf Vektor Nabla mal Vektorfeld Divergenz ~r ~E Skalar Nabla kreuz Vektorfeld Rotation ~r ~ E Vektor

23 ~rf(x, y, z) = Definition Gradient x, y, z f(x, y, z) = ~e x x f(x, y, z)+~e y y f(x, y, z)+~e z z f(x, y, z) f(x, y, z) x ist eine ahl, deren Größe die Änderung von f in Richtung x wiedergibt. Diese ahl multipliziert mit dem Einheitsvektor in x-richtung zeigt an, wie groß die Änderung in genau diese Richtung ist. Entsprechend für f(x, y, z) und f(x, y, z). y usammen: die Summe der drei Vektoren ist der Gradient. z Der Gradient ist ein Vektor, der in Richtung der stärksten Änderung zeigt.

24 ~F = mg Epot = const. Potentielle Energie als skalare Funktion z A z0 y x E pot = mg (z z 0 ) x E pot =0 y E pot =0 z E pot = mg ~re pot = mg A = ~ F

25 Gradient eines Potentials Der Gradient eines Potentials ist eine Kraft! ~r = ~ F

26 Ruhelage Die Kraft zeigt immer entlang des Gradienten des Potentials. Die Beschleunigung ist immer in Richtung Potential-Minimum. Die Ruhelage ist in einem Minimum, wo der Gradient Null ist.

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