3 Der Cauchysche Integralsatz

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1 3 Der Cauchysche Integralsatz Die in der Funktionentheorie meist vorkommenden Integrale (insbesondere im Cauchyschen Integralsatz) sind Kurvenintegrale und wie folgt definiert: Definition Sei U C, f : U C stetig und : [t, t 1 ] U eine 1-mal stetig differenzierbare Kurve. Dann definieren wir: f(z)dz := t 1 t f((t)) (t)dt. Ist nur stückweise stetig differenzierbar, d.h. : [t, t 1 ] U ist stetig und es gibt t = τ <... < τ n = t 1, so daß i := [τ i 1, τ i ] jeweils C 1, d.h. stetig differenzierbar ist, dann setzt man n f(z)dz = f(z)dz. i=1 i Beispiel (1) Wir betrachten die Funktion f(z) = z und den Weg : [, 1] C t e 2πit. Hierbei handelt es sich um den im mathematisch positiven Sinn durchlaufenen Einheitskreis. Dann gilt f(z)dz = 1 = 2πi e 2πit 2πi e 2πit dt = 2πi (2) Für die Funktion f(z) = 1/z ergibt sich f(z)dz = e 4πit dt (cos 4πt + i sin 4πt)dt =. 1 e 2πit 2πie 2πit dt = 2πi dt = 2πi. (3) Ist : [, 1] U ein stetig differenzierbarer Weg mit Anfangspunkt () = a und Endpunkt (1) = b und besitzt die Funktion f(z) auf U die Stammfunktion F (z), so gilt f(z)dz = F (b) F (a), da nämlich (F ((t))) = F ((t)) (t) = f((t)) (t). 1

2 Man kann den Cauchyschen Integralsatz auf den Satz von Stokes zurückführen. Ich möchte jedoch in dieser Vorlesung den elementaren Beweis von Goursat geben. Damit kann man später auch schließen, daß eine komplex differenzierbare Funktion bereits holomorph ist. In seiner einfachsten Form, deren Beweis aber schon die ganze Idee enthält, lautet der Satz so: Satz 3.1 (Cauchyscher Integralsatz für ein Rechteck) Sei U C offen, f : U C holomorph, Q ein ganz in U gelegenes abgeschlossenen achsenparalleles Rechteck und eine den Rand Q von Q einmal (im mathematisch positiven Sinne) durchlaufende Kurve, die stückweise stetig differenzierbar ist. Dann ist f(z)dz =. Beweis. Man beweist diesen Satz zuerst für zwei triviale Spezialfälle: 1. Fall: f = 1. Dann ist für eine C 1 -Kurve : [a, b] C stets b dz = (t)dt = (b) (a), a und für unser Rechteck ist daher, wenn wir Namen für die Ecken einführen z 4 z 3 z 1 z 2 dz = (z 2 ) (z 1 ) + (z 3 ) (z 2 ) + (z 4 ) (z 3 ) + (z 1 ) (z 4 ) =. 2. Fall:f(z) = z. Dann gilt für eine C 1 -Kurve wie oben: b a (t) (t)dt = 1 2 b a d dt ((t))2 dt = 1 2 (((b))2 (a)) 2 ). Dies folgt, da die 1/2z 2 eine Stammfunktion von z ist. Entsprechend ergibt sich für den Rand eines Rechtecks zdz =. 11

3 Setzt man die beiden obigen Fälle zusammen, so ergibt sich, daß der Cauchysche Integralsatz für lineare Funktionen c + c 1 z gilt, allgemeiner sogar für alle Funktionen f, die auf U eine Stammfunktion F besitzen. Den allgemeinen Fall behandelt man nun wie folgt. Wir unterteilen das Rechteck in vier gleiche Teile wie folgt: Sei Q 1 dasjenige dieser vier Rechtecke, für welches das Integral über den Rand den größten Betrag annimmt, und sei 1 seine Randkurve. Dann ist jedenfalls f(z)dz 4 1 f(z)dz, denn die Summe der vier Randintegrale ist gerade f(z)dz. Q 1 1 Indem wir induktiv so fortfahren, erhalten wir eine Folge Q Q 1 Q 2... von Rechtecken mit Randkurven 1, 2,..., und es gilt f(z)dz 4 n f(z)dz. n 12

4 Q n Sei z der Grenzpunkt dieser Folge von Rechtecken, d.h. {z } = n 1 Q n. Nun benutzen wir lediglich, daß f an der Stelle z komplex differenzierbar ist: Sei ε >. Dann gibt es ein δ >, so daß f(z) f(z ) f (z ) z z ε für alle z mit < z z < δ oder: f(z) f(z ) (z z )f (z ) ε z z für alle diese z. Da der Satz für lineare Funktionen schon gilt, können wir schließen, daß: f(z)dz = (f(z) f(z ) (z z )f (z ))dz. n n Den Integranden des Integrals auf der rechten Seite haben wir aber bereits abgschätzt. Ist ρ der Durchmesser und l der Umfang des Rechtecks Q, so ist 2 n ρ der Durchmesser und 2 n l der Umfang des Rechtecks Q n. Wähle nun n so groß, daß 2 n ρ < δ. Dann ist der Integrand überall längs n dem Betrage nach kleiner als ε2 n ρ, und weil n die Länge 2 n l hat, gilt: f(z)dz 4 n f(z)dz 4 n 2 n 2 n ε ρ l, n also f(z)dz < ε ρ l für beliebig vorgegebnenes ε und damit haben wir gezeigt, daß f(z)dz =. 13

5 B δ (z ) Satz 3.2 (Cauchyscher Integralsatz für Bilder von Rechtecken) Sei U C offen, f : U C holomorph, Q ein abgeschlossenes Rechteck und ϕ : Q U eine einmal stetig differenzierbare Abbildung. Sei wie oben eine stückweise stetig diffenrenzierbare Kurve in Q, die Q einmal umläuft. Dann ist f(z)dz =. ϕ Q ϕ ϕ U Beweis. Der Beweis ist eine naheliegende Verallgemeinerung des oben gegebenen Beweises. Das Integral verschwindet jedenfalls wenn f eine Stammfunktion hat (F = f für ein holomorphes F : U C), also insbesondere für f(z) = c + c 1 z. Wir konstruieren wieder Q 1 Q 2... wie oben, so daß f(z)dz 4 n f(z)dz ϕ 14 ϕ n

6 ist. Wir müssen jetzt Durchmesser und Umfang von ϕ(q n ) abschätzen. Dies geht wie folgt: Da Q kompakt und ϕ stetig differenzierbar ist, gibt es eine Schranke für das Differential von ϕ, also: dϕ(p) C für alle p Q. Hiermit ist gemeint, daß die Norm aller Richtungsableitungen durch die Konstante C beschränkt ist. Dann ist der Durchmesser von ϕ(q n ) nicht größer als Cρ2 n und die Länge von ϕ n nicht größer als lc2 n. Sei nun {z } = ϕ( Q n ) und ε >. Wähle δ > wie im obigen Beweis, also so, daß f(z) f(z ) (z z )f (z ) ε z z für alle z mit z z < δ. Wähle ferner n so daß Cρ2 n < δ. Dann trifft das insbesondere für alle z in ϕ(q n ) zu und deshalb gilt f(z)dz 4 n f(z)dz 4 n 2 n 2 n C 2 lρε, also ϕ ϕ ϕ n fdz C 2 lρε für jedes ε >. Bemerkung Der Beweis benutzt nur die komplexe Differenzierbarkeit von f, nicht aber die Stetigkeit von f. Wir werden den obigen Satz oft in der folgenden Situation anwenden: Es seien α, β : [t, t 1 ] : U C stetig differenzierbare Wege. Für jedes t [t, t 1 ] sei der Verbindungsweg ebenfalls in U enthalten. h t : [, 1] C s (1 s)α(t) + sβ(t) 15

7 α h t h t1 β Dann ist für jede holomorphe Funktion f auf U: h t β α f(z)dz + f(z)dz f(z)dz h t1 f(z)dz =. Dies folgt aus dem eben bewiesenen Satz, da ϕ : [t, t 1 ] [, 1] U (t, s) (1 s)α(t) + sβ(t) die Voraussetzung des Satzes erfüllt. Wir werden dies insbesondere auch dann anwenden, wenn α und β geschlossene Kurven sind, d.h. wenn α(t ) = α(t 1 ) und β(t ) = β(t 1 ) gilt. Korollar 3.3 Es seien α, β : [t, t 1 ] U stetig differenzierbare Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkt, d.h. α(t ) = β(t ) und α(t 1 ) = β(t 1 ). Ferner sei für jeden Punkt t [t, t 1 ] die Strecke zwischen α(t) und β(t) ganz in U. Dann gilt f(z)dz = f(z)dz. α β 16

8 α β Beweis. Dies ist eine direkte Folgerung aus dem obigen. Ist z C und r >, so durchläuft : [, 1] C t z + re 2πit die Kreislinie um z mit Radius r im mathematisch positiven Sinn. Schreibweise. Wir verwenden die Bezeichnung f(z)dz := f(z)dz. z z =r Korollar 3.4 (Cauchyscher Integralsatz für den Kreisring) Es sei f : U C eine holomorphe Funktion und < r < R so, daß {z C; r z z R} U. Dann gilt f(z)dz = f(z)dz. z z =r z z =R 17

9 z Beweis. Dies folgt unmittelbar aus der obigen Diskussion, wobei α, β die beiden Kreislinien um z mit Radius r und R sind und h t = h t1 ist. Korollar 3.5 (Cauchyscher Integralsatz für die Kreisscheibe) Es sei f : U C holomorph und {z C; z z R} U. Dann gilt z z =R f(z)dz =. Beweis. Aus obigem mit r =. Bemerkung In den obigen Anwendungen genügt es vorauszusetzen, daß f komplex differenzierbar auf U ist. 18