Nomenklatur. Frank Essenberger FU Berlin. 20. September

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1 Nomenklatur Frank Essenberger FU Berlin 20. September 2006 Inhaltsverzeichnis Vektorrechnung. Vektoren x Matrixprodukt x M Inneres Produkt x z Betrag x x Dyadenprodukt x z Projektionen P a Kreuzprodukt x z Transponieren M T Ableitungen 4 2. Nablakalkül Gradient x ) Divergenz A ( x ) Rotation A ( x ) Zeitableitung t Vektorrechnung Die Idee hinter dieser Nomenklatur ist, dass man die unterschiedlichen Produkte nicht durch verschiede Operatoren kenntlich macht, sondern durch die Pfeilrichtung der Vektoren zeigt ob es sich um ein Skalar oder Dyadenprodukt handelt. Das Kreuzprodukt wird aber wie gewohnt durch ein von den anderen Produkten abgehoben.

2 . Vektoren x Hier wird stark zwischen Spalten- und Zeilenvektor unterschieden. So meint: ( ) x = x x 2 x 3 und x = x.2 Matrixprodukt x M Hier muss auf die richtige Seite geachtet werden (über doppelte Indizies wird summiert): ( ) m m 2 m 3 x M = x x 2 x 3 m 2 m 22 m 23 = ( ) x i m i x i m i2 x i m i3. m 3 m 32 m 33 Dies macht auch vom Format her Sinn, denn x M ist eine 3 Matrix mal einer 3 3 Matrix. Dementsprechen ergibt sich eine 3 Matrix. Also wie erwartet der Zeilenvektor. Für den Spaltenvektor gilt: M x = m m 2 m 3 m 2 m 22 m 23 x x 2 = x im i x i m 2i m 3 m 32 m 33 x 3 x i m 3i Hier ist: = 3. Es kommt also wieder ein Spaltenvektor heraus..3 Inneres Produkt x z Das innere Produkt oder Skalarprodukt ergibt sich, wenn man zwei Vektoren mit auf einander zeigenden Pfeilen multipliziert. Es entsteht ein Skalar: x ( z = x x 2 ) x 3 z z 2 = x i z i. z 3 Mit etwas tricksen lässt sich das innere Produkt auch in eine Winkelschreibweise umformen: x z = xi z i = 2 [x ix i + z i z i x 2 x 3 3 (x i z i ) 2 ] = 2 [x2 + z 2 ( x z ) ]. Mit dem Kosinussatz ( x z ) = x 2 + y 2 2xzcos(γ) ergibt sich: i= 2 [x2 + z 2 x 2 y 2 + 2xzcos(γ)] = x z cos(γ). () Dies ist das kanonische Skalarprodukt im euklidischen Vektorraum. 2

3 .4 Betrag x x Der Betrag eines Vektors x wird über häufig über das Skalraprodukt bestimmt, dies ist einfach die naheliegende Definition:.5 Dyadenprodukt x z Norm( x ) 2 =x 2 = x x Wenn man zwei Vektoren mit entgegengesetzten Pfeilen multipliziert geht das mit dem Dyadenprodukt. Es entsteht eine Matrix. Dies ist wie folgt definiert: x x z = x 2 (z ) x z x z 2 x z 3 z 2 z 3 = x 2 z x 2 z 2 x 2 z 3 x 3 x 3 z x 3 z 2 x 3 z 3.6 Projektionen P a Mit dem Dyadenprodukt kann man ganz leicht einen Projektionsoperator erzeugen. Abbildung : Vektorprojektion Wenn man a auf b projezieren will dann bildet man einfach den den Projektionsoperator P : P = b b b 2. Und multiplizert mit dem Vektor a : Mit Gleichung () ergibt sich: a = a P = b b a b 2 = a b b b 2 = b b b a b cos(γ) b 2 = a cos(γ) b = a cos(γ) b = a b 0 Man erhält also einen Vektor der Länge a cos(γ), der in Richtung des Einheitsvektors b o zeigt. Also die Projektion von a auf b. 3

4 .7 Kreuzprodukt x z Das Kreuzprodukt verknüpft zwei Vektoren so, dass wieder ein Vektor entsteht. Dieser steht senkrecht auf den beiden Ursprungsvektoren: x z x 2 z 3 x 3 z 2 x z = x 2 z 2 = x 3 z x z 3 x 3 z 3 x z 2 x 2 z Kompakt lässt sich die i-komponente als ɛ ijk x j z k schreiben, wobei ɛ ijk das Levi-Civita Symbol ist:.8 Transponieren M T 0 wenn zwei Indizes gleich sind ɛ ijk := bei ijk = {23; 23; 32} bei ijk = {32; 23; 32}. Beim Transponieren werden alle Pfeile umgedreht, die Matrixelemente an der Hauptsachse gespiegelt und die Reihenfolge der Faktoren vertauscht. Zum Beispiel ist: T ( x M ) T = M T m m 2 m 3 x x T = m 2 m 22 m 23 x 2 = m 3 m 32 m 33 x 3 m m 2 m 3 x x i m i x i m i m 2 m 22 m 32 x 2 = x i m i2 x i m 2i = ( x M ) T. m 3 m 23 m 33 x 3 x i m i3 x i m 3i Die Gleichung: ( x M ) T = ( x M ) T ist nur dann erfüllt, wenn M = M T ist. 2 Ableitungen 2. Nablakalkül Dieser Vektor meint in kartesischen Koordinaten Folgendes: = x y z = x y z = Die Kurzform für x ist einfach xund für x, y, z wird einfach x, x 2, x 3 geschrieben. Er wirkt immer auf den Faktor rechts neben ihm, unabhängig von der Pfeilrichtung. x x2 x3 4

5 2.2 Gradient x ) Hierbei wird aus einer skalaren Funktion Φ( x ) eine Vektorfunktion. Zum Beispiel ist so der Zusammenhang zwischen Potential Φ( x ) und Kraft F ( x ) gegeben: F ( x ) = x ). Für ein häufiges r Potential ergibt sich: F ( x ) = Φ( x ) = r = x2 + y 2 + z = (x 2 +y 2 +z 2 ) ( 0.5) = 2 x (x 2 + y 2 + z 2 ) ( 0.5) 0.5(x 2 + y 2 + z 2 ) (.5) 2x y (x 2 + y 2 + z 2 ) ( 0.5) = 0.5(x 2 + y 2 + z 2 ) (.5) 2y = z (x 2 + y 2 + z 2 ) ( 0.5) 0.5(x 2 + y 2 + z 2 ) (.5) 2z x (x 2 + y 2 + z 2 ) (.5) y = z ( x x = x 2 + y 2 + z 2 ) 3 r Divergenz A ( x ) Hierbei wird das Skalarprodukt zwischen und einer Vektorfunktion A ( x ) gebildet. Häufig wird die Divergenz auch als Quellstärke bezeichnet und ein Feld mit A ( x ) = 0 nennt man quellfrei. Außerdem spielt die Divergenz auch beim Satz von Gauß (hier partielle Form) eine Rolle. Z.B wir die Stromdichte j ( x ) mit der Zeitableitung der Ladungsdichte ρ( x ) verknüpft: j ( x ) + ρ( x ) = 0 Dies ist eine häufig genutzte Kontinuitätsgleichung 2.4 Rotation A ( x ) Hierbei wird das Kreuzprodukt zwischen und einer Vektorfunktion A ( x ) gebildet. Physikalisch ist dies die Wirbelstärke eines Feldes. Ein Feld bei dem gilt: A( x ) = 0, ist wirbelfrei. Wichtig ist die Eigenschaft, dass Feld ist ein Gradientenfeld Feld ist wirbelfrei Feld ist Konservativ ist. Zuerst x ) = 0 : Φ( x ) i Komponente = ɛ ijk j k Φ( x ) = ɛikj j k Φ( x ). Da die Ableitungen vertauschbar sind ergibt sich: ɛ ikj j k Φ( x ) = ɛijk k j Φ( x ). (2) 5

6 Nun noch auf der rechten Seite j und k vertauschen. Dies darf man, da die Indizes am ɛ ijk k j x ) = ɛikj k j x ) beliebig sind. Damit folgt für Gleichung (2): ɛ ikj j k x ) = ɛikj k j x ). ɛ ikj k j x ) = 0 x ) = 0 Das wirbelfreie Felder konservativ sind sieht man schnell mit dem Satz von Stokes. Konservativ heißt, dass geschlossen Arbeitsintegrale meint Wegintegrale) 0 sind: d l A ( x ) =! 0. Kurve Nun mit dem Satz von Stokes umschreiben: d l A( x ) = d S ( A ( x )) = 0 Kurve Oberflche }{{} =0 2.5 Zeitableitung t hierbei gibt es nur zu sagen, dass t mit t verkürzt wird um Raum und Zeit zu sparen. 6