19.2 Kurvenintegrale. c a. wobei die euklidische Norm bezeichnet. Weiterhin heißt

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1 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler 19.2 Kurvenintegrale Für eine stükweise C 1 -Kurve : [a, b] D, D R n, und eine stetige skalare Funktion f : D R hatten wir das Kurvenintegral 1. Art definiert durh b f(x)ds : f((t)) ċ(t) dt, wobei die euklidishe Norm bezeihnet. Weiterhin heißt ds : ċ(t) dt das Bogenelement der Kurve (t). Erweiterung: Kurvenintegrale über vektorwertige Funktionen, d.h. f(x)dx :? für f : D R n a Anwendung: Ein Massenpunkt bewegt sih entlang (t) in einem Kraftfeld f(x). Frage: Welhe physikalishe Arbeit muss entlang der Kurve geleistet werden? Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 16

2 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Kurvenintegrale zweiter Art. Definition: Für ein stetiges Vektorfeld f : D R n, D R n offen, und eine stükweise C 1 -Kurve : [a, b] D definieren wir das Kurvenintegral 2. Art durh f(x)dx : b a f((t)),ċ(t) dt Herleitung: Approximiere die Kurve durh Strekenzug mit Eken (t i ), wobei Z {a t < t 1 < < t m b} eine Zerlegung des Intervalls [a, b] ist. Dann gilt für die in einem Kraftfeld f(x) entlang der Kurve (t) geleistete Arbeit die Näherungsformel: A f((t i )),(t i+1 ) (t i ). m 1 i Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 161

3 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Fortsetzung der Herleitung. Daraus folgt: A n j1 n j1 m 1 i m 1 i f j ((t i ))( j (t i+1 ) j (t i )) f j ((t i ))ċ j (τ ij )(t i+1 t i ) Für eine Folge von Zerlegungen Z mit Z konvergiert die rehte Seite gegen das oben definierte Kurvenintegral 2. Art b a f((t)),ċ(t) dt. Bemerkung: Für eine geshlossene Kurve (t), d.h. (a) (b), shreibt man f(x) dx. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 162

4 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Eigenshaften des Kurvenintegrals zweiter Art. (a) Linearität: (αf(x) + βg(x))dx α f(x)dx + β g(x) dx. (b) Es gilt: f(x)dx f(x) dx, wobei ( )(t) : (b + a t), a t b, den inversen Weg bezeihnet. () Es gilt: f(x)dx 1 f(x)dx + 2 f(x)dx, wobei den aus 1 und 2 zusammengesetzten Weg bezeihnet, so dass der Endpunkt von 1 der Anfangspunkt von 2 ist. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 163

5 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Weitere Eigenshaften des Kurvenintegrals 2. Art. (d) Das Kurvenintegral 2. Art ist parametrisierungsinvariant. (e) Es gilt: b f(x)dx a f((t)),t(t) ċ(t) dt f,t ds mit dem Tangenten-Einheitsvektor T(t) : ċ(t) ċ(t) für ċ(t). (f) Formale Shreibweise: f(x)dx n f i (x)dx i i1 n i1 f i (x)dx i mit b f i (x)dx i : a f i ((t))ċ i (t)dt Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 164

6 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Beispiel. Für x R 3 sei Dann berehnet man f(x) dx f(x) : ( y, x, z 2 ) T (t) : (os(t),sin(t), at) T für t 2π 2π 2π ( ydx + xdy + z 2 dz) [ ( sin(t))( sin(t)) + os(t)os(t) + a 2 t 2 a ] dt (1 + a 3 t 2 )dt 2π + a3 3 (2π)3 Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 165

7 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Die Zirkulation eines Feldes längs einer Kurve. Definition: Ist u(x) ein Geshwindigkeitsfeld eines strömenden Mediums, so nennt man das Kurvenintegral u(x) dx entlang einer geshlossenen Kurve die Zirkulation des Feldes u(x). Beispiel: Für das Feld u(x, y) (y, ) T R 2 erhält man längs der Kurve (t) (r os(t), 1 + r sin(t)) T, t 2π, die Zirkulation 2π u(x) dx (1 + r sin(t))( r sin(t))dt 2π ( r sin(t) r 2 sin 2 (t))dt [r os(t) r22 (t sin(t)os(t)) ] 2π πr 2 Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 166

8 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Wirbelfreie Vektorfelder. Definition: Ein stetiges Vektorfeld f(x), x D R n, heißt wirbelfrei, falls dessen Kurvenintegral längs aller geshlossenen stükweise C 1 -Kurven (t) in D vershwindet, d.h. f(x)dx für alle geshlossenen. Bemerkung: Ein Vektorfeld ist genau dann wirbelfrei, wenn der Wert des Kurvenintegrals f(x)dx nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, jedoh niht vom konkreten Verlauf der Kurve abhängt. In diesem Fall nennt man das Kurvenintegral wegunabhängig. Frage: Welhe Kriterien für das Vektorfeld f(x) garantieren die Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals? Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 167

9 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Zusammenhängende Gebiete. Definition: Eine Teilmenge D R n heißt zusammenhängend, falls je zwei Punkte in D durh eine stükweise C 1 -Kurve verbunden werden können: x,y D : : [a, b] D : (a) x (b) y Eine offene und zusammenhängende Menge D R n nennt man auh ein Gebiet in R n. Bemerkung: Eine offene Menge D R n ist genau dann niht zusammenhängend, wenn es disjunkte, offene Mengen U 1, U 2 R n gibt mit U 1 D, U 2 D, D U 1 U 2 Niht zusammenhängende offene Mengen sind also im Gegensatz zu zusammenhängende Mengen in (zumindest) zwei disjunkte offene Mengen trennbar. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 168

10 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Gradientenfelder, Stammfunktionen, Potentiale. Definition: Sei f : D R n ein Vektorfeld auf einem Gebiet D R n. Das Vektorfeld f(x) nennt man ein Gradientenfeld, falls es eine skalare C 1 -Funktion ϕ : D R gibt mit f(x) ϕ(x). Die Funktion ϕ(x) heißt dann Stammfunktion oder Potential von f(x), und das Vektorfeld f(x) nennt man konservativ. Bemerkung: Ein Massenpunkt bewege sih in einem konservativen Kraftfeld K(x), d.h. K besitzt ein Potential ϕ(x), so dass K(x) ϕ(x). Dann liefert die Funktion U(x) ϕ(x) die potentielle Energie K(x) mẍ U(x) Multipliziert man diese Beziehung mit ẋ, so folgt: m ẍ,ẋ + U(x),ẋ d ( ) 1 dt 2 m ẋ 2 + U(x) Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 169

11 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Hauptsatz für Kurvenintegrale. Satz (Hauptsatz für Kurvenintegrale): Sei D R n ein Gebiet und f(x) ein stetiges Vektorfeld auf D. (a) Besitzt f(x) ein Potential ϕ(x), so gilt für alle stükweisen C 1 -Kurven : [a, b] D: f(x)dx ϕ((b)) ϕ((a)) Insbesondere ist das Kurvenintegral wegunabhängig und f(x) ist wirbelfrei. (b) Umgekehrt gilt: Ist f(x) wirbelfrei, so besitzt f(x) ein Potential ϕ(x). Ist x D ein fester Punkt und bezeihnet x (für x D) eine beliebige, die Punkte x und x verbindende stükweise C 1 -Kurve in D, so ist ϕ(x) gegeben durh ϕ(x) f(x)dx + onst. x Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 17

12 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Beweis des Hauptsatzes für Kurvenintegrale. (a): Sei f(x) Gradientenfeld mit Potential ϕ(x). Mit der Kettenregel folgt b n ϕ f(x) dx ϕ(x)dx ((t))ċ i (t)dt x i b a a i1 d (ϕ((t))dt ϕ((b)) ϕ((a)). dt (b): Sei f(x) wirbelfrei. Wir zeigen, dass ϕ(x) : x f(x)dx Potential von f(x): ϕ(x + x) ϕ(x) f(x)dx + f(x)dx f 1 ( 1 (t)) x 1 dt + 1 f 2 ( 2 (t)) x 2 dt f 1 (x + ξ 1 ) x 1 + f 2 (x + ξ 2 ) x 2. Für x 1, x 2 bekommt man f i (x) ϕ x i (x), i 1, 2, somit f(x) ϕ(x). Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 171

13 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Beispiel. Das zentrale Kraftfeld besitzt das Potential K(x) : x x 3 U(x) 1 x (x2 1 + x x 2 3) 1/2, denn es gilt U(x) (x x x 2 3) 3/2 (x, y, z) T x x 3 Für die längs einer stükweisen C 1 -Kurve : [a, b] R 3 \ {} geleistete Arbeit gilt dann 1 A K(x)dx (a) 1 (b). Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 172

14 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Beispiel. Das Vektorfeld besitzt das Potential f(x) : 2xy + z 3 x 2 + 3z 3xz 2 + 3y ϕ(x) x 2 y + xz 3 + 3yz. Für eine C 1 -Kurve (t) von P (1, 1, 2) nah Q (3, 5, 2) gilt f(x)dx ϕ(q) ϕ(p) Interpretiert man f(x) als elektrishes Feld, so gibt das Kurvenintegral zweiter Art die Spannung zwishen den beiden Punkten P und Q an. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 173

15 Kapitel 19: Integralrehnung mehrerer Variabler Beispiel. Wir betrahten das Vektorfeld 1 f(x, y) y x 2 + y 2 x, (x, y) T D R 2 \ {} Für den Einheitskreis (t) : (os(t),sin(t)) T, t 2π, bekommt man 2π f(x) dx f((t)),ċ(t) dt 2π sin(t), sin(t) dt os(t) os(t) 2π 1 dt 2π f(x, y) ist somit niht wirbelfrei und besitzt auf D kein Potential. Analysis III TUHH, Wintersemester 27/28 Armin Iske 174