Für alle Kommilitonen

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1 Für alle Kommilitonen Mitschrift der Vorlesung Differentialgleichungen und Funktionentheorie gehalten von Dr. Edgardo Stockmeyer an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz im WS 2008/09 Skript FTDGL L A TEX: Andrey Tyukin, Benjamin Mueller Danke an: Ragnar Lehmann Stand:. April 2009 Anmerkungen, Verbesserungsvorschläge und Kritik bitte an: benmuell@students.uni-mainz.de oder tyukiand@students.uni-mainz.de Neuere Versionen: Script endlich Vollständig! Danke an alle Beteiligten.

2 Inhaltsverzeichnis I Funktionentheorie Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen Motivation Erinnerung: Gruppe Erinnerung: Körper Satz : Konstruktion des Körpers C Definition : Komplexe Konjugation Satz 2: Rechenregeln für die komplexe Konjugation Definition 2: Betrag einer komplexen Zahl Bemerkung : Satz 3: Normeigenschaften von C Definition 3: Konvergenz von Folgen, Grenzwert Satz 4: Komponentenweise Konvergenz Definition 4: Cauchy-Folge Satz 5: Vollständigkeit von (C, ) Definition 5: Konvergenz von Reihen Beispiel : Geometrische Reihe Satz 6: exp, sin, cos Definition 6: Topologische Grundbegriffe Satz 7: Konstante Funktionen auf wegzusammenhängenden Gebieten Definition 7: Stetigkeit Bemerkung 2: Definition 8: Limes-Begriff für Funktionen Definition 9: Gleichmäßige Konvergenz Bemerkung 3: Holomorphe Funktionen Holomorphe Funktionen Definition 0: Holomorphe Funktionen Bemerkung 4: Gemeinsamkeiten komplexer und reeller Diffbarkeit Beispiel 2: f(z) = z und f(z) = z Bemerkung 5: Totale Diffbarkeit Satz 8: Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Bemerkung 6: Ausblick - holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar... 9 Beispiel 3: Negativer Holomorphiebeweis für z z Satz 9: Hinreichende Kriterien für Holomorphie

3 3 Inhaltsverzeichnis 3 Satz 0: Holomorphe Funktionen mit verschwindender Ableitung sind konstant Satz : Reellwertige holomorphe Funktionen sind konstant Potenzreihen Potenzreihen Vorbemerkung Satz 2: Absolut konvergente Reihen sind konvergent Satz 3: Definition : Lokale gleichmäßige Konvergenz Lemma : Absolute & lokal gleichmäßige Konvergenz auf U ρ (z 0 ) Satz 4: Konvergenzradius von Potenzreihen Bemerkung 7: Formel von Cauchy-Hadamard Lemma 2: Konvergenzradius der formalen Ableitung Bemerkung 8: Konvergenzradius der höheren formalen Ableitungen Lemma 3: Potenzreihen sind holomorph Bemerkung 9: Satz 5: Koeffizienten von Potenzreihen (Taylor) Kurvenintegrale Integrationswege Definition 2: Stückweise stetig, stückweise stetig diffbar, Komplexes Integral Bemerkung 0: Bekannte Integralregeln bleiben erhalten Lemma 4: Integral-dreiecks-Ungleichung Definition 3: Integrationsweg Beispiel 5: Einige Integrationswege Definition 4: Integral längs einer Kurve Beispiel 6: Einfaches Kurvenintegral Bemerkung 2: Integration über inverse und zusammengesetzte Wege Stammfunktionen Definition 5: Stammfunktion Satz 6: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in C Korollar : Geschlossene Wege Beispiel 7: Stammfunktion für z z n Satz 7: Kriterium für Existenz einer Stammfunktion Lemma 5: Abschätzung durch Länge eines Integrationsweges Satz 8: Vertauschung von Grenzprozessen Beispiel 8: Integrieren einer Potenzreihe über einen geschlossenen Weg Cauchy-Integralsatz Cauchy Integralsatz für Rechtecke Satz 9: Cauchy-Integralsatz Cauchysche Integralsatz für Bilder von Rechtecken Lemma 6: Kurvenintegral unter entgegengesetztem Weg Lemma 7: Kompaktheit und Stetigkeit Lemma 8:

4 4 Inhaltsverzeichnis 4 Satz 20: Cauchy-Integralsatz für Bilder von Rechtecken Korollar 2: Beispiel 9: Dreiecke und Kurven mit Gemeinsamen Endpunkten Satz 2: Integrale in Kreisringen Satz 22: Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben Erste Folgerungen aus dem Cauchy schen Integralsatz Cauchysche Integralformel für eine Kreisscheibe Satz 23: Cauchy sche Integralformel für Kreisscheiben Satz 24: Mittelwertsatz Potenzreihenentwicklungssatz Satz 25: Potenzreihenentwicklungssatz Satz 26: Satz von Goursat (nicht zu verwechseln mit Lemma von Goursat) Satz 27: Umentwicklung von Potenzreihen Satz 28: Zusammenfassung: Holomorphie Beispiel 0: /(z a) k Satz 29: Cauchysche Abschätzung für die Taylorkoeffizienten Ganze Funktionen und Polynome Definition 6: Ganze Funktion Beispiel : Einige ganze Funktionen Satz 30: Satz von Liouville Satz 3: Abschätzung für Polynome Bemerkung 4: Über den Leitterm eines Polynoms Satz 32: Fundamentalsatz der Algebra Identitätssatz Definition 7: Ordnung einer Nullstelle Satz 33: Holomorphie und Taylorintwicklung Satz 34: Identitätssatz Bemerkung 6: Diskret Lemma 9: Nullstellen auf Kreisscheibe Satz 35: Gebietstreue Satz 36: Maximumsprinzip Satz 37: Schwarz sches Lemma Definition 8: Reell Analytische Funktionen Bemerkung 7: zu rationalen Funktionen und der Differenzierbarkeit Satz 38: f holomorph fortsetzbar f reell analytisch Beispiel 2: Abschätzung von e x /x Der Satz von Morera und Anwendung Satz 39: Morera, Umkehrung des Cauchyschen Integralsatzes Satz 40: Weierstraß Satz 4: Schwarzsches Spiegelungsprinzip

5 5 Inhaltsverzeichnis 5 7 Der globale Cauchysche Integralsatz Zykel und Umlaufzahl Definition 9: Zykel Beispiel 3: Definition 20: Die Umlaufzahl Bemerkung 8: Negative Umlaufzahl Satz 42: n(, z) ist Ganzzahlig Lemma 0: Umlaufzahl ist stetig Beispiel 4: Berechnung zweier Umlaufzahlen Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformel Definition 2: Homolog / Nullhomolog Beispiel 5: Satz 43: Holomorphe Funktionen verschwinden beim integrieren über Nullhomologe Zykel 55 Definition 22: Einfachzusammenhängend Die Umkehrung der Exponentialfunktion Die Umkehrung der Exponentialfunktion Definition 23: Zweig des Logarithmus Bemerkung 20: Logarithmus ist injektiv Satz 44: [Ln z] = /z Satz 45: Ln auf G geschlossener Weg um die Bemerkung 2: Konstruktion eines beliebigen Log-Zweiges Lemma : Exponentialfunktion ist bijektiv (unter passenden Gebieten) Definition 24: α-zweig des Logarithmus Bemerkung 22: Nochmal: Umlaufzahl Potenzen Definition 25: b-te Potenz Bemerkung 23: Einheitswurzeln Isolierte Singularitäten Laurentreihen Satz 46: Holomorphe Zerlegung auf Kreisringe Bemerkung 24: Laurent Zerlegung Definition 26: Laurentreihe Bemerkung 25: Konvergenz von L(z) Satz 47: Koeffizienten der Laurentreihe Beispiel 6: Die Funktion /(z(z i) 2 ) Isolierte Singularitäten Definition 27: Isolierte Singularität Beispiel 7: Definition 28: Hebbar, wesentlich, Pol Satz 48: Riemannscher Hebbarkeitssatz Satz 49: Casorati-Weierstraß Bemerkung 25: M.a.W

6 6 Inhaltsverzeichnis 6 0 Der Residuensatz und das Residuenkalkül Der Residuensatz Definition 29: Das Residuum Bemerkung 26: Residuum ist -te Term der Laurentreihe Beispiel 8: Einige Residuen Satz 50: Der Residuensatz Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis Satz 5: Rechenregeln für das Residuum Anwendung : Bemerkung 27: Konvergenzrate Verbessern Anwendung 2: Beispiel 9: cos(x)/(a 2 + x 2 ) Anwendung 3: Beispiel 20: /(a + cos t) II Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Was ist eine Gewöhnliche DGL? Beispiel : Newtonsche Gleichung Notation Definition : Implizite/Explizite DGL Definition 2: Anfangswertproblem Bemerkung : Beispiel 2: explizite DGL zweiter Ordnung in drei Dimensionen Explizite DGL erster Ordnung: Elementare Lösungsmethoden Die rechte Seite hängt nicht von x ab Lineare DGL Definition 3: Homogene/Inhomogene lineare DGL Satz : Lösung von homogenen linearen DGLs Bemerkung 2: Beispiel 3: Einfache Anwendung Satz 2: Lösung von inhomogenen linearen DGLs Lemma : (partikuläre Lösung) Satz 3: Lösung ist auf festen Intervallen eindeutig Beispiel 4: Einfache Anwendung: Variation d. Konstanten Bemerkung 3: Beispiel 5: Part. Lösungen finden Trennung der Variablen Satz 4: (von der Umkehrabbildung) Satz 5: Lokal eindeutige Lösbarkeit Bemerkung 4: Motivation Bemerkung 5: Aus g(y 0 ) = 0 folgt y 0 ist eine Lösung

7 7 Inhaltsverzeichnis 7 Satz 6: Weitere Lösungen neben der Konstanten Bemerkung 6: Beispiel 6: Beispiel 7: Transformation Fall : Beispiel 8: zu Fall Fall 2: Homogene DGL Fall 3: Existenztheorie Zwei Umformungen Satz 7: Ordnungs Transformation Bemerkung 6: (für explizite DGL) Satz 8: Picard Iteration Beispiel 9: (Näherungslösung) Strategie (für Existenz) Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis Definition 5: Banach-Raum Beispiel 0: einige Banach-Räume Definition 6: Operator Bemerkung 7: Operatornorm Beispiel : Satz 8: Fixpunktsatz von Banach Existenz und Eindeutigkeit Lemma 2: Satz 9: Picard-Lindelöf, quantitative Fassung Bemerkung 8: Weitere Abschätzung Definition 7: Lipschitz-Stetigkeit Korollar : Picard-Lindelöf, qualitative Fassung Globale Existenz und Eindeutigkeit Satz 0: Maximales Lösungsintervall Bemerkung 9: Maximale Lösung Satz : Stetig diffbar lokal Lipschitz-stetig Satz 2: Randverhalten maximaler Lösungen Beispiel 2: Maximale Lösung Finden Lineare Differentialgleichnungen Lineare Differentialgleichnungen Definition 8: Raum der beschränkten Endomorphismen Lemma 3: Submultiplikativität Beispiel 3: Lineare Abbildungen auf R n sind beschränkt Definition 9: Lineare DGL. Ordnung

8 8 Inhaltsverzeichnis 8 Bemerkung 9: Differentialgleichungssystem Lemma 4: Grönwall-Lemma Satz 3: Lösung ist eindeutig Satz 4: Lösungsraum Satz 5: Lineare Unabhängigkeit von Lösungen Bemerkung 0: Matrixwertige lineare DGL Definition 0: Wronski-Matrix, Fundamentalsystem, Propagator Satz 6: Propagator-Satz Satz 7: Variation der Konstanten Satz 8: Dyson-Reihe und Matrixexponentialfunktion Beispiel 4: Berechnung von U(t, t 0 )

9 I Funktionentheorie 9

10 Komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen Motivation Die Polynomgleichung x 2 + = 0 hat keine Lösungen in R. Wir konstruieren einen Körper C so, dass x 2 + = 0 lösbar ist. Es wird sich ergeben: jedes Polynom aus C[X] vom Grad n besitzt in C genau n Nullstellen (Fundamentalsatz der Algebra). Erinnerung: Gruppe Sei K eine Menge und : K K K eine Verknüpfung. G a, b, c K gilt: a (b c) = (a b) c (Assoziativität) G2 e K, sodass gilt: a e = a = e a a K (Neutrales Element) G3 a K b K, sodass gilt: a b = e = b a (Inverses Element) GA a, b K gilt: a b = b a (Kommutativität) (K, ) heißt dann: Gruppe wenn G-G3 erfüllt sind, Abelsche Gruppe (oder auch kommutative Gruppe), wenn alle Bedingungen erfüllt sind. Erinnerung: Körper Sei K eine Menge und +, : K K K Verknüpfungen, dann heißt (K, +, ) Körper, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: K (K, +) ist eine abelsche Gruppe K2 (K \{0}, ) ist eine abelsche Gruppe K3 a, b, c K gilt: a (b + c) = a b + a c (Distributivität) K4 a K gilt: a 0 = 0 = 0 a Satz : Konstruktion des Körpers C Die Menge R R bildet zusammen mit der Addition und Multiplikation : (x, y) (z, w) = (x + z, y + w) : (x, y) (z, w) = (xz yw, xw + yz) einen Körper (R R,, ). 0

11 Komplexe Zahlen i) Neutrale Elemente: (0, 0) bzgl. und (, 0) bzgl. ii) Inverse Elemente: (x, y) := ( x, y) bzgl. ( ) (x, y) x y := x 2 +y, 2 x 2 +y bzgl. 2 iii) Distributivgesetz: a(b + c) = (a, a 2 ) ( (b, b 2 ) (c, c 2 ) ) = (a, a 2 ) (b + c, b 2 + c 2 ) = (a b + a c a 2 b 2 a 2 c 2, a b 2 + a c 2 + a 2 b + a 2 c ) = (a b a 2 b 2, a b 2 + a 2 b ) (a c a 2 c 2, a c 2 + a 2 c ) = (a, a 2 ) (b, b 2 ) (a, a 2 ) (c, c 2 ) Bemerkung: Übliche Notation: Statt (R R,, ) schreiben wir ab nun immer (C, +, ). Für C R := { (x, 0) } x R betrachten wir die Bijektion j : R C R C x (x, 0) Es gilt: j(a) j(b) = j(a b) j(a) + j(b) = j(a + b) j ist also ein Isomorphismus zwischen R und C R. So kann man R als Teilmenge von C auffassen. Imaginäre Einheit: Mit i := (0, ) und := (, 0) lassen sich komplexe Zahlen z = (x, y) C wie üblich darstellen: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + yi Realteil: x wird Realteil von z genannt. Re : C R, (x, y) = x + yi x Imaginärteil: y wird Imaginärteil von z genannt. Im : C R, (x, y) = x + yi y Definition : Komplexe Konjugation Für z = x + yi C, x, y R heißt z := x yi die zu z komplex konjugierte Zahl.

12 2 Komplexe Zahlen 2 Satz 2: Rechenregeln für die komplexe Konjugation z, w C gilt: i) z = z ii) z + w = z + w iii) z w = z w trivial. Definition 2: Betrag einer komplexen Zahl Sei z = x + yi C mit x, y R. Dann heißt C : C R z := zz = x 2 + y 2 Betrag von z. Bemerkung : i) Wegen x, y R gilt x 2 + y 2 0, deswegen ist wohldefiniert. ii) Re(z) z Im(z) z iii) z R z C = z R = z 2 iv) Manchmal werden komplexe Zahlen in der sogenannten Gauß schen Ebene (analog zu Elementen des R 2 in kartesischen Koordinaten) dargestellt: Abbildung.: Gauß sche Zahlenebene v) Für z, w C gilt zw = z w

13 3 Komplexe Zahlen 3 Satz 3: Normeigenschaften von C C ist eine Norm. (C, C ) ist ein normierter Raum. Übungsaufgabe. Hinweis: Man kann den Beweis entweder analog zum allgemeinen Fall im R n führen (siehe AmV), oder auch alles direkt nachrechnen. Definition 3: Konvergenz von Folgen, Grenzwert Eine Folge (c n ) n N C heißt konvergent gegen einen Grenzwert c C, falls ε > 0 N N,sodass n > N : c n c < ε gilt. Wir schreiben dann c = lim n c n oder auch c n n c. Satz 4: Komponentenweise Konvergenz Sei (c n ) n N C eine Folge. Diese Folge konvergiert genau dann, wenn die Folgen ( Re(c n ) ) ( und n N Im(cn ) ) konvergieren, und es gilt: n N lim c n = lim Re(c n) + i lim Im(c n) n n n Setze c = a + bi, c n = a n + b n i mit a, b R, a n := Re(c n ), b n := Im(c n ). n Es gelte: c n c. n n Zu zeigen: Re(c n ) = a n a und Im(c n ) = b n b. Sei ε > 0, dann gilt: Re(c n ) a = Re(c n c) c n c < ε Re(c n ) n a. Analog für den Imaginärteil. n Es gelte: a n a und b n n Zu zeigen: c n a + bi Sei ε > 0 n b n > N i) N : a n a ε 2 n > N ii) N 2 : b n b ε 2 n > N 2 c n c = a n + b n i a bi a n a + i b n b < ε }{{} 2 + ε 2 = ε = n max({n, N 2 })

14 4 Komplexe Zahlen 4 Definition 4: Cauchy-Folge Eine Folge (c n ) n N C heißt Cauchy-Folge (CF), falls ε > 0 N N, sodass n, m N gilt: a n a m < ε Satz 5: Vollständigkeit von (C, ) In C konvergiert jede Cauchy-Folge, der Raum (C, ) ist vollständig und damit ein Banachraum. Übungsaufgabe. Hinweis: Man gehe ähnlich wie beim Beweis des vorherigen Satzes vor. Definition 5: Konvergenz von Reihen Eine Reihe k=0 c k heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen s n := n k=0 c n konvergiert. Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn k=0 c k konvergent ist. Konvergenzkriterien (Majoranten-, Minoranten-, Quotienten-, Wurzelkriterium) für Reihen komplexer Zahlen können wortwörtlich aus Analysis I übernommen werden. Beispiel : Geometrische Reihe z C mit z < konvergiert die geometrische Reihe, und es gilt: Satz 6: exp, sin, cos z C konvergieren die Reihen k=0 z k = z. i) ii) iii) k=0 z k k! =: exp(z) e z ( ) k z2k+ k=0 (2k+)! ( ) k z2k k=0 (2k)! =: sin(z) =: cos(z) In allen drei Fällen ist das Quotientenkriterium angebracht. Für exp gilt: n 2 z : cn+ = z n+ /(n+)! z n /n! = z n+ 2 < c n Definition 6: Topologische Grundbegriffe i) Eine Teilmenge U C heißt offen, falls z C ε > 0, sodass: B ε (z) := {w C w z < ε} U

15 5 Komplexe Zahlen 5 ii) Eine Teilmenge D C heißt abgeschlossen, falls eine der äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: (a) D C := {w C w D} ist offen (b) Der Grenzwert einer beliebigen konvergenten Folge (c n ) n N DC liegt in D: lim n c n D iii) D C heißt beschränkt wenn ρ 0, sodass z D : z < ρ iv) Eine Menge K C heißt kompakt, falls sie beschränkt und abgeschlossen ist. (Gerechtfertigt ist diese Definition durch den Satz von Heine-Borel angewandt auf R 2 = C.) v) z C heißt Häufungspunkt der Menge D C, wenn es eine Folge (c n ) n D \ {z} mit lim c n = z gibt. n vi) D C heißt wegzusammenhängend, wenn x, y D () = y. vii) Eine wegzusammenhängende, offene Menge heißt Gebiet. : [0, ] D stetig mit (0) = x und Satz 7: Konstante Funktionen auf wegzusammenhängenden Gebieten Sei D ein Gebiet, h : D R 2 R eine Funktion. Es gilt: h = 0 h = const Die Beweisidee besteht darin, einen stetigen Weg mit (0) = x und () = y zu nehmen, und diesen durch einen Polygonzug zu approximieren. Der Polygonzug ist dann stückweise differenzierbar und für benachbarte Knoten des Polygonzugs p gilt: h(p(t k+ )) h(p(t k )) = t k + h(p(t k+ )) = h(p(t k )) t k h(p(t)), p (t) dt = t k + t k 0, p (t) dt = 0 und deswegen auch h(x) = h((0)) = h(p(0)) = h(p(t 0 )) = = h(p(t k )) = = h(p(t n )) = h(p()) = h(()) = h(y) x, y D Definition 7: Stetigkeit Eine Funktion f : U C C heißt stetig im Punkt a U, wenn ε > 0 δ > 0, z U : z a < δ f(z) f(a) < ε Die Fkt. heißt stetig, falls sie in jedem Punkt von D stetig ist.

16 6 Komplexe Zahlen 6 Bemerkung 2: i) Äquivalent ist: a n a f(a n ) f(a) und f ist in a U stetig ii) Summe, Differenz, Produkt sowie Zusammensetzung von stetigen Funktion sind stetig iii) Stetigkeit von f ist äquivalent zur simultanen Stetigkeit von Real- und Imaginärteil Stetigkeit von f und f iv) Da die konstante Funktion und die Funktion f(z) = z stetig sind, ergibt sich die Stetigkeit von Polynomen und rationalen Funktionen. (f(z) = p(z) q(z) ) Definition 8: Limes-Begriff für Funktionen Sei f : D C C und ω ein HP von D, dann heißt c C Limes von f für z ω ( c = lim z ω f(z) ), falls a) ε > 0 δ > 0, z D mit z ω : z ω < δ f(z) c < ε oder b) für jede Folge (z n ) n N D mit z n n ω gilt: f(z n ) n c Es ist lim f(z) = c, wenn D unbeschränkt ist und z ε > 0 R > 0, z D : z > R f(z) c < ε Definition 9: Gleichmäßige Konvergenz i) Eine Folge (f n ) n N, f n : D C C konvergiert gleichmäßig (glm.) auf D gegen f : D C C, falls: a) ε > 0 N N, x D : f n (x) f(x) < ε, n N oder b) sup f n (x) f(x) n 0 x D ii) f n konv. gegen f punktweise, falls x D : f n (x) n f(x) Bemerkung 3: Sei (f n ) n N, f n : D C eine Folge stetiger Funktionen, f n n f glm. konv. auf D f ist stetig.

17 2 Holomorphe Funktionen 2. Holomorphe Funktionen Definition 0: Holomorphe Funktionen Eine Funktion f : U C C, U offen in C heißt komplex diffbar an der Stelle z U, wenn f(z 0 + h) f(z 0 ) f(z) f(z 0 ) lim = lim =: f (z 0 ) h 0 h z z 0 z z 0 existiert. Ist f überall komplex diffbar, so nennt man f holomorph Bemerkung 4: Gemeinsamkeiten komplexer und reeller Diffbarkeit i) Wir nennen f die Ableitung von f und f eine Stammfunktion von f ii) Obwohl die Def. der komplexen Diffbarkeit mit der der reellen Diffbarkeit in R formal übereinstimmt, werden wir bald sehen, abgesehen von ganz oberflächlichen Eigenschaften, dass komplex diffbare Fkt. mit diffbaren Fkt. in R kaum etwas gemein haben (Siehe z. B. Beispiel 2ii)) iii) Es gelten die üblichen Summen-, Produkt- und Quotientenregeln. Sind f, g : u C holomorph, so auch f + g und f g und falls g keine Nullstelle hat, auch f/g und die Ableitungen sind: (f + g) = f + g, (f g) = f g + fg, (f/g) = f g fg iv) (Kettenregel) Sind f, g, U f V (g f) (z) = g ( f(z) ) f (z) g 2 g C holomorph, so ist auf f g holomorph und es gilt Beispiel 2: f(z) = z und f(z) = z i) f : C C, f(z) = z ist holomorph, denn: f(z) f(z 0 ) z z 0 = f (z) = Also sind Polynome und rationale Fkt. holomorph ii) Die Fkt. f : C C, f(z) = z ist stetig. Sie ist aber nirgends komplex diffbar. wäre f im Punkt z 0 C komplex diffbar, dann: Folgen (z n ) n N C mit z n z 0 : n (z 0 ) := z n z 0 z n z 0 n f (z 0 ) Schreibe: z n = x n + iy n, z 0 = x 0 + iy 0 a) Wähle y n = y 0 n N n (z 0 ) = (x n x 0 ) i(y n y 0 ) (x n x 0 ) + i(y n y 0 ) = f (z 0 ) = 7

18 8 Holomorphe Funktionen 8 b) Wähle x n = x 0 n N n (z 0 ) = i(y n y 0 ) i(y n y 0 ) = f (z 0 ) = Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Bekanntlich heißt eine Abb. f : U R 2 R 2 total diffbar an der Stelle p U, falls es eine lineare Abb. A p : R 2 R 2 gibt und eine Fkt. ϕ : R 2 R 2 mit lim h 0 ϕ(h) = 0 existiert, so dass: f(p + h) = f(p) + A p (h) + h R 2ϕ(h) (A p (h) ˆ= Differential von f an der Stelle p) A p ist als Matrix durch die Jacobi Matrix gegeben Bemerkung 5: Totale Diffbarkeit Ist f in z komplex diffbar, so ist f in z total diffbar im Sinne der reellen Analysis (C = R 2 ) f(z+h) f(z) Aus lim h 0 h folgt sofort f(z + h) = f(z) + f (z)h + h ϕ(h) mit ϕ(h) h 0 0 [ ] weil wir setzen ϕ(h) := h f(z+h) f(z) h h f (z) Sei f : U C C holomorph. Wir schreiben f(z) = f(x + iy) = u(x, y) +i v(x, y) }{{}}{{} Re(f(z)) Im(f(z)) f f(z + h) f(z) (z) = lim h 0 h ( ) u(x + h, y) u(x, y) v(x + h, y) v(x, y) = lim + i h 0 h h h R = x u(x, y) + i x v(x, y) () Andererseits gilt: ( u(x, y + h) u(x, y) f (z) = lim h 0 ih h i R = i ( y u(x, y, ) + y v(z) ) (2) () = (2) x u(x, y) = y v(x, y) y u(x, y) = x v(x, y) + i die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. ) v(x, y + h) v(x, y) ih Satz 8: Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Sei f : U C mit f(z) = f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y). Es gilt: ist f im Punkt z U differenzierbar, dann sind u und v partiell differenzierbar und es gilt: } x u(x, y) = y v(x, y) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen y u(x, y) = x v(x, y)

19 9 Holomorphe Funktionen 9 Ferner gilt: f (x + yi) = x u(x, y) + x v(x, y) = y u(x, y) + y v(x, y). Bemerkung 6: Ausblick - holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar Wir werden sehen, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind. Insbesondere ist auch f stetig und damit auch alle partiellen Ableitungen von u und v (vgl. Satz 9). Beispiel 3: Negativer Holomorphiebeweis für z z 2 f(z) = z 2 ist auf C \ {0} nicht holomorph. Wir zeigen, dass die Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen nur für z = (0, 0) erfüllt sind, und nirgendwo sonst: f(x + yi) = x 2 + y 2 u(x, y) = x 2 + y 2 v(x, y) = 0 x u(x, y) = y v(x, y) 2x = 0 x = 0 y u(x, y) = x v(x, y) 2y = 0 y = 0 Satz 9: Hinreichende Kriterien für Holomorphie Sei f : U C mit f(x + yi) = u(x, y) + iv(x, y). Gelten in z U die Cauchy-Riemann schen Differentialgleichungen und sind x u und x v im Punkt z stetig dann ist f in z differenzierbar und es gilt: f (z) f (x + yi) = x u(x, y) + i x v(x, y) Sei z = x + yi U und h = h x + h y i C mit h x, h y R. Nach dem Taylor-Formel in R 2 gilt: i) u(x+h x, y +h y ) u(x, y) = h x x u(x, y)+h y y u(x, y) +R(h x, h y ) mit R(hx,hy) h 0 h 0 (wegen }{{} = xv(x,y) der Stetigkeit von x u und y u ii) v(x + h x, y + h y ) v(x, y) = h x x v(x, y) + h y y v(x, y) }{{} = xu(x,y) +S(h x, h y ) mit S(hx,hy) h h 0 0

20 20 Holomorphe Funktionen 20 f(z + h) f(z) h = ( u(x + hx, y + h y ) u(x, y) + iv(x + h x, y + h y ) iv(x, y) ) h = ( hx x u(x, y) h y x v(x, y) + ih x x v(x, y) + ih y x u(x, y) + R(h x, h y ) + is(h x, h y ) ) h = h( (hx + ih y ) x u(x, y) + (ih x h y ) x v(x, y) + R(h x, h y ) + is(h x, h y ) ) }{{}}{{} =h =ih = x u(x, y) + i x v(x, y) + R(h x, h y ) + is(h x, h y ) }{{ h } f (z) = x u(x, y) + i y v(x, y) h 0 0 Satz 0: Holomorphe Funktionen mit verschwindender Ableitung sind konstant Sei U ein Gebiet. Es gilt: Ist f : U C holomorph und f (z) = 0 z U, so ist f(z) = const. f (z) = 0 x u = x v = 0 y u = y v = 0 (Wegen Cauchy-Riemann schen DGL s) u(z) = k R, v(z) = k 2 R (Nach Satz 7) f(z) = k + ik 2 Satz : Reellwertige holomorphe Funktionen sind konstant Sei U ein Gebiet. Ist f : U C holomorph s. d. f(z) R z U, dann ist f(z) = const. v = 0 x u = y v = 0 und y u = x v = 0 f (z) = 0 f(z) = const

21 3 Potenzreihen 3. Potenzreihen Vorbemerkung Allgemeine Gestalt einer Potenzreihe: f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 Wir werden sehen: jede holomorphe Funktion lässt sich als konvergente Potenzreihe darstellen die Menge der Punkte z, für die die Potenzreihe Konvergiert, ist kreisförmig man kann einen Konvergenzradius ρ bestimmen, sodass die Potenzreihe z U ρ (z 0 ) konvergiert, und z C \ U ρ (z 0 ) divergiert. formale Ableitung n= na n(z z 0 ) n stimmt mit der Ableitung überein und konvergiert ebenfalls im selben Konvergenzradius. Satz 2: Absolut konvergente Reihen sind konvergent Konvergiert k=0 µ k, dann konvergiert auch k=0 µ k. Sei ε > 0. Da k=0 µ k eine Cauchy-Folge ist, gilt: n m n N N s. d. µ k µ k = µ k < ε ( n > m > N) k=0 k=0 Wegen der Dreiecksungleichung gilt: n n µ k µ k < ε k=m+ k=m+ k=m+ Damit ist ( n k=0 µ k) n N auch eine Cauchy-Folge, und damit konvergent. Satz 3: Sei (µ n ) n N eine Folge mit µ n 0 so, dass die Reihe µ n konvergiert. Sei (g n ) n N eine Funktionenfolge mit g n : U C so, dass g n (z) µ n ( ) n N. Dann konvergiert die Reihe n=0 n=0 g n (z) absolut und gleichmäßig in z auf ganz U. 2 z U und fast alle

22 22 Potenzreihen 22 i) (absolute Konvergenz): ( ) N > 0 s. d. z U,n N g n (z) µ n k die Folge a k := g n (z) n=n n=0 ist monoton wachsend und beschränkt, damit konvergent. g n (z)konvergiert. n=0 Also f : U C mit f(z) := n=0 g n(z). ii) (gleichmäßige Konvergenz): Sei N N: N f(z) g n (z) n=0 n=n + g n (z) µ n n=n + µ n N 0 n=0 g n (z) konvergiert gleichmäßig gegen f auf U. Definition : Lokale gleichmäßige Konvergenz Eine Folge (f n ) n N von Funktionen heißt auf U lokal gleichmäßig konvergent gegen f, wenn (f n ) n auf jeder Kompakten Teilmenge K U gleichmäßig gegen f konvergiert. Lemma : Absolute & lokal gleichmäßige Konvergenz auf U ρ (z 0 ) Ist ρ > 0 eine Zahl, für die die Folge (a n ρ n ) n beschränkt ist, so konvergiert dann die Reihe n=0 a n(z z 0 ) n absolut und lokal gleichmäßig auf U ρ (z 0 ). M > 0 s. d. a n ρ n < M n N. Sei z U ρ (z 0 ) und r > 0 mit z z 0 r < ρ, dann gilt: a n z z 0 n = a n ρ n z z 0 n Für die Reihe gilt dann: (r/ρ) n = r/ρ n=0 ρ n M z z 0 n ρ n M(r/ρ) n Aus dem Satz 3 folgt: a n (z z 0 ) n konvergiert absolut und gleichmäßig auf U r (z 0 ). n=0

23 23 Potenzreihen 23 Satz 4: Konvergenzradius von Potenzreihen Es gibt eine zahl ρ [0, ], sodass die Potenzreihe f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n auf U ρ (z 0 ) absolut und gleichmäßig konvergiert, und auf C \ U ρ (z 0 ) divergiert. Bemerkung 7: Formel von Cauchy-Hadamard Die Zahl heißt Konvergenzradius (KR) von n=0 a n(z z 0 ) n, und lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: ρ = lim sup a n /n n Zusätzlich definiert man: ρ = 0, falls lim sup a n /n = n ρ =, falls lim sup a n /n = 0 n i) Wir wollen Konvergenz auf U ρ (z 0 ) zeigen: Sei r > 0 sodass r < ρ, also: lim sup a n /n = ρ < r n a n /n < r für fast alle n N, d. h. a n r n < für fast alle n N. Lemma n=0 a n z z 0 n konvergiert in U r (z 0 ) absolut und gleichmäßig. Da r beliebig war, folgt die Behauptung. ii) Wir wollen Divergenz außerhalb U ρ (z 0 ) zeigen: Sei ρ [0, ). Ist z z 0 > ρ also z z 0 < ρ z z 0 < a n /n für unendlich viele n a n (z z 0 ) n bildet keine Nullfolge Die Reihe divergiert. = lim sup a n /n n Lemma 2: Konvergenzradius der formalen Ableitung Sei n=0 a n(z z 0 ) n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ > 0. Dann hat die formale Ableitung n= n a n(z z 0 ) n ebenfalls den Konvergenzradius ρ. i) (Konvergenz): Wir setzen O.B.d.A. z 0 = 0. Erinnerung: Es gilt n= ntn = ( t) 2 t [0, ) ( ).

24 24 Potenzreihen 24 Sei z C und r > 0 so, dass z < r < ρ. Da n=0 a nz n konvergiert, gilt: a n z n n 0, damit ist a n z n beschränkt: M > 0: a n z n < M n N Daraus erhält man: n a n z n M r n= n n= ( ) n z ( ) r Mr (r z ) 2 Also ist die formale Ableitung absolut konvergent mit dem Konvergenzradius ρ. ii) (Divergenz): Es gilt: a n z n a 0 + z n a n z n n=0 n= Ist die Reihe n=0 a nz n außerhalb von U ρ (0) divergent, so ist dort auch die formale Ableitung divergent. Also hat die formale Ableitung genau den Konvergenzradius ρ. Bemerkung 8: Konvergenzradius der höheren formalen Ableitungen Das gleiche gilt auch für die zweite bzw. alle höheren formalen Ableitungen. Lemma 3: Potenzreihen sind holomorph Sei a n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ > 0. n=0 Dann ist die durch f(z) = n=0 Ableitung kann gliedweise gebildet werden: f (z) = na n (z z 0 ) n n=0 a n (z z 0 ) n gegebene Funktion f : U ρ (z 0 ) C holomorph und die Wir setzen z 0 = 0, Z. z. f komplex diffbar und f (z) = na n (z z 0 ) n. D. h. n= n=0 a n (z + h) n a n z n n=0 n=0 w h (z) := na n z n h 0 0 h Wir Wählen h so, dass: r > 0 : z + h r < ρ () w n (z) = Wir benutzen: n=2 a n ( h (z + h)n h zn nz n ) }{{} =: N (z,h)

25 25 Potenzreihen 25 (2) n (z, h) = h ( nk ) h k 2 z n k, n 2 n=2 weil (z + h) n = ( nk ) h k z n k (Binomischer Satz) k=0 (3) Für k 2: ( ) ( n k k(k ) nk ) = n! (k 2)!(n k)! = n(n )( ) n 2 k 2 w h (z) (2) ( h a n nk ) h k 2 z n k n=2 n=2 k=2 h a n n(n ) = h h ( n 2 k 2 n=0 ) h k 2 z n k } {{ } ( h + z ) n 2 n(n ) a n ( h + z ) n 2 n=2 n(n ) a n n=0 }{{} Zweite formale Ableitung: Konvergent! r n 2 h 0 0 Bemerkung 9: Da f (z) = na n (z z 0 ) n auch Konvergenzradius ρ hat, können wir Lemma 3 nochmals anwenden. Wir erhalten n= f (n) (z) = n(n )(n 2) (n m + )a n (z z 0 ) n m (hat KR. ρ) n=m Ferner (z = z 0 ), f (m) (z 0 ) = m!a m Also: f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n (Taylor) n! Satz 5: Koeffizienten von Potenzreihen (Taylor) Sei f(z) = n=0 beliebig oft komplex diffbar mit f (n) (z) = a n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ > 0. Dann ist f auf U ρ (z 0 ) n(n )(n 2) (n m + )a n (z z 0 ) n m n=m Es gilt ferner a n = f (n) (z 0 ) n!

26 4 Kurvenintegrale 4. Integrationswege Definition 2: Stückweise stetig, stückweise stetig diffbar, Komplexes Integral Sei I = [a, b] R ein kompaktes Intervall i) Eine Funktion heißt stückweise stetig, wenn es eine Zerlegung a = t 0 < t < < t n = b von I gibt, so dass k =,..., n : f (tk,t k ) stetig ist und auf [t k, t k ] f stetig fortgesetzt werden kann. ii) f : [a, b] C heißt stückweise stetig diffbar, wenn f stetig ist und es eine Zerlegung a = t 0 < t < < t n = b gibt, so dass f [tk,t k ] stetig diffbar. Es wird insbesondere die Existenz der einseitigen Ableitung von f in t k gefordert. iii) Das Integral einer auf [a, b] stückweise stetigen Funktion f : [a, b] C ist definiert als: b a f(t)dt := b a Re ( f(t) ) dt + i b a Im ( f(t) ) dt }{{} = n t k Im(f(t))dt k=t k Bemerkung 0: Bekannte Integralregeln bleiben erhalten i) α, β C und stückweise stetige Funktion f, f, f 2 : [a, b] C gilt: a) b) b a ( αf (t) + βf 2 (t) ) b dt = α a b f (t)dt + β a f 2 (t)dt b a f(t)dt = b a f(t)dt ii) Der Hauptsatz der Differentialrechnung bleibt gültig. Ist f : [a, b] C stetig und F : [a, b] C eine diffbare Funktion mit F = f, dann gilt: b a f(t)dt = F (b) F (a) iii) Substitutionsregel: Ist ϕ : [a, b] R eine monotone und stückweise diffbare Funktion die [a, b] abbildet, und g : [c, d] C stückweise stetig, so gilt: b a g ( ϕ(s) ) ϕ (s)ds = d c g(t)dt 26

27 27 Kurvenintegrale 27 Lemma 4: Integral-dreiecks-Ungleichung Sei f : [a, b] C stückweise stetig b f(t)dt b a a f(t) dt b Sei s R. Es ist e is ( b Re e is a a f(t)dt = ) b f(t)dt = a b a e is f(t)dt. Re ( e is f(t) ) dt b a e is f(t) dt = b a f(t) dt () Für Sei b a b a f(t)dt = 0 ist nichts zu beweisen. f(t)dt 0. Wir setzen e is = () b f(t)dt a b a f(t) dt f(t)dt f(t)dt Definition 3: Integrationsweg Ein Integrationsweg (IW) in U ist ein stückweise stetig diffbarer Weg : [a, b] U. Man nennt geschlossen, wenn Anfangspunkt (a) und Endpunkt (b) gleich sind. Die Bildmenge ([a, b]) heißt Spur von. Wir schreiben ([a, b]) = Sp Beispiel 5: Einige Integrationswege i) Sei z 0 C und r > 0. Die Abbildung : [0, 2π] C, t z 0 + re it ist stetig diffbar mit (t) = ire it. heißt die positiv orientierte Kreislinie ii) Für z 0, z C parametrisiert : [0, ] C, t z 0 + t(z z 0 ) die Verbindungsstrecke von z 0 nach z. Wir schreiben = [z 0, z ] iii) Seien : [a, b] C und 2 : [c, d] C derart, dass (b) = 2 (c). Dann erklärt man den aus und 2 zusammengesetzten Weg 2 durch (t), t [a, b] 2 : [a, b + (d c)] C, t 2 (t + c b), t [b, b + d c] iv) Zu jedem Weg : [a, b] C definieren wir den entgegengesetzten Weg : [a, b] C, (t) := (a + b t)

28 28 Kurvenintegrale 28 Definition 4: Integral längs einer Kurve Sei : [a, b] C ein Integrationsweg und f : Sp() C eine stetige Funktion. wir setzen das Integral über f längs : b f(z)dz := f ( (t) ) (t)dt a Beispiel 6: Einfaches Kurvenintegral Sei z 0 C. Wir integrieren f(z) = z z 0, (z C \{z 0 }) längs : [0, 2π] C mit (t) = z 0 + re it : z z 0 dz = 2π 0 re it ireit dt = i 2π 0 dt = 2πi Bemerkung 2: Integration über inverse und zusammengesetzte Wege Sei f : U C stetig und, 2 Integrationswege mit Sp( i ) U für i =, 2. Dann gilt: i) f(z)dz = f(z)dz ii) f(z)dz = f(z)dz f(z)dz Übungsaufgabe. 4.2 Stammfunktionen Definition 5: Stammfunktion Sei f : U C eine stetige Funktion. Die Funktion F : U C heißt Stammfunktion von f, wenn F holomorph ist, und F = f gilt. Wir sagen f habe lokale Stammfunktion auf U, wenn z U V offene Umgebung mit z V U und f V eine Stammfunktion hat. Satz 6: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in C Sei f : U C eine stetige Funktion, die eine Stammfunktion F besitzt, und ein Integrationsweg in U von z 0 nach z U. Dann gilt: f(z)dz = F (z ) F (z 0 )

29 29 Kurvenintegrale 29 Sei : [a, b] U und a = t 0 < t <... < t n < t n = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b] derart, dass [tk,t k ] jeweils differenzierbar k =..n. Dann: b f(z)dz = f((t)) (t)dt a n = t k k=t k f((t)) (t)dt = = n t k k=t k t F ((t))dt n (F ((t k )) F ((t k ))) k= = F ((b)) F ((t n )) + F ((t n )) +... F ((t )) + F ((t )) + F ((a)) = F ((b)) F ((a)) = F (z ) F (z 0 ) Korollar : Geschlossene Wege Sei f : U C stetig mit einer Stammfunktion F. Dann gilt für jeden geschlossenen Integrationsweg in U:. f(z)dz = 0 Beispiel 7: Stammfunktion für z z n i) f : C C f(z) := z n mit n hat eine Stammfunktion F (z) = zn+ n+. Ist : [a, b] C ein Integrationsweg auf C mit (a) = z 0 und (b) = z, dann gilt: f(z)dz = n+ (zn+ z0 n ). ii) f(z) := z z ist auf C \ {0} stetig. Es gilt: z =r f(z)dz = 2πi 0 kann auf C \ {0} keine Stammfunktion haben. Satz 7: Kriterium für Existenz einer Stammfunktion Sei f auf dem Gebiet G stetig, und für jeden geschlossenen Weg in G gelte f(z) = 0. Dann hat f auf G eine Stammfunktion.

30 30 Kurvenintegrale 30 Idee F (x) = x f(x)dx = f(a + t(x a))(x a)dt = f(z)dz a 0 [a,x] Sei a G. Zu jedem z G wähle einen Integrationsweg z : [0, ] G mit (0) = a und () = z. Wir setzen: F (z) = f(z)dz. Nun ist zu verifizieren: F (z 0 ) = f(z 0 ) z 0 G. Sei z 0 G. Wir wählen z G so, dass Sp([z 0, z]) G. Also ist := z0 [z 0, z ]z Weg in G. ein geschlossener Aus f(ω)dω = 0 folgt: f(ω)dω + f(ω)dω + f(ω)dω = 0 z0 } {{ } =F (z 0) [z 0,z] }{{} = f(z 0+t(z z 0))(z z 0)dt 0 F (z) F (z 0 ) f(z 0 ) z z 0 = 0 z }{{} = f(ω)dω= F (z) z [ f(z0 + t(z z 0 )) f(z 0 ) ] dt { max f(z0 + t(z z 0 )) f(z 0 ) } = f(z 0 + ξ(z z 0 ) f(z 0 ) t [0,] }{{} z z 0 0 F (z 0 ) = f(z 0 ) Erinnerung Länge eines Integrationsweges Unter der Länge eines Integrationsweges : [t 0, t ] C versteht man bekanntlich den Wert: L() := (t) dt.

31 3 Kurvenintegrale 3 Lemma 5: Abschätzung durch Länge eines Integrationsweges Sei f : U C eine stetige Funktion, sodass c > 0 : x U : f(x) < c. Sei ein Integrationsweg. Dann gilt: f(z)dz cl(). Trivial. Satz 8: Vertauschung von Grenzprozessen Sei ein Integrationsweg und (f n ) n eine Folge von auf Sp() stetigen Funktionen, die dort gleichmäßig gegen die Funktion f konvergiert. Dann gilt: lim f n (z)dz = lim f n(z)dz n n [ fn (z) f(z) ] dz Lemma 5 wegen f n f gleichmäßig auf Sp(). sup fn (z) f(z) n L() 0 z Sp() Beispiel 8: Integrieren einer Potenzreihe über einen geschlossenen Weg Sei f(z) = a n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ > 0. Sei ein Integrationsweg n=0 mit Sp() U ρ (z 0 ). Dann ist: f(z)dz = a n (z z 0 ) n dz = a n (z z 0 ) n dz = 0 n=0 n=0

32 5 Cauchy-Integralsatz Ziel dieses Kapitels ist, den Cauchy-Integralsatz zu beweisen, erst für Rechtecke, dann für beliebige Flächen. Zunächst folgt jedoch eine Bemerkung zu Bezeichnungen. 5. Cauchy Integralsatz für Rechtecke Ist Q C eine Achsenparallele abgeschlossene Rechteckfläche vom Umfang l, so wollen wir die in der linken unteren Ecke beginnende Kurve : [0, l] C, die den Rand von Q ein mal im mathematisch positiven Sinne durchläuft, die Randkurve von Q nennen. Satz 9: Cauchy-Integralsatz Sei U C offen, f : U C holomorph, Q eine ganz in U gelegene Achsenparallele Rechteckfläche, und ihre Randkurve, dann ist: f(z)dz = 0 Wir wollen zeigen, dass f(z)dz kleiner als jede positive Zahl, also 0 ist. z 0 U gilt: f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + χ(z) (), mit χ(z) z z 0 z z 0 0 (2). Es gilt ferner f(z)dz = f(z 0 )dz + f (z 0 )(z z 0 )dz }{{} =0 weil und (z z 0) Stammfunktionen besitzen + χ(z)dz Also: f(z)dz = χ(z)dz Idee Für kleine Rechtecke in der Nähe von z 0 können wir den verschwindenden Term χ(z) zur Abschätzung des Integrals ausnutzen. Wir unterteilen dazu das Rechteck durch vertikales und horizontales halbieren 32

33 33 Cauchy-Integralsatz 33 Abbildung 5.: Unterteilung des Rechteckes Q in immer kleinere Rechtecke zunächst in vier gleiche Teile Q,P,O,R mit Randkurven Q, P, O, R, die positiv orientiert sind. Es gilt: f(z)dz = f + f + f + f Q R O P Sei dabei Q dasjenige dieser Rechtecke, für welchen das Integral den größten Betrag annimmt, und wir nennen := Q. Dann gilt: f(z)dz 4 f(z)dz Fahren wir so induktiv fort, so erhalten wir eine Folge von Rechtecken Q Q Q 2... Q n mit Randkurven,, 2,...,, n. Es gilt: f(z)dz 4n f(z)dz n Offensichtlich bilden die Mittelpunkte dieser Rechtecke eine Cauchy-Folge (insbesondere auch eine in C konvergente Folge). Sei z 0 der Grenzwert dieser Folge. 5.2 Cauchysche Integralsatz für Bilder von Rechtecken Lemma 6: Kurvenintegral unter entgegengesetztem Weg Sei ϕ : V C C, so dass ϕ C [(lokal) stetig diffbar], : [a.b] V ein IW und f : U ϕ(v ) stetig. Dann ist f(z)dz = f(z)dz ϕ ϕ

34 34 Cauchy-Integralsatz 34 : [a, b] C, (t) = (a + b t) ( (t) ) = (a + b t) Sei D ϕ (z) die Ableitung von ϕ im Punkt z ϕ f(z) = b a b = Substitutiere: a + b t = s, t = a s = b dt = ds, = f ( ϕ( (t)) ) D ϕ ( (t) ) ( ) (t)dt a f ( ϕ((a + b t)) ) D ϕ ( (a + b t) ) (a + b t)dt t = b s = a b a f ( ϕ((s)) ) ( ) D ϕ (s) (s)ds = ϕ f(z)dz Lemma 7: Kompaktheit und Stetigkeit Sei K C kompakt, ϕ : K C C mit ϕ C. Dann c > 0, sodass z, w K mit [z, w] K gilt: ϕ(z) ϕ(w) c z w ( MwS: ϕ(z) ϕ(w) z w = ϕ (ξ) < c ) Sei ϕ = Re(ϕ), ϕ 2 = Im(ϕ). ϕ(z) ϕ(w) = ( ϕ (z) ϕ (w) ) + i ( ϕ 2 (z) ϕ 2 (w) ) ϕ (z) ϕ (w) + ϕ 2 (z) ϕ 2 (w) = ϕ (µ) (z w) + ϕ 2 (η) (z w), µ, η [z, w] ( sup ϕ (µ) + sup ϕ 2 (η) ) z w c z w µ K η K Lemma 8: Sei K C kompakt, ϕ : K C mit ϕ C und [a, b] K ein IW. Dann c > 0 mit L(ϕ ) c L() L(ϕ ) = b a ϕ ((t)) dt = b Sei c > 0 eine Konstante mit a D ϕ ((t)) (t) dt c > sup j ϕ k (z), j, k =, 2 z K

35 35 Cauchy-Integralsatz 35 Wir beobachten für α, β,, δ < c ( ) ( ) α β x 2 ( ) αx + βy = δ y x + δy 2 = (αx + βy) 2 + (x + δy) 2 2(αx) 2 + 2(βy) 2 + 2(yx) 2 + 2(δy) 2 4c (x 2 + y 2 ) = 4c ( x ) y 2 Demnach gilt L(ϕ ) b a 4c (t)2 + 2 (t)2 dt = 4c }{{} (t) dt =:c a } {{ } =L() b Satz 20: Cauchy-Integralsatz für Bilder von Rechtecken Sei f : U C holomorph und Q ein Rechteck in C (Achsenparallel) mit Randkurve, aber anstelle der Voraussetzung: Q U sei jetzt eine C -Abbildung ϕ : Q U gegeben. Dann ist ϕ f(z)dz = 0 Wir unterteilen Q wieder in vier Teile O, P, Q, R mit Randkurven O, P, Q, R f(z)dz Lemma = 6 f + f + f + f ϕ ϕ( O ) ϕ( P ) ϕ( Q ) ϕ( R ) Sei Q dasjenige dieser 4 Rechtecke, für welches das Integral den größten Betrag annimmt und seine Randkurve. f(z)dz 4 ϕ ϕ f(z)dz Wir konstruieren wieder Q Q 2 Q n und erhalten f(z)dz 4n f(z)dz = 4n χ(z)dz ϕ ϕ n ϕ n Die Mittelpunkte der Rechtecke bilden eine Cauchy-Folge, sei ω 0 deren Grenzwert und setze z 0 := ϕ(ω 0 ) Sei ε > 0. Wir wählen δ > 0: z z 0 = χ(z) < ε(z z 0 ) Wir untersuchen: sup z z 0 = sup ϕ(ω) ϕ(ω 0 ) Lemma 7 c sup ω ω 0 cρ2 n z Sp(ϕ n) ω Sp n ω Sp n

36 36 Cauchy-Integralsatz 36 Wähle n so groß, dass cρ2 n < δ. 4 n χ(z)dz 4n L(ϕ n ) ϕ n 4 n L(ϕ n ) Lemma 8 sup z Sp(ϕ n) sup z Sp(ϕ n) χ(z) ε z z 0 4 n L(ϕ n )ε 4 n c 2 n lεcρ2 n = c lεcρ ε 0 0 Korollar 2: Sei f : U C holomorph und α, β : [t 0, t ] R U zwei C -Wege. Liegt für jedes t [t 0, t ] die Verbindungsstrecke von α(t) und β(t) ganz in U, dann ist h 0 β α f(z)dz + f(z)dz f(z)dz f(z)dz = 0 h wobei h i : [0, ] U für i = 0, die Verbindungswege h i (τ) = ( τ)α(t i ) + τβ(t i ) sind. Wir definieren die Abbildung ϕ : Q C C, z = t + iτ ( τ)α(t) + τβ(t) wobei Q = [t 0, t ] [0, ] C. Offensichtlich ist ϕ C. Sei die Randkurve von Q. Wir schreiben = Es gilt: (t) = t, t [t 0, t ], 2 (τ) = iτ, τ [0, ] ϕ( (t)) = α(t), ϕ( 2 (τ)) = ( τ)α(0) + τβ(0) = h 0 (τ) ϕ( 3 (t)) = β (t), ϕ( 4 (τ)) = h (τ) Aus 0 = f(z)dz = f + f + f + f folgt die Behauptung ϕ ϕ( ) ϕ( 2) ϕ( 3) ϕ( 4) Beispiel 9: Dreiecke und Kurven mit Gemeinsamen Endpunkten Sei f : U C holomorph. i) Sei R ein Dreieck mit Randkurve Setze in Korollar 2 h 0 = const. f(z)dz = 0 ii) Haben α und β gemeinsamen Anfangs- und Endpunkt, so gilt: f(z)dz = f(z)dz α β

37 37 Cauchy-Integralsatz 37 iii) Sind α und β geschlossene Kurven, dann gilt ebenfalls f(z)dz = f(z)dz α β denn die Intergrale über h 0 und h heben sich weg Satz 2: Integrale in Kreisringen Ist f : U C holomorph und liegt der Kreisring {z C 0 < r < z z 0 < R} in U f(z)dz = f(z)dz z z 0 =r z z 0 =R siehe Beispiel 9 iii) Satz 22: Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben Ist f : U C holomorph und U R (z 0 ) U, dann gilt: f(z) = 0 z z 0 =R Nach Satz 2 gilt: f(z)dz 0<ε<R = z z 0=R z z 0 =ε z z 0 =ε f(z)dz = lim ε 0 z z 0 =ε f(z)dz dieser Ausdruck konvergiert gegen 0 denn: f(z)dz sup f(z) z U }{{} L sup f(z) 2πε = const 2πε ε 0 0 ε(z 0) =2πε z U R (z 0)

38 6 Erste Folgerungen aus dem Cauchy schen Integralsatz 6. Cauchysche Integralformel für eine Kreisscheibe Satz 23: Cauchy sche Integralformel für Kreisscheiben Sei f : U C holomorph, z 0 U,r > 0 so, dass U r (z 0 ) U. Dann gilt a U r (z 0 ): f(a) = f(z) 2πi z a dz z z 0 =r Sei ε ( 0, dist(a, U r (z 0 ) ). Aus dem Korollar 2 (siehe auch Bsp. 9 iii) ) folgt dass: z a =ε denn f(z) z a f(z) z a dz = z a =r f(z) z a dz ist holomorph auf U \ {a}. Wir definieren eine Hilfsfunktion f(z) f(a) z a falls z a g(z) := f (a) falls z = a Da f holomorph ist, ist g auf U stetig, und damit: k > 0 g(z) < k z U r (z 0 ) Es muss nun folgendes gezeigt werden: f(z) zu zeigen f(z)dz = lim dz = 2πif(a) ε 0 z a z z 0 =r Bezeichnungen: f(z) z a dz = z a =ε z a =ε z a =ε f(z) f(a) z a dz + } {{ } =:I (ε) Wir betrachten die beiden Integrale einzeln: I (ε) = g(z)dz k2πε ε 0 0 z a =ε z a =ε f(a) z a dz } {{ } =:I 2(ε) 38

39 39 Erste Folgerungen aus dem Cauchy schen Integralsatz 39 I 2 (ε) = f(a) ε 2π dz z a = f(a) εe it iεeit dt = 2πif(a) 0 wobei ε (t) = a + εe it für t (0, 2π). Das erste Integral verschwindet also, das zweite nimmt genau den gewünschten wert an. Satz 24: Mittelwertsatz Sei f : U C holomorph und r > 0 so, dass U r (z) U. Dann ist der Wert von f an der Stelle z 0 U der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Rand des Kreises: f(z 0 ) = 2π 2π 0 f(z 0 + re it )dt. Setze im Satz 23 a = z 0, dann gilt: f(z 0 ) = 2πi 2π 0 f(z 0 + re it ) re it rie it dt = 2πi 2π 0 f(z 0 + re it )dt 6.2 Potenzreihenentwicklungssatz Satz 25: Potenzreihenentwicklungssatz Sei f : U C holomorph, z 0 U. Dann gibt es genau eine Potenzreihe n=0 c n(z z 0 ) n mit einem positiven Konvergenzradius, die in einer Umgebung von z 0 die Funktion f darstellt. Für die Koeffizienten c n gilt die Cauchy sche Koeffizientenformel: c n = f(z) dz ( ) 2πi (z z 0 ) n+ z z 0 =r sofern U r (z 0 ) U ist. Die Potenzreihe konvergiert auf jeder ganz in U gelegenen Kreisscheibe um z 0 und stellt dort die Funktion f dar: f(z 0 ) = c n (z z 0 ) n z U d (z 0 ) wobei d = dist(z 0, U) n=0 i) (Eindeutigkeit) Wenn es eine solche Potenzreihe gibt, dann ist f in einer offenen Umgebung von z 0 beliebig oft komplex differenzierbar, und es gilt c n = n! f (n) (z 0 ) (Satz 5).

40 40 Erste Folgerungen aus dem Cauchy schen Integralsatz 40 ii) (Existenz) O.B.d.A. setzen wir z 0 = 0. Ist r > 0 so, dass U r (z 0 ) U, dann gilt für z U r (0) nach der Cauchy scher Integralformel: f(z) = f(n) 2πi η z dη = 2πi η =r Beachte: η/z = n=0 wobei f(z) = 2πi F k (z, η) = η =r k n=0 ( z η η =r f(n) η η/z dη ) n und z = z <. Also gilt η lim F k(z, η)dη k f(η) η ( ) n z η Aus der Stetigkeit von f auf U r (0): k > 0 : f(η) k η U r (0) k ( ) n f(η) z k k z n η η r r n=0 n=0 }{{} < }{{} konvergent für k r η U r (0) Satz 3 F k (z, η) konvergiert gleichmäßig in η auf U r (0) Aus () [ TODO: was soll denn dieses sein? ]: f(z) = 2πi lim k k n=0 η =r f(η) η ( ) z dη = η 2πi k n=0 η =r f(η) η n+ dη } {{ } =c n 2πi z n Satz 26: Satz von Goursat (nicht zu verwechseln mit Lemma von Goursat) Sei f : U C holomorph. Dann ist f beliebig oft komplex diffbar. Trivial, denn wir haben bereits bewiesen, dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind. Satz 27: Umentwicklung von Potenzreihen Ist P (z) = n=0 c n(z z 0 ) n eine in U r (z 0 ) konvergente Potenzreihe, so kann P um jeden anderen Punkt z U r (z 0 ) in eine Potenzreihe Q(z) = n=0 c n(z z ) n entwickelt werden. Der Konvergenzradius der Potenzreihe Q ist dann mindestens r z 0 z.