Theoretische Physik: Mechanik

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1 Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2017 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Merlin Mitschek und Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Differentiation und Integration von Vektoren Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Bahnkurven Zylinderkoordinaten Kugelkoordination Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Divergenz Rotation Linienintegrale Newton sche Axiome 6 3 Eindimensionale Bewegung 8 4 Erhaltungssätze Impulserhaltung Drehimpulserhaltung Energieerhaltung Arbeit Konservative Kräfte Energieerhaltungssatz Technische Universität München 2 Fakultät für Physik

3 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Differentiation und Integration von Vektoren Gegeben sei ein Vektorfeld: A(u) = Die Ableitung ist dann: A x (u) A y (u) A z (u) = A x (u) e x + A y (u) e y + A z (u) e z (1) da(u) du ( dax (u) = du, da y(u) du, da ) z(u) du (2) Und das Integral: ( du A(u) = du A x (u), du A x (u), ) du A z (u) (3) 1.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren Veränderlichen Gegeben sei eine Funktion f(x i ), mit i = 1, 2, 3. Die partielle Ableitung nach i ist wie folgt definiert: f(x i ) x i (4) Bei der partiellen Differentiation werden alle Variabeln außer x i festgehalten und nach x i abgeleitet. 1.3 Bahnkurven Die Dynamik eines Teilchens in Raum und Zeit wird durch eine Bahnkurve: r(t) = x(t) y(t) z(t) beschrieben. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind wie folgt definiert: (5) v(t) = dr(t), a(t) = dv(t) = d2 r(t) dt dt dt 2 (6) Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Der Tangentenvektor einer Bahnkurve ist der normierte Geschwindigkeitsvektor T = v(t) v(t) (7) Abbildung 1: Abbildung 1: Bahnkurve in 3 Dimensionen Die Länge einer Bahnkurve (genauer, die Länge des Abschnittes von t 0 bis t) wird über die Bogenlänge formalisiert: s(t) = t t ds = dr = t 0 t 0 t t 0 dt dr t dt = dt v(t) (8) t 0 Da in der theoretischen Mechanik viele Probleme auf ein Zentralkraftproblem zurück geführt werden können, ist es in diesen Fällen oft sinnvoll in andere (krummlinige) Koordinatensystem zu wechseln Zylinderkoordinaten Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Zylinderkoordinaten wie folgt: x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z Somit ergibt sich für den Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung: Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 r = ρ e ρ + z e z v = ρ e ρ + ρ ϕ e ϕ + ż e z a = ( ρ ρ ϕ 2 ) e ρ + (ρ ϕ + 2 ρ ϕ) e ϕ + z e z Hierbei sind die Einheitsvektoren wie folgt definiert: e ρ = cos ϕ sin ϕ 0, e φ = sin ϕ cos ϕ 0, e z = (9) Kugelkoordination Die kartesischen Koordinaten transformieren sich in Kugelkoordinaten wie folgt: x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ Analog zu den Zylinderkoordinaten ergeben sich neue Darstellungen für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: r = r e r v = ṙ e r + r θ e θ + r sin θ ϕ e ϕ a = ( r r θ 2 r sin 2 θ ϕ 2 ) e r + (r θ + 2ṙ θ sin θ cos θ ϕ 2 ) e θ + (r sin θ ϕ + 2 sin θṙ ϕ + 2r cos θ θ ϕ) e ϕ Wobei die Einheitsvektoren wie folgt definiert sind: e r = cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ, e θ = cos φ cos θ sin ϕ cos θ sin ϕ, e φ = sin ϕ cos ϕ 0 (10) 1.4 Vektorielle Differentialoperatoren Gradient Gegeben sei ein Skalarfeld Φ(x, y, z). Der Gradient ist wie folgt definiert: ( Φ(x, y, z) grad Φ(x, y, z) = Φ(x, y, z) =, x Φ(x, y, z), y ) Φ(x, y, z) z (11) Der Gradient eines Skalarfeldes steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen (Φ(x, y, z) = const). Bestimmt man den Gradienten in einem beliebigen Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ), dann zeigt dieser in Richtung des steilsten Aufstiegs bzw. Abstiegs. Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 1.4.2 Divergenz Einem differenzierbaren Vektorfeld A(r) = ((A x (x, y, z), A y (x, y, z), A z (x, y, z)) kann man dessen Divergenz zuordnen, welche wie folgt definiert ist: div A(r) = A(r) = A x x + A y y + A z z (12) Die Divergenz misst den lokalen Fluss des Vektorfeldes A(r) aus kleinen Volumina Rotation Für ein Vektorfeld kann man des Weiteren die Rotation oder Wirbeldichte definieren: rot A(x, y, z) = A(x, y, z) (13) ( Az = y A y z, A x z A z x, A y x A ) x (14) y Die Rotation misst die lokale Drehrate bzw. Wirbeldichte des Vektorfeldes. 1.5 Linienintegrale Das Wegintegral einer Kraft F (r) zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 ist die Arbeit bzw. Energie, die bei der Bewegung zwischen diesen zwei Punkten aufgewendet bzw. frei wird. Das Integral berechnet sich folgendermaßen: A = P2 P2 t2 drf (r) = (dx F x + dy F y + dz F z ) = dt ṙ F (r) (15) P 1 P 1 t 1 mit der Leistung N = ṙ F (r). 2 Newton sche Axiome In der Mechanik werden als Grundgesetze die Newtonschen Axiome erfüllt: 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich ein Massenpunkt im kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. 2. Axiom: Die Änderung des Impulses ist der Einwirkung einer Kraft proportional und geschieht in Richtung der Kraft. F = m dv dt = ma Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 3. Axiom: Für Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben gilt: F 12 = F 21 - actio gleich reactio 1. Zusatz: Die Kräfte, die zwei Massenpunkte aufeinander ausüben, wirken in Richtung der Verbindungslinie: (r 1 r 2 ) F 12 = 0 2. Zusatz: Wirken mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt, so summieren sich die Kräfte zu einer Gesamtkraft. F = i F i Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 3 Eindimensionale Bewegung In der Mechanik werden wir uns auf Kräfte beschränken, die nur von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens abhängen, also: Die Standardprobleme der Mechanik sind: F = F (r(t), ṙ(t), t) (16) Kräftefreie Bewegung: mẍ = 0 Bewegung im Gravitationsfeld: mẍ = mg Bewegung im Schwerefeld mit Reibung: mẍ = kx γẋ Freie gedämpfte Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ Erzwungene Schwingung: mẍ = kx 2mλẋ + F (t) Die allgemeine Bewegungsgleichung einer Kraft, die nur vom Ort abhängt, lautet: mẍ = F (x) (17) Multipliziert man nun beide Seiten mit ẋ(t) und führt ein Potential U(x(t)) ein, für das gilt : F (x(t)) = du(x(t)) dx (18) somit erhält man: mẋ(t)ẍ(t) = 1 2 mẋ(t)2 d dt du(x(t) = ẋ(t)f (x(t)) = dx(t) = du(t) dt dx dt (19) Somit folgt, dass: 1 2 mẋ(t)2 + U(x(t)) = const = E (Energie) (20) Die Integrationskonstante beschreibt die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie, also die Gesamtenergie. Mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes kann man die Lösung graphisch diskutieren (siehe Abbildung 2). Der Abstand zwischen U(x) und der Horizontalen (der Gesamtenergie) beschreibt die kinetische Energie m 2 ẋ. Die Punkte x 1 und x 2 werden als Umkehrpunkte bezeichnet. An diesen Stellen gilt ẋ 1,2 = 0. Für x > x 3 findet eine offene Bewegung statt. Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 Abbildung 2: Abbildung 2: Potentialkurve Die vorher erhaltene Differentialgleichung kann nun leicht gelöst werden und man erhält: t t 0 = x1 x 0 2 m [E U (x )] dx (21) Durch lösen des Integrals erhält man t(x), durch invertieren dann das gesuchte x(t). Verläuft die Bewegung zwischen zwei Umkehrpunkten x 1 und x 2, so definiert sich die Schwingung mit der Periode T wie folgt: x2 dx T = 2 x 1 2 m [E U (x )] (22) Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 4 Erhaltungssätze 4.1 Impulserhaltung Wirkt auf ein Teilchen keine Kraft, so gilt: Hieraus folgt, dass: dp dt 4.2 Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls ist wie folgt definiert: F = 0 (23) = 0 und damit p = const (24) Das auf ein Teilchen wirkende Drehmoment ist: L = r p (25) M = r F (26) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment, also: dl dt = M (27) Hieraus ergibt sich die Drehimpulserhaltung. Verschwindet das Drehmoment, so ist der Drehimpuls erhalten: Somit folgt, dass: dl dt 4.3 Energieerhaltung M = 0 (28) = 0 und damit L = const (29) Bevor man die Energieerhaltung diskutieren kann, muss zuerst der Begriff der Arbeit und der konservativen Kräfte näher erläutert werden. Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 4.3.1 Arbeit Die Arbeit, die längs eines endlichen Weges C geleistet wird ist: E = r2 r 1,C dr F (30) Die Arbeit entspricht der Energie, die vom Kraftfeld F (r) auf das Teilchen übertragen wird Konservative Kräfte Kräfte, die durch ein Potential U(r) in der Form F (r) = U(r) darstellbar sind, heißen konservativ. Hierbei sind folgende Aussagen äquivalent: F (r) ist konservativ F (r) = U(r) F (r) = 0 Die zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 verrichtete Arbeit ist unabhängig vom Weg Energieerhaltungssatz In einem konservativen Kraftfeld ist die Summe aus kinetischer Energie T = m 2 ẋ2 und potentieller Energie U(r) erhalten: E = U + T = const (31) Gilt die Energieerhaltung nicht, d.h. dass mechanische Energie in andere Energieformen umgewandelt wird, dann spricht man von dissipativen Kräften. Ein Beispiel hierfür wären Reibungskräfte (Umwandlung in Wärmeenergie). Technische Universität München 11 Fakultät für Physik