Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

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1 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren Produktes von zwei Vektoren entsprechen. Sei F = F 2 F 3 ein Vektorfeld. Dann heißt F = div F die Divergenz von F F = rot F die Rotation von F. Dementsprechend ist F = div F = ein Skalarfeld. F = rotf = e 1 e 2 e 3 F 2 F 3 = F 3 F 2 F 3 F 2 = ( F 3 F 2 ) e 1 + ( F 3 ) e 2 + ( F 2 ) e 3 = ist ein Vektorfeld. Wir erwähnten vorher, dass F nda den Fluß von F durch das Flächenelement da bezeichnet. Damit wollen wir nun den Nettodurchfluß durch ein vorgegebenes Volumen bestimmen. Wir wählen um einen Punkt P (x 1, x 2, x 3 ) einen kleinen Quader mit den Seitenlängen dx 1, dx 2, dx 3 und berechnen den Durchfluß bezüglich aller drei Raumrichtungen. 1

2 In x 1 -Richtung liegt die Eintrittsfläche dx 2 dx 3 (mit Normalenvektor e 1 ) bei x 1 dx 1 2, die Austrittsfläche bei x 1 + dx 1 2. Als Nettoabfluß (Abfluß minus Zufluß) ergibt sich [ F (x1 + dx 1 2, x 2, x 3 ) e 1 F ] (x 1 dx 1 2, x 2, x 3 ) e 1 dx 2 dx 3 = [ F1 (x 1 + dx 1 2, x 2, x 3 ) (x 1 dx 1 2, x 2, x 3 ) ] dx 2 dx 3 = (x 1,x 2,x 3 ) dx 2 dx 3 dx 1 wobei (x 1 ± dx 1 2, x 2, x 3 ) durch seine Taylor-Entwicklung 1. Ordnung approximiert wurde. Die Betrachtung der anderen Flächen liefert schließlich Nettoabfluß von F (x 1, x 2, x 3 ) = div F dx 1 dx 2 dx 3 Der Nettoabfluß ist also Null, wenn innerhalb des Volumselementes dx 1 dx 2 dx 3 keine Quelle oder Senke liegt, - dann fließt ebenso viel ab wie zu. Bemerkung. Die Divergenz eines Vektorfeldes ist also ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Gilt divf = 0, dann heißt das Vektorfeld F quellenfrei. Beispiel. Betrachte ein Geschwindigkeitsfeld v = ω x, wobei ω ein konstanter Vektor ist. Dieses Vektorfeld beschreibt eine Drehung mit Drehachse ω und Winkelgeschwindigkeit ω. Dann ist ω x = (ω 2 x 3 ω 3 x 2, ω 3 x 1 ω 1 x 3, ω 1 x 2 ω 2 x 1 ) und folglich div v = 0. v ist also quellenfrei. 2

3 Eine besondere Anwendung des Differentialoperators ergibt sich durch Bildung der Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes Φ(x 1, x 2, x 3 ). div gradφ = Φ = Φ heißt Laplace-Operator und kommt in zahlreichen Gleichungen der Physik vor, etwa der Wellengleichung. Im R 3 mit kartesischen Koordinaten gilt Φ(x 1, x 2, x 3 ) = 2 Φ Φ Φ 3, also = Bemerkung. Der Nabla-Operator (wie auch der Laplace-Operator) ändern ihre Gestalt, wenn andere Koordinatensysteme betrachtet werden. Die Bedeutung der Rotation kann folgendermaßen veranschaulicht werden: ist v das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung und rot v 0, dann treten Drehbewegungen auf, d.h. ein Korken im Strömungsfeld wird sich drehen. In anderen Zusammenhängen spricht man auch von einer Wirbelbildung. Deshalb werden Vektorfelder mit nichtverschwindender Rotation auch Wirbelfelder genannt. Beispiel 1. v(x 1, x 2, x 3 ) = (0, x 1, 0) Hier wächst der Impuls der strömenden Flüssigkeit mit wachsenden Werten von x 1. Die Rotation ist überall konstant und weist in x 3 -Richtung. rot v = (0, 0, 1) 3

4 Beispiel 2. v(x 1, x 2, x 3 ) = (0, sin x 2, 0) (bzw. v(x 1, x 2, x 3 ) = (0, f(x 2 ), 0)) Hier ändert sich die x 2 -Komponente mit dem Wert von x 2, und damit ändert sich auch der Betrag der Geschwindigkeit. Dennoch entsteht keine Drehbewegung, denn es gilt rot v = 0. Beispiel 3. v = ω x mit ω = ω 0 (0, 0, 1). Damit ist v = ω 0 ( x 2, x 1, 0). Dies beschreibt die Geschwindigkeit einer Rotationsbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω 0. Es gilt div v = 0 und rot v = (0, 0, 2ω 0 ) = 2 ω 0 Sei nun F ein Gradientenfeld, d.h. es existiert eine Skalarfunktion Φ mit F = gradφ = (,, ). Dann ist rot F = ( 2 Φ 2 Φ, 2 Φ 2 Φ, 2 Φ 2 Φ ). Ist Φ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt offenbar rot gradφ = 0, bzw. ( Φ) = 0. Konservative Vektorfelder sind also wirbelfrei. 4

5 Auf eine ebenso einfache Weise kann eine weitere wichtige Eigenschaft gezeigt werden ( F zweimal stetig differenzierbar): div rot F = ( F ) = 0 Rechenregeln. Diese können durch Auswerten von linker und rechter Seite relativ leicht verifiziert werden. Erwähnt sei dabei ein weiterer Differentialoperator, der aus einem Vektorfeld F und dem Nabla-Operator gewonnen werden kann: ( F ) = Dieser Operator wirkt auf eine Skalarfunktion Φ mittels ( F )Φ = und auf eine Vektorfunktion G mittels ( ( F ) G F )G 1 = ( F )G 2 = ( F )G 3 G 1 G 1 G 1 G 2 G 2 G 2 G 3 G 3 G 3 Der Laplace-Operator ist ebenfalls für Vektorfunktionen F komponentenweise erklärt durch F = F 2 F 3 (ΦF ) = Φ F + Φ( F ) (ΦF ) = Φ F + Φ( F ) ( F G) == G ( F ) F ( G) ( F G) = ( G) F ( F ) G + ( G ) F ( F ) G ( G) = ( G) G 5

6 Wir betrachten nun ein konservatives Kraftfeld F mit Potenzial Φ, wobei wir annehmen, dass Φ(x 1, x 2, x 3 ) zweimal stetig differenzierbar ist. Dann gilt F i = x i i, j = 1, 2, 3. für i = 1, 2, 3, und weiters F i x j = 2 Φ x i x j = F j x i Diese Bedingungen heißen allgemein Integrabilitätsbedingungen und bedeuten im R 3 genau, dass rot F = 0. Unter gewissen Voraussetzungen (im Falle sogenannter einfach zusammenhängender Gebiete) gilt auch die Umkehrung: ist rot F = 0 dann ist F ein Gradientenfeld. für Beispiel. Sei F = (2x1, x 3, x 2 ). Wie man sich leicht überzeugt, ist rot v = 0, also liegt eine konservative Kraft vor. Für die gesuchte Skalarfunktion Φ(x 1, x 2, x 3 ) gilt Integration nach x 1 liefert: Φ = x φ(x 2, x 3 ). = = 2x 1. Wegen = F 2 = x 3 gilt dann φ = x 3, und damit φ(x 2, x 3 ) = x 2 x 3 + ψ(x 3 ) bzw. Φ = x x 2 x 3 + ψ(x 3 ) Aus = F 3 = x 2 folgt dann x 2 + ψ (x 3 ) = x 2, mithin ψ (x 3 ) = 0 und ψ(x 3 ) = c. Also ist Φ(x 1, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 + c. Bemerkung. Im Falle einer konservativen Kraft F kann die gesuchte Skalarfunktion Φ auch durch Auswertung eines Linienintegrals gewonnen werden. Es ist ja Φ(x 1, x 2, x 3 ) Φ(a, b, c) das Arbeitsintegral entlang eines Weges von (a, b, c) nach (x 1, x 2, x 3 ). Wählen wir im obigen Beispiel (a, b, c) = (0, 0, 0) und als Weg von (0, 0, 0) nach (x 1, x 2, x 3 ) die drei Geradenstücke C 1 : t (tx 1, 0, 0) 0 t 1 (von (0, 0, 0) nach (x 1, 0, 0)) 6

7 C 2 : t (x 1, tx 2, 0) 0 t 1 (von (x 1, 0, 0) nach (x 1, x 2, 0)) C 3 : t (x 1, x 2, tx 3 ) 0 t 1 (von (x 1, x 2, 0) nach (x 1, x 2, x 3 )) Dann ist Φ(x 1, x 2, x 3 ) Φ(0, 0, 0) = = 1 t=0 2tx 1 x 1 dt + 1 t=0 0 x 2 dt + 1 t=0 x 2 x 3 dt = x x 2 x 3. 7