Nabla, Grad, Div, Rot und das Drumherum

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1 Nabla, Grad, Div, Rot und das Drumherum 1. Gradient und Nabla Gezeichnet ist ein usschnitt aus einer Landkarte mit zwei Gipfelanstiegen auf den Dôme du Goûter (4305 m). Der ergsteiger Otto Weichei plant vom Lager aus zu gehen, weil dieser Weg flacher ist, während Sepp einhart den steileren Weg vom Lager aus bevorzugt (weil er glaubt, so schneller zu sein). Daneben ist das Höhenprofil f(s) gezeichnet, das die beiden ergsteiger dabei zurücklegen y Höhe f 4300 m 4200 m 4100 m Gipfel 4000 m 3900 m 3800 m Weg s x Sepp einhart hat den kürzeren Weg, weil er sich immer diejenige Richtung mit dem steilsten nstieg aussucht. Mathematisch ausgedrückt: der sucht sich den größten Wert der Steigungen in x- und y-richtung. Diese Richtung nennt man den Gradienten. Dieser ist ein Vektorfeld, d.h. kann in jedem Punkt verschieden sein nach etrag und Richtung. In der Landkarte sind diese Gradienten als Vektoren (=nach etrag und Richtung) an ein paar Stellen exemplarisch eingezeichnet (übrigens: Sie stehen senkrecht auf den Höhenlinien und sind umso länger, je kürzer der bstand der Höhenlinien ist, d.h. je steiler der Weg ansteigt). us dem Maßstab der Landkarte und dem bstand zweier Höhenlinien kann man die Steigung ausrechnen. Übungsaufgabe 1: Wie groß ist die mittlere Steigung (in %) für Otto bzw. Sepp? Übungsaufgabe 2: Zeichnen Sie die Gradienten bei Lager bzw. ein (als Vektorpfeile) 1 km bstand zweier Höhenlinien = 25 m Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 1

2 In zwei Koordinaten definiert man den Gradienten grad f einer Funktion f (x,y) als: f x, y x grad f f x, y f x, y y Merke: Der Gradient einer skalaren Funktion f ist ein Vektorfeld Im allgemeinen Fall für drei Koordinaten gilt: f x, y, z x f x, y, z grad f f x, y, z y f x, y, z z Man kann dies auch formal schreiben als die Einwirkung des sog. Nabla-Operators auf die x skalare Funktion f (x,y,z), wobei mit Nabla = y gemeint ist. z Rechenaufgabe: Gegeben ist eine Funktion f (x,y,z) = x 2 +y 2-3z 3 a. Schreiben Sie den Gradienten allgemein an b. Welchen Wert hat grad f an der Stelle x=0, y=0, z=0? Denksportaufgabe: Welchen Weg auf den Dôme du Goûter hätten Sie gewählt und welcher Weg ist schneller??? Warum sollte man überhaupt rauf gehen? Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 2

3 2. Die Divergenz Vorweg verraten: Die Divergenz hat etwas damit zu tun, ob es für irgendeine (Vektor)-Größe irgendwo Quellen oder Senken gibt. Zwei Schleusenwärter am Rhein-Main-Donau- Kanal messen sorgfältig den Volumendurchfluss Q (in m 3 /Std) durch die (identischen) Querschnittsflächen. Sie messen den gleichen Wert Q = v mit der Strömungsge- Schleuse 1 Schleuse 2 schwindigkeit v. Sie stellen zufrieden fest: Was links in den Schleusenabschnitt hereinfließt, kommt auch rechts wieder raus! Solch ein Strömungsfeld bezeichnet man in der Physik als quellenfrei. Die beiden Schleusenwärter sollen überprüfen, ob irgendwo Wasser verloren geht oder dazukommt und legen hierzu ein enges eobachtungsnetz an Sensoren um ihre Schleusen herum (der Physiker würde sagen: ein Testvolumen mit einer Oberfläche ) Q 1 Q 2 rein raus Die Schleusenwärter zählen alles als negativ, was in die Testfläche hineinfließt und alles als positiv, was heraus fließt. Sie stellen zufrieden fest: Q 1 = -Q 2 bzw. Q i = v = 0 Ein Physiker/Mathematiker schreibt diese Summe etwas formaler als Integral über alle möglichen Teilflächen d: vd 0 d bedeutet dabei einen Vektor vom etrag d, der senkrecht auf der kleinen Fläche d steht Vektor v d ist also das Skalarprodukt dieser beiden Größen v und d, und beschreibt diejenige Komponente der Strömung, die senkrecht zur Fläche d fließt. Fläche d nun etwas genauer: Der Schleusenwärter 1 behauptet: Tolles Ergebnis: wir verlieren nichts und es kommt nichts dazu!. Der misstrauischere Schleusenwärter 2 meint aber: vielleicht haben wir innerhalb des Kanals einige Quellen und gleich viele Senken und merken das bloß nicht? Nun konstruieren beide ein neuartiges Messgerät, ein Divergenzmeter. Das ist auch so eine kleine geschlossene Testfläche mit der man überprüfen kann, ob gleich viel rein fließt wie raus fließt (nur eben sehr klein). Damit überprüfen die beiden im gesamten Kanal, ob irgendwo Quellen und Senken sind. Divergenzmeter Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 3

4 Man untersucht also mit einem immer kleineren Testvolumen, ob es einen Nettofluss durch die Oberfläche gibt und bezeichnet das ganze als Divergenz oder Quellstärke. 1 (Ein Physiker würde hinschreiben: div v lim vd V 0 V, also Nettofluss Q pro (kleinem) Volumen V ) Quellenfeld quellenfreies Feld Divergenz = 0 bedeutet immer eine lokale Erhaltungseigenschaft ( es geht nichts verloren, es kommt nichts dazu) Sind Sie neugierig, wie das Divergenzmeter funktioniert?? Im Prototyp funktioniert es nur in einer Dimension: v 1 x x+dx v 1 +dv Das Gerät besitzt vorne (also am Ort x) und auch hinten (also am Ort x + dx) je einen Sensor für die Wassergeschwindigkeit v 1. Wenn sich innerhalb des Gerätevolumens V = dx eine Wasserquelle dq befindet, fließt das Wasser hinten schneller raus als es vorne reinkommt: dv dq = (v 1 +dv 1 ) v 1 = dv 1 1 dv1 = dx V dx dx Damit misst das Gerät die Divergenz = die Quellstärke, d.h. den Nettofluss Q pro (kleinem) Volumen V : v div v = d 1 dx Ein professionelles Divergenzmeter misst natürlich in drei Dimensionen: v v x y z 1 2 v div v = 3 v (=Skalarprodukt von Nabla und v) Die Schleusenwärter summieren über alle Divergenzen (=über alle volumenbezogenen Nettoflüsse) auf und erhalten das schon zu eginn gemessene Gesamtergebnis Q vd 0 (Physiker formulieren das so: Summiere alle einzelnen (kleinen) Nettoflüsse div v in einem großen Testvolumen V auf und man erhält das, was netto durch die große Gesamtoberfläche noch hindurchgeht. Man nennt das dann Gaußschen Satz : div v dv vd V Fazit: Die Schleusenwärter am Kanal kennen vielleicht Hr. Gauß nicht, aber sie können mit Divergenzen umgehen! Schleusenwärter müsste man sein. Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 4 ges

5 3. Die Rotation Vorweg verraten: Die Rotation hat etwas damit zu tun, ob ein Wasserrad bei einer alten Mühle funktioniert. Der alte Fährmann Vasudeva fährt seine tägliche Strecke D und beobachtet, dass er dabei keine wirkliche rbeit verrichten muss, weil er ja auf der Streck rbeit gewinnt, die er auf der Strecke D wieder aufwenden muss. (Das gilt zwar nur im physikalischen Sinn, aber Vasudeva ist alt und abgeklärt genug, um das zu akzeptieren.) D Er probiert das auf ganz verschiedenen Wegen aus, aber kommt immer zur gleichen Erkenntnis: Gesamtarbeit = 0. (Ein Physiker würde sagen: Gesamtarbeit = F dr = 0, das Strömungsfeld ist konservativ ) Weg Nun baut sich der alte Fährmann Vasudeva ein kleines Wasserrad und will damit etwas Energie gewinnen. Er setzt das Rad mit einer chse senkrecht zur Wasseroberfläche ein und bemerkt, dass es sich leider nicht dreht, egal wo er es platziert. (Ein Physiker würde etwas lasch formulieren: Es rotiert nicht, die Rotation des Strömungsfeldes ist Null ) Nun zieht der Fährmann Vasudeva weiter an einen ganz anderen Fluss (mit einer stärkeren Strömung in der Mitte) und bemerkt, dass dort alles anders ist: Hier ist die Gesamtarbeit auf einem geschlossenen Weg nicht mehr Null, die Wasserräder drehen sich in der Mitte der Strömung zwar immer noch nicht, aber oben und unten drehen sie sich in verschiedene Richtungen. (Ein Physiker würde sagen: Hier ist die Rotation des Strömungsfeldes ungleich Null ) Vasudeva wird nun ehrgeizig (er hat ja viel Zeit zum Meditieren ) und denkt darüber nach, ob er den rbeitsaufwand auf einem geschlossenen Weg nicht besser beschreiben kann. Vielleicht gibt es ja Stellen im Fluss, wo man auf einer kleinen geschlossenen Linie besonders viel rbeit aufwenden muss und anderen Stellen besonders wenig??) Er sucht sich dazu seine Standardstrecke D aus und teilt sich diese Strecke in zwei kleinere Strecken jeweils nur bis zur Flussmitte (die Fahrgäste bleiben allerdings dann aus, weil nie einer ganz rüber kommt ) F H E G D Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 5 D

6 Vasudeva ist schlau und hat bemerkt, dass sich die eiträge zur rbeit auf den Strecken EF und HG sicher aufheben. Diesen Trick baut er immer weiter aus: Er fährt immer kleinere Runden und probiert aus, wie viel rbeit er dabei noch verrichten muss (pro umfahrener Fläche). Er untersucht also mit immer kleineren Testflächen, wie groß die zu verrichtende rbeit Fds auf einer geschlossenen ahn ist und bezeichnet das ganze als Rotation. 1 (Ein Physiker würde hinschreiben: rot F n = lim 0 F dr,, also Nettoarbeit auf geschlossener ahn bei sehr kleinen ahnflächen.) Zur Kontrolle summiert der Fährmann Vasudeva flächenmäßig über alle Rotationen (=über alle flächenbezogenen Nettoarbeiten) auf und erhält die schon zu eginn erhaltene Gesamtarbeit auf einem großen Weg. Man nennt das dann Stokesschen Satz : S rot F d = F dr Nachdem Vasudeva nicht so gut in Mathematik ist, kauft er sich eine gute Formelsammlung und findet für rot F in kartesischen Koordinaten folgende Formel: F3 F2 y z F1 F3 rot F z x F2 F1 x y ls Merkregel ist eine Determinante günstig: oder das Kreuzprodukt: rot F F e e e rot F x y z F F F Das wird dem armen Fährmann dann doch zu viel Mathematik, er hat ja schließlich kein Hochschulstudium geplant. Er widmet sich daher wieder seinem Job als Fährmann. Fazit: Fährmann müsste man sein und wenn Sie mehr über Vasudeva erfahren und nicht dauernd Physik lernen wollen, lesen Sie mal Siddartha von Hermann Hesse! Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 6

7 Übung 1: Testen Sie sich: 2 2 erechnen Sie den Gradienten des skalaren Feldes f x, y x y an der Stelle r (Ergebnis:( 2 4 )) Übung 2: bei r erechnen Sie die Divergenz von v xy, xz, x 2 yz 2 (Ergebnis:14) Übung 3: erechnen Sie die Rotation für: v xy, xz, x 2 yz 2 8 (Ergebnis: ( 36) ) 2 1,2,3 T bei r 1,2,3 T 1,2 T Übung 4: Drei dieser Felder haben rot = 0, vier dieser Felder haben div = 0. Welche?? Lösungen finden Sie übrigens in erkeley Physik, d.2 (diese ücher sollte man als Student schon mal gesehen haben ) D E F Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 7

8 Zusammenfassung nach Unterlagen von Prof. Dr. Sachs (FK06) x x Sei: r : y bzw. r : ein Ortsvektor im Raum oder einer Ebene y z Dann kann man jedem Punkt r eine Zahl z.. f r x y z bzw. f r oder einen Vektor x z F r zy x 2 2 z x Fr zuordnen: eispiele: Temperaturfeld, Potenzial eispiele: Kraftfeld, magn. Feld, Geschwindigkeitsfeld einer Strömung Def. des sog. Nabla-Operators: dies ist ein symbolischer oder formaler Vektor Damit kann man definieren: grad ( Gradient ), div ( Divergenz ), rot ( Rotation ) und ( Delta bzw. Laplaceoperator) grad f(r ) ( f(r ) x f(r ) y f(r ) z ) bzw. f(r ) Produkt von und f der Operator grad erzeugt aus einem skalaren Feld ein Vektorfeld div F (r ) F 1 + F 2 + F 3 x y z bzw. F (r ) Skalarprodukt von und F F3 F2 y z F1 F3 rot F r : bzw. = F r z x F2 F Kreuzprodukt von und F 1 x y f r f r f r f r : bzw. = f r x y z der Operator div erzeugt aus einem Vektorfeld ein skalares Feld der Operator rot erzeugt aus einem Vektorfeld wieder ein Vektorfeld der Operator erzeugt aus einem skalaren Feld wieder ein skalares Feld Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 8

9 symbolisch: grad Skalare Felder Vektor- Felder rot div Rechenregeln: Linearität: grad f g grad f grad g und: grad f grad f div(f + G ) = div F + div G und: div (λ F ) = λ div F rot(f + G ) = rot F + rot G und: rot (λ F ) = λ rot F Produktregeln: div f F grad f F f div F rot f F grad f F f rot F wiederholte nwendungen: rot (grad f )=0 Gradientenfelder sind wirbelfrei div rot F 0 Rotationsfelder sind quellenfrei div grad f f F1 rot rot F grad div F F2 F 3 Definition des Laplaceoperators Texte bzw. eweise hierzu finden Sie bei 1. Meyberg, Vachenauer, Höhere Mathematik I, Seite im Skript von Prof. Sachs 3. Merziger, Repetitorium der höheren Mathematik nsonsten finden Sie Infoblätter/Skripten etc von Prof. Herberg unter: Prof. Dr. H. Herberg und Prof. Dr. M. Sachs, HM, FK06, WS 13/14 9