Linien- und Oberflächenintegrale

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1 Linien- und berflächenintegrale Bei den früheren eindimensionalen Integralen wurde in der Regel entlang eines Intervalls einer Koordinatenachse integriert. Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg nun entlang einer Kurve durchlaufen. Dabei gibt es mehrere Formen. Sei C eine Kurve (bzw. ein Kurvenstück), s die Bogenlänge, Φ(x, x 2, x ) eine Skalarfunktion (i.e. ein Skalarfeld) und F (x, x 2, x ) eine Vektorfunktion (i.e. ein Vektorfeld). Ist x ein rtsvektor, dann bezeichnet d x den Vektor d x = (dx, dx 2, dx ) (die Komponenten sind also die Differenziale der Komponenten des rtsvektors). Ist x(t) eine Parametrisierung der Kurve C, dann ist offenbar d x = (ẋ dt, ẋ 2 dt, ẋ dt) = x(t)dt. Folgende Formen von Linienintegralen können nun auftreten. t C Φ(x, x 2, x )ds = Φ(x (t), x 2 (t), x (t)) ẋ 2 + ẋ2 2 + ẋ2 dt R t C F (x, x 2, x )ds = = ( C F (x, x 2, x )ds, C F 2(x, x 2, x )ds, C F (x, x 2, x )ds ) R C Φ(x, x 2, x )d x = ( C Φ(x, x 2, x )dx, C Φ(x, x 2, x )dx 2, C Φ(x, x 2, x )dx ) R t C Φ(x, x 2, x )dx i = Φ(x (t), x 2 (t), x (t))ẋ i (t)dt t und C F (x, x 2, x ) d x =

2 = C F (x, x 2, x )dx + C F 2(x, x 2, x )dx 2 + C F (x, x 2, x )dx = = C F (x, x 2, x )ẋ dt + C F 2(x, x 2, x )ẋ 2 dt + C F (x, x 2, x )ẋ dt = = t t F ( x(t)) x(t)dt Bemerkungen. ) Die Berechnung der Bogenlänge eines Kurvenstücks C ist selbst ein Kurvenintegral L = C Φ(x, x 2, x )ds mit Φ(x, x 2, x ) 2) Man beachte, dass beim Kurvenintegral C F (x, x 2, x ) d x = t t F ( x(t)) x(t)dt der Integrand durch den Anteil von F (x, x 2, x ) in Richtung der Tangente gegeben ist. ) Das bekannteste Beispiel aus der Physik für ein Linienintegral ist die geleistete Arbeit einer Kraft entlang eines Weges. Dieses ist durch W = C F (x, x 2, x ) d x = gegeben. t t F ( x(t)) x(t)dt Beispiel. Man bestimme die Arbeit bei der Wirkung der Kraft F (x, x 2, x ) = (x 2 x 2, x 2 2, ) entlang der Parabel x 2 = x 2, x =, x. (Beachte, dass auch x 2 ) F (x, x 2, x )dx = x 2 x 2 dx = x 4 dx, F 2 (x, x 2, x )dx 2 = x 2 2dx 2 W = x 4 dx + x 2 2dx 2 = 5 + = 8 5 Der vorliegende Weg kann auch durch x(t) = (t, t 2, ), t 2

3 beschrieben werden. Dann ist x(t) = (, 2t, ) und F (x (t), x 2 (t), x (t)) = (t 4, t 4, ). F (x (t), x 2 (t), x (t)) x(t) = t 4 + 2t 5 Somit ist W = ( t 4 + 2t 5) dt = ( ) t t6 = 8 5. Analog zum Begriff des Kurven- bzw. Linienintegrals kann nun auch ein berflächenintegral definiert werden, bei dem jeder Punkt auf der berfläche durch eine Funktion gewichtet wird. Für eine Fläche mit Parameterdarstellung x(u, v) und eine Skalarfunktion Φ(x, x 2, x ) führt dies zu Φ(x, x 2, x )da = Φ(x (u, v), x 2 (u, v), x (u, v)) x u x v dudv B Hier ist also (formal) das Flächenelement da = x u x v dudv. Beispiel. Wir betrachten die Kugeloberfläche einer Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung, und integrieren darauf die Funktion Φ(x, x 2, x ) = x 2 + x 2 2. Unter Verwendung von Kugelkoordinaten erhalten wir eine Parameterdarstellung x(ϕ, ϑ) = (R sin ϑ cos ϕ, R sin ϑ sin ϕ, R cos ϑ) der Kugeloberfläche, wobei ϕ 2π und ϑ π. Des weiteren ist Φ(x, x 2, x ) = x 2 + x 2 2 = R 2 sin 2 ϑ und x ϕ x ϑ = R 2 sin ϑ. Folglich ist = R 4 2π π ϕ= ϑ= Φ(x, x 2, x )da = sin ϑdϑdϕ = 2πR 4 2π π ϕ= ϑ= π ϑ= sin ϑdϑ = R 2 sin 2 ϑr 2 sin ϑdϑdϕ =

4 = 2πR 4 π ϑ= πr4 4 ( sin ϑ sin ϑ)dϑ = 2 [ cos ϑ + cos ϑ] π = = πr4 2 [ ( + 8πR4 )] =. Neben Skalarfunktionen kann man auch vektorwertige Funktionen (Vektorfelder) über Flächen integrieren. Häufig ist es dabei notwendig, die Richtung der Flächennormalen zu berücksichtigen. Dies tritt etwa bei einem Integral der Form F (x, x 2, x ) nda auf. Der Vektor n ist dabei der Einheitsnormalenvektor der Fläche. Bei einer Parametrisierung der Fläche mittels x(u, v) ist dann n = x u x v x u x v. Den Ausdruck nda d A bezeichnet man auch als vektorielles Flächenelement und ist (bei gegebener Parametrisierung) offenbar d A = nda = ( x u x v )dudv, wodurch obiges Integral in der Form F (x, x 2, x ) d A werden kann. Es liefert als Ergebnis eine skalare Größe. Bemerkung. Das Integral F (x, x 2, x ) nda geschrieben beschreibt etwa den sogenannten Fluß ( Anzahl der Feldlinien ) des Kraftfeldes F durch die berfläche. Die Richtung der Flächennormalen ist nicht eindeutig festgelegt und hängt von der Parametrisierung ab. In der Regel bezeichnet man den Vektor, der von einem konvexen Flächenteil (etwa einer Kugeloberfläche) weg zeigt, als nach außen gerichtet. Bei einer gegebenen Parametrisierung ist daher jeweils zu überprüfen, ob der Normalenvektor nach außen weist. Weitere Formen von berflächenintegralen sind da F (x, x 2, x ) = ( x u x v ) F (x (u, v), x 2 (u, v), x (u, v))dudv B 4

5 Φ(x, x 2, x )da = B Φ(x, (u, v)x 2 (u, v), x (u, v))( x u x v )dudv welche als Ergebnis Vektoren haben. Beispiel. Betrachte das letzte Integral mit Φ(x, x 2, x ) = x 2 + x 2 2 bezüglich eines Zylindermantelteils welcher durch x(ϕ, x ) = (R cos ϕ, R sin ϕ, x ), ϕ π, x 5 parametrisiert ist. Dann ist x ϕ = ( R sin ϕ, R cos ϕ, ), x x = (,, ). d A = ( x ϕ x x )dϕdx = (R cos ϕ, R sin ϕ, )dϕdx Φ(x, x 2, x ) = x 2 + x 2 2 = R 2. und Wir erhalten π 5 R 2 ϕ= x = R cos ϕ R sin ϕ dϕdx = R. Bemerkung. Ist eine Fläche in der Form x = f(x, x 2 ) gegeben und werden x und x 2 als Parameter gewählt, erhalten wir x(x, x 2 ) = (x, x 2, f(x, x 2 )) sowie f x x x x x2 = = f x2 f x f x2 Damit ist n = ( f x, f x2,) +f und da = + f 2 x +fx 2 x 2 + fx 2 2 dx dx 2 = dx dx 2 e n 2 Analoge Darstellungen erhält man für die Fälle x = f(x 2, x ) bzw. x 2 = f(x, x ).. Beispiel. (berfläche von Drehkörpern) Wir betrachten ein Kurvenstück x = f(x ), a x b in der x x - 5

6 Ebene. Die Fläche, die bei Rotation dieser Kurve um die x -Achse entsteht, kann mittels x(x, ϕ) = (x, f(x ) sin ϕ, f(x ) cos ϕ), ϕ 2π parametrisiert werden. Dann ist da = x x x ϕ dx dϕ = f(x ) + [f (x )] 2 dx dϕ. Als berfläche erhalten wir 2π b a f(x ) + [f (x )] 2 dx. 6