Analysis III für Physik

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1 Analysis III für Physik Prof Dr Uwe Jannsen Wintersemester 2014/15 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung/Einstimmung 1 1 Komplexe Funktionen 4 2 Komplexe Differenzierbarkeit 6 3 Komplexe Potenzreihen 10 4 Der Cauchy sche Integralsatz 15 5 Cauchy sche Integralformel und Entwicklung in Potenzreihen 22 6 Isolierte Singularitäten 29

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3 0 Erinnerung/Einstimmung Analysis I für Physiker: reelle Funktionen f : I R (I Intervall [a, b], [a, b[, ]a, b], ]a, b[, [a, [, ) Stetigkeit: für alle ε > 0 ex δ > 0 : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε Differenzierbarkeit: lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert; Wert := f (x 0 ) stetige Differenzierbarkeit: zusätzlich ist x f (x) stetig Zwischenwertsatz für stetige Funktionen f(a) y f(b) ξ [a, b] f(ξ) = y y a ξ b Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen in ]a, b[ stetig in [a, b] ξ [a, b] = f (ξ) f(b) f(a) b a a ξ b Integral b a f(x)dx Hauptsatz der Differential- und Integralrechung: b a F (x)dx = F (b) F (a) und x a f(t)dt = f(x) uneigentliche Integrale Potenzreihen a n x n, b a f(x)dx, f(x) nicht definiert bei a und/oder b a n (x x 0 ) n 1

4 Taylorreihe f (n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n = f(x), falls die Restglieder R n (x, x 0 ) 0 n Formel für Restglieder Potenzreihe konvergiert ist gleich Taylorreihe Analysis II für Physiker: Funktionen (Abbildungen) R n R m f : U V offen offen (x 1,, x n ) (f 1 (x 1,, x n ),, f m (x 1,, x n )) Norm auf R n : x = (x 1,, x n ) x = x, x = x x 2 n Metrik d(x, y) = x y Dreiecksungleichung d(x, z) d(x, y) + d(y, z) z x y offene ε-umgebung U ε (x 0 ) = {y R n y x 0 < ε} ε x 0 U R n offen für jedes x U gibt es ein ε > 0 mit U ε (x) U f stetig bei x 0 : für alle ε > 0 existiert δ > 0 : x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε f total differenzierbar bei a: Es existiert eine Matrix A M(m n, R) ( = lineare Abbildung L : R n R m ) mit f(x) f(a) A(x a) lim x a x a = 0 2

5 f partiell differenzierbar bei a, dh, f i f i (a 1,, a i 1, a i + h, a i+1, a n ) (a) = lim x j h 0 h ( ) f existiert für alle i, j; und es ist A = Df(a) = i x j (a) = Jacobi-Matrix von f bei a Aber: Umkehrung gilt nicht! f stetig partiell differenzierbar (partielle Ableitungen existieren und sind stetig) f total differenzierbar f 2x stetig partiell differenzierbar 2 f x i x j = 2 f x j x i Höherdimensionale Taylorreihe für f : U R bei a U R n α=(α 1,,α n ) α f(a) (x a) α α! (im Allgemeinen falsch) Notwendige ( und hinreichende ) Bedingungen für lokale Minima und Maxima mit Hesse-Matrix 2 f x i x j (a) Satz über implizite Funktionen/Diffeomorphismen Polar Koordinatentransformation Zylinder Koordinaten Kugel Höherdimensionale Integration/Transformationssatz Differenzierbare Mannigfaltigkeiten M/Untermannigfaltigkeiten M R n Integralsätze Gauß, Stokes, Green Differentialgleichungen gewöhnliche lineare Anfangswertprobleme autonome 3

6 1 Komplexe Funktionen Definition 11 Der Körper C der komplexen Zahlen hat die Elemente z = x+iy mit x, y R und i 2 = 1 Dabei heißt x = Re(z) der Realteil von z und y = Im(z) der Imaginärteil von z Es ist und (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + i(y + y ) (x + iy) (x + iy ) = xx + ixy + iyx + i 2 yy = (xx yy ) + i(xy + x y) Damit wird C zu einem Körper: Für z 0 ist z 1 = das komplex Konjugierte von z z Für z = x + iy heißt z = x iy z 2 Es ist z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 0, und z = zz = x 2 + y 2 heißt die Norm oder der Betrag von z Es gilt z = 0 genau dann wenn z = 0 d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 ist eine Metrik, dh, es gilt die Dreiecksgleichung Für z 0 C und ε > 0 heißt U ε (z 0 ) = {z C z z 0 < ε} die offene ε-umgebung von z 0 Eine Menge U C heißt offen, wenn es für jedes x 0 U ein ε > 0 gibt mit U ε (x 0 ) U U ε x 0 U ε (x 0 ) Anschauliche Beschreibung: Gaußsche Zahlenebene z = r(cos φ + i sin φ) i r φ y 1 x x Polarkoordinaten: z = r(cos φ + i sin φ) Für U C offen nennen wir eine Abbildung f : U C 4

7 eine komplexe Funktion auf U Wir schreiben für z = x + iy f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), mit u(x, y), v(x, y) R, also u = Re(f) und v = Im(f) Definition 12 f : U C heißt stetig bei z 0 U, wenn gilt: Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0 mit z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ε Lemma 13 f, g : U C stetig f g und f + g stetig Beweis für f + g : z 0, ε > 0 gegeben δ 1, δ 2 > 0 mit (1) z z 0 < δ 1 f(z) f(z 0 ) < ε z z 0 < δ 2 g(z) g(z 0 ) < ε Für z z 0 < min(δ 1, δ 2 ) gilt also (2) f(z) + g(z) (f(z 0 ) + g(z 0 )) f(z) f(z 0 ) + g(z) g(z 0 ) < 2ε wegen der Dreiecksungleichung a + b a + b Dies zeigt die Stetigkeit von f + g: Wenn z z 0 klein ist, ist (f + g)(z) (f + g)(z 0 ) klein Zum Beispiel fange mit ε = ε/2 an, dann erhalten wir am Ende die Abschätzung < ε Beweis für f g: Es ist f(z) g(z) f(z 0 )g(z 0 ) = f(z) g(z) f(z 0 )g(z) + f(z 0 )g(z) f(z 0 )g(z 0 ) f(z) f(z 0 ) g(z) + f(z 0 ) g(z) g(z 0 ) < ε( g(z 0 ) + ε) + f(z 0 ) ε = M ε, mit M = g(z 0 ) + ε + f(z 0 ) > 0 Wieder können wir mit ε = ε/m anfangen Corollar 14 Jede polynomiale Funktion f(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 ist stetig Beweis: g(z) = z und konstante Funktionen h(z) = a C sind stetig; wende 13 wiederholt an 5

8 2 Komplexe Differenzierbarkeit Definition 21 Eine komplexe Funktion f : U C (U C offen) heißt komplex differenzierbar bei z 0 U, wenn der Limes f(z) f(z 0 ) lim =: f (z 0 ) z z 0 z z 0 existiert Gilt dies für alle z 0 U, so heißt f holomorph (oder analytisch) auf U Beispiele 22 (a) Jede konstante Funktion ist komplex differenzierbar (b) f(z) = z ist komplex differenzierbar, mit f (z) = 1 (c) f(z) = z ist nicht komplex differenzierbar: Für x R ist f(z 0 + x) f(z 0 ) lim x 0 z 0 + x z 0 = lim x 0 x x = 1, und für ix ist f(z 0 + ix) f(z 0 ) ix lim = lim x 0 z 0 + ix z 0 x 0 ix = 1 Der Limes muss aber bei Differenzierbarkeit für alle Folgen z n z 0 derselbe sein Satz 23 Für holomorphe Funktionen f, g : U C gilt (a) (Additivität) f + g ist holomorph mit (f + g) = f + g (b) (Produktregel) f g ist holomorph mit (f g) = f g + fg! (c) (Quotientenregel) f g ist holomorph auf U = {z U g(z) 0} mit ( ) f = f g fg g g 2 Beweis (a) ist klar wegen der Additivität von Limiten (b) Es ist (c): selbst (Übungsaufgabe) Weiter gilt f(z lim 0 +h)g(z 0 +h) f(z 0 )g(z 0 ) h 0 h ( = lim (f(z0 +h) f(z 0 )) g(z h 0 h 0 + h) + f(z 0 ) g(z 0+h) g(z 0 ) h = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ) Satz 24 (Kettenregel) Für holomorphe Funktionen f : U V C g : V W C 6 )

9 ist die Komposition g f : U W C [(g f)(z) = g(f(z))] holomorph mit Ableitung (g f) (z) = g (f(z)) f (z) Beweis: Sei z 0 U Es ist (g f) g(f(z (z 0 ) = lim 0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 h [ = lim g(f(z0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 f(z 0 +h) f(z 0 ) [ = lim g(f(z0 +h)) g(f(z 0 )) h 0 f(z 0 +h) f(z 0 ) ( ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ) ] f(z0 +h) f(z 0 ) h ] lim f(z 0 +h) f(z 0 ) h 0 h Hierbei sei für y V [ ] g(y) g(f(z0 )) = y f(z 0 ) g(y) g(f(z 0 )) y f(z 0 ), y f(z 0 ), g (f(z 0 )), y = f(z 0 ) Dann ist diese Funktion wohldefiniert auf V und stetig bei y = f(z 0 ), da g differenzierbar bei f(z 0 ) ist, so dass g(y) g(f(z 0 )) lim = g (f(z 0 )) y f(x 0 ) y f(z 0 ) Es folgt die Gleichheit ( ), da wegen der Stetigkeit von f und wegen Differenzierbarkeit von f lim f(x 0 + h) = f(x 0 ) h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) lim h 0 h = f (x 0 ) Wir kommen nun zu einer anderen Charakterisierung der komplexen Differenzierbarkeit Identifizieren wir C mit R 2 mittels der Zuordnung x + iy (x, y) (die die Metriken identifiziert!), so können wir eine komplexe Funktion f : U C auch als eine Abbildung f : U R 2 mit U R 2 offen ansehen Wir sagen, dass f reell differenzierbar bei z 0 = x 0 + iy 0 ist, wenn letztere Abbildung reell differenzierbar bei (x 0, y 0 ) im Sinne der Analysis II ist, also wenn es eine lineare Abbildung A : R 2 R 2 gibt mit f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) A(h 1, h 2 ) lim (h 1,h 2 ) 0 (h 1, h 2 ) = 0 Satz 25 f ist genau dann komplex differenzierbar bei z 0, wenn f reell total differenzierbar ist und die lineare Abbildung A in der Definition der totalen Differenzierbarkeit durch die Multiplikation mit einer komplexen Zahl α (vermöge der Isomorphie C R 2 ) gegeben ist Es ist dann α = f (z 0 ) 7

10 Beweis Existiert so gilt und damit auch f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h 0 h = f (z 0 ), f(z 0 + h) f(z 0 ) f (z 0 ) h lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) f (z 0 ) h lim h 0 h (Beträge sind gleich!), und wir haben die reelle (totale) Differenzierbarkeit, mit linearer Abbildung A= Multiplikation mit f (z 0 ) Gilt umgekehrt mit einer komplexen Zahl α, so ist (Beträge sind gleich!), und es existiert f(z 0 + h) f(z 0 ) α h lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) αh lim h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h h h = 0 = 0 = 0 = 0 = α = f (z 0 ) Wir erhalten: Satz 26 Mit z = x + iy schreibe f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Dann ist f genau dann komplex differenzierbar bei z 0, wenn gilt (a) f ist reell (total) differenzierbar bei z 0, und (b) Es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u x (z 0) = y v (z 0) v x (z 0) = u y (z 0) Beweis (a) ist die erste Bedingung im Satz 25, und wir haben zu zeigen, dass (b) äquivalent zur zweiten Bedingung in 25 ist Es ist aber A bekanntlich die Jacobi-Matrix u x (z u 0) (z y 0 ) A = v x (z 0) v y (z 0) 8

11 und andererseits ist die Multiplikation mit α = a + ib auf C gegeben durch (a + ib)(x + iy) = ax by + i(bx + ay), also in der R-Basis (1, i) durch die Matrix ( ) a b b a, denn es ist ( ) ( ) a b x b a y = ( ) ax by bx ay Also ist A genau dann die Multiplikation mit einem α C, wenn u x u ( ) y a b v x y v = b a für die Jacobimatrix bei z 0 und reelle Zahlen a, b, also wenn die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten 9

12 3 Komplexe Potenzreihen Eine komplexe Potenzreihe ist eine Reihe der Form a n z n mit a n C und z C Wir wollen die Konvergenz dieser Reihe untersuchen Wie im Fall reeller Reihen hat man das folgende Konvergenkriterium Lemma 31 (Majorantenkriterium) Sei eine Reihe mit b n C Gibt es relle Zahlen λ n 0 für alle n N 0 mit b n λ n, so dass die reelle Reihe konvergiert, so konvergiert b n absolut, dh, b n λ n b n konvergiert, und damit auch b n Dasselbe gilt, wenn b n λ n für alle n N für ein N 0 Beweis Die erste Aussage folgt aus dem Majoranten-Kriterium für relle Reihen, und die zweite Behauptung folgt mit der Dreiecksungleichung: Es ist zu zeigen, dass die Partialsummen P m = m b n eine Cauchy-Folge bilden Aber nach Voraussetzung bilden die Partialsummen P m = m b n eine Cauchyfolge, dh, zu jedem ε > 0 gibt es ein N > 0, so dass P r P s < ε r für alle r, s N Für r s ist dann auch P r P s = b n r b n = P r P s < ε, dh, die P m bilden eine Cauchyfolge Die letzte Behauptung ist klar, da es auf die ersten N Reihenglieder nicht ankommt Satz 32 (vom Konvergenzradius) Sei n=s n=s a n z n eine komplexe Potenzreihe 1) Konvergiert diese Reihe für ein z 0, so konvergiert sie auch für alle z mit z < z 0 2) Daher gibt es eine reelle Zahl ρ [0, ], so dass a n z n für alle r mit 0 r < ρ auf {z z r} absolut und gleichmäßig konvergiert und für alle z mit z > ρ divergiert Dieses ρ heißt heißt der Konvergenzradius der Reihe Beweis 1) Konvergiert a n z0 n, so bilden die a n z0 n insbesondere eine Nullfolge Daher wird a n z0 n 1 für n N mit N genügend groß Daher wird ( z a n z n = a n z0 n 10 z 0 ) n

13 für alle z mit z < z 0 durch die geometrische Reihe mit z z 0 ( ) n z z 0 = q < 1 majorisiert, konvergiert also absolut nach Lemma 31 2) Wir können setzen: ρ = sup {γ es existiert ein z mit z = γ so dass a n z n konvergiert} } {{ } M Nach Definition gilt Für ρ gelten also die Eigenschaften in 2) γ M γ ρ γ < ρ γ M γ > ρ γ / M Die gleichmäßige Konvergenz folgt ebenfalls aus dem Majoranten-Kriterium: Ist r < ρ, so hat man auf {z z r} die globale Majorante a n r n Bemerkung 33 Über das Verhalten für z = ρ kann man im Allgmeinen nichts sagen: (a) z n hat Konvergenzradius ρ = 1, und konvergiert für kein z mit z = 1 (b) z n n 2 hat Konvergenzradius ρ = 1, und konvergiert für alle z mit z = 1 Lemma 34 (Quotientenkriterium) Sei b n eine Reihe mit b n C und b n 0 für alle n Gibt es eine reelle Zahl t mit 0 < t < 1, so dass ( ) b n+1 b n t für alle n N für ein N 0, so konvergiert die Reihe absolut Beweis Da es auf die ersten Glieder nicht ankommt, können wir N = 0 annehmen Aus ( ) folgt dann durch Induktion b n b 0 t n Daher ist b 0 t n = b 0 t n eine konvergente Majorante für b n, und wir können 31 anwenden Corollar 35 a n z n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ Dann ist die durch f(z) = a n z n 11

14 auf D = {z z < ρ} gegebene komplexe Funktion holomorph, und die Ableitung ist die auf D konvergente Potenzreihe f (z) = na n z n 1, die durch gliedweises Differenzieren gewonnen wird Beweis Wir zeigen zunächst, dass na n z n 1 wieder für z r < ρ absolut und gleichmäßig konvergiert Sei 0 < z 0 = r < ρ Da a n z0 n für solches z konvergiert, bilden die a n z0 n eine Nullfolge, es gibt also ein M > 0 mit a n z0 n < M für alle n Für 0 z = s < z 0 = r gilt dann n a n z n a n z0 n z M t n mit t = s r < 1 Daher ist na n z n+1 nmt n 1, z 0 und nach dem Quotientenkriterium 34 konvergiert nmt n 1 (da (n+1)mtn = n+1 nmt n 1 n t < 1 für n ; denn lim n n+1 n = 1 und t < 1) Nach dem Majorantkriterium 31 konvergiert also na n z n 1 absolut und gleichmäßig für z s Da r < ρ beliebig war, gilt dies für alle s < ρ Dass na n z n 1 = f (z), zeigt man mit ähnlichen Schlüssen [siehe Jänich, Funktionentheorie, Abschnitt Potenzreihen] Aus dem Quotientenkriterium folgt leicht: Lemma 36 Der Konvergenzradius von a n z n ist falls dieser Limes existiert R = lim n a n a n+1 Lemma/Definition 37 Die folgenden Potenzreihen konvergieren auf ganz C und definieren also dort holomorphe Funktionen: (a) Die Exponentialfunktion exp(z) = e z = (b) Die komplexe Sinusfunktion sin z = (c) Die komplexe Cosinusfunktion cos z = z n n! ( 1) n z 2n+1 (2n+1)! 12 ( 1) n z 2n (2n)!

15 Beweis (a) Es ist lim n (n+1)! n! = lim n n + 1 = (b) und (c): analog Satz 38 Es ist e z e w = e z+w Beweis Absolut konvergente Reihen kann man umordnen und ausmultiplizieren Also ist e z e w = m=0 z n z m n!m! = s=0 s t=0 z t w s t t!(s t)! = ( s t ) 1 s! zt w s t Binomische Formel = (z + w) s s=0 s! = e z+w Satz 39 Es gilt (für z C beliebig) e iz = cos z + i sin z Beweis Folgt, durch Summation, aus 37 (a), (b) und (c) Corollar 310 Für z = x + y mit x, y R gilt: (a) e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y) (b) e x+iy ist periodisch in y (Periode 2π) (c) e 0 = 1, e i π 2 = i, e iπ = 1, e i 3 2 π = i, (d) cos z = eiz +e iz, sin z = eiz e iz 2 2 (e) cos z = 0 z = k π mit k = ±1, ±3, ±5, 2 (f) sin z = 0 z = kπ mit k Z (g) e z 1 = e z 2 e z 1 z 2 = 0 z 1 z 2 2πiZ Definition 311 Definiere den komplexen Logarithmus auf C {0} durch ln z = ln r + iφ für z = r e iφ, r > 0 Dies ist nur wohldefiniert bis auf Addition von 2πik mit k Z, ist also eine sogenannte mehrdeutige Funktion Es gilt aber immer e ln z = z Damit kann man auch Potenzen definieren: Für z C {0}, a C, setze z a := e a ln z Dies ist wohldefiniert bis auf einen Faktor e ak2πi mit k Z Der sogenannte Hauptwert (oder Hauptzweig) des Logarithmus wird eindeutig definiert durch Log : C 0 R + ] π, π]i C z = r e iφ ln r + iφ für r R + und φ ] π, π] 13

16 0 φ Diese Funktion ist nicht stetig bei den Punkten x R <0 = {x R x < 0}, definiert also nur eine holomorphe Funktion auf der negativ geschlitzten komplexen Ebene wobei R 0 = {z C z R, z 0} C R 0, 14

17 4 Der Cauchy sche Integralsatz In der Funktionentheorie betrachtet man vor allem sogenannte Kurvenintegrale Definition 41 Sei U C offen (a) Eine stetig differenzierbare Kurve in U ist eine stetig differenzierbare Abbildung γ : [t 0, t 1 ] U, wobei [t 0, t 1 ] ein reelles Intervall ist (dies heißt, dass Realteil γ 1 und Imaginärteil γ 2 von γ stetig differenzierbare reelle Funktionen sind (differenzierbar mit stetiger Ableitung) und γ(t) = γ 1 (t) + iγ 2 (t) U für alle t [t 1, t 2 ] (b) Ist f : U C eine stetige komplexe Funktion, so nennt man γ f(z)dz := t 1 t 0 f(γ(t)) γ (t)dt C das Kurvenintegral von f über γ (Hierbei ist γ (t) = dγ = dγ 1 + i dγ 2 dt dt dt (c) Sei γ : [t 0, t 1 ] U allgemeiner ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in U, dh, es gebe τ 0 < τ 1 < < τ n = t 1, so dass γ i := γ [τi 1,τ i ] jeweils stetig differenzierbar ist, i = 1,, n Dann setze n f(z)dz = f(z)dz i=1 γ i Bild γ γ 4 γ 3 γ 2 γ 1 Bemerkung 42 Dies hängt nicht von der Parametrisierung des Weges ab: Ist [s 0, s 1 ] [t 0, t 1 ] stetig differenzierbar, so folgt aus der Kettenregel, dass f(z)dz = f(z)dz φ γ γ φ Wir bemerken: 15

18 Lemma 43 Besitzt f(z) eine Stammfunktion auf U, dh, gibt es eine differenzierbare komplexe Funktion F (z) : U C mit F (z) = f(z), so gilt f(z)dz = F (γ(t 1 )) F (γ(t 0 )), γ insbesondere ist das Integral unabhängig vom Weg γ und hängt nur von den Endpunkten ab Beweis f(z)dz = γ = t 1 F (γ(t)) γ (t)dt t 0 t 1 d F (γ(t))dt = F (γ(t dt 1)) F (γ(t 0 )) t 0 nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (angewandt auf Real- und Imaginärteile) Bemerkung 44 (a) Sei c C Für n 1 besitzt f(z) = c z n eine Stammfunktion auf U ε (0) für alle ε > 0, denn es ist ( ) c n + 1 zn+1 = cz n (b) 1 besitzt für kein ε > 0 eine Stammfunktion auf U z ε(0) {0}: Nach 311 besitzt 1 auf der z negativ geschlitzten komplexen Ebene C R 0 die Stammfuktion Log(z) (den Hauptzweig des Logarithmus) Dieser lässt sich aber nicht stetig auf C {0} U ε (0) fortsetzen Da sich alle Stammfunktionen nur durch Konstanten unterscheiden, gibt es keine Stammfunktion Satz 45 Cauchyscher Integralsatz für Rechtecke Sei U C offen, f : U C holomorph und γ : [a, b] U eine stückweise C 1 -Parametrisierung des Randes eines achsenparallelen Rechtecks Q in U z 4 z 3 z 1 z 2 U Dann ist γ f(z)dz = 0 Beweis Unterteile das Rechteck in 4 Teile wie folgt 16

19 Q Q 4 Q 3 Q 1 Q 2 und integriere über diese Die Anteile entlang des inneren Kreuzes heben sich auf; es ist also Q f(z)dz = 4 i=1 Q i f(z)dz und damit f(z)dz 4 f(z)dz, Q Q 1 wobei Q 1 das Rechteck unter Q 1,, Q 4 ist für welches f(z)dz am größten ist Teilen wir Q 1 genauso auf und wiederholen dies, so erhalten wir eine Folge von Rechtecken Q i Q, Q 1, Q 2, Q 3,, Q n, mit Randkurven γ n so dass f(z)dz 4n f(z)dz γ γ n usw Die Mittelpunkte der Rechtecke bilden eine Cauchyfolge, die daher gegen einen Grenzwert z 0 konvergiert, der in allen Q i liegt Wegen der komplexen Differenzierbarkeit von f(z) bei z 0 ist f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + φ(z) mit lim z z 0 φ(z) z z 0 = 0 17

20 Nach 43 und 44 (a)ist (f(z 0 )+f (z 0 )(z z 0 ))dz = 0, da der Integrand eine Stammfunktion γ besitzt und der Weg γ geschlossen ist, dh, γ(a) = γ(b) = z 1 Es ist also f(z)dz 4n f(z)dz = 4n φ(z)dz γ für alle n Sei nun ε > 0 gegeben Dann gibt es ein δ > 0 mit für z z 0 < δ γ n φ(z) < ε z z 0 Ist ρ der Durchmesser von Q und l sein Umfang, so hat Q n den Durchmesser 2 n ρ und den Umfang 2 n l Sei nun n so groß, dass 2 n ρ < δ Dann ist der Integrand φ auf Q n und damit längs γ n betragsmäßig kleiner als ε 2 n ρ und daher f(z)dz 4n φ(z)dz 4n ε2 n ρ 2 n l = ε ρ l γ γ n γ n Da dies für alle ε > 0 gilt, folgt γ f(z)dz = 0 Satz 46 (Cauchy scher Integralsatz für Bilder von Rechtecken) Sei f : U C holomorph, Q C ein achsenparalleles Rechteck mit Rand γ, und φ : Q U eine stetig differenzierbare Abbildung [stetig partiell differenzierbar] Dann ist f(z)dz = 0 φ γ Beweis Wir konstruieren wieder Q Q 1 Q 2 wie oben, so dass f(z)dz 4n f(z)dz φ γ Sei nun C > 0 eine obere Schranke für die Norm (Absolutbetrag der Determinante) der Jacobi-Matrix von φ Diese existiert, da Q kompakt und φ stetig differenzierbar ist Dann ist der Durchmesser von φ(q n ) C ρ 2 n und die Länge von φ γ n C l 2 n Für das Bild z 0 des Grenzwerts der Rechteckfolge (bezüglich des Integrals von f) wählen wir δ > 0 nun so, dass ρ C 2 n < δ Dann ist f dz 4n f dz 4n 2 n 2 n C 2 lρε = C 2 lρε φ γ Da ε beliebig war, folgt φ γ γ γ n f(z)dz = 0 18 φ γ n

21 Bemerkung 47 In der Funktionentheorie integriert man oft über Kreise; ist nichts anderes gesagt, so sollen diese immer im mathematisch positiven Sinne durchlaufen werden, also gegen die Uhrzeigerrichtung Zum Beispiel kann man für den Kreis um z 0 mit Radius r die Parametrisierung wählen K r (z 0 ) = {z C z z 0 = r} γ : [0, 2π] C γ(t) = z 0 + r e it z 0 φ r z 0 + r e iφ z 0 + r i0 = z 0 + r Wir schreiben einfach z z 0 =r f(z)dz für γ f(z)dz Corollar 48 Sei f : U C holomorph, und sei der Kreisring um z 0 {z C r z z 0 R} ganz in U enthalten R r z0 U Dann ist f(z)dz = f(z)dz, z z 0 =r z z 0 =R dh, das Integral über den kleinen Kreis ist gleich dem Integral über dem großen Kreis Beweis Der Kreisring ist Bild eines Rechtecks K R K r z 0 19

22 Die Beiträge auf dem Verbindungsweg heben sich auf; daher ist f(z)dz f(z)dz = 0 K r K R (Das Vorzeichen kommt daher, dass K r in mathematisch negativer Richtung durchlaufen wird) Dies war gerade die Behauptung Corollar 49 (Cauchy scher Integralsatz für eine Kreisscheibe) Ist f : U C holomorph und die Kreisscheibe {z C z z 0 R} ganz in U enthalten, so ist f(z)dz = 0 z z 0 =R Beweis: Für 0 < r < R ist f(z)dz = f(z)dz z z 0 =R z z 0 =r Da f(z) stetig ist, existiert ein δ > 0 mit δ < 1 und f(z) f(z 0 ) < 1 für z z 0 < δ, also f(z) < f(z 0 ) + 1 Für r < δ gilt dann f(z)dz ( f(z 0 ) + 1) r z z 0 =r Da r beliebig klein gewählt werden kann, folgt die Behauptung Bemerkung 410 Ein Weg γ : [t 0, t 1 ] C kann immer durch einen Weg γ : [0, 1] C ersetzt werden: Man schalte die stetig differenzierbare Abbildung vor und wende Bemerkung 42 an [0, 1] [t 0, t 1 ] s t 0 + s(t 1 t 0 ) Definition 411 Zwei Wege γ 0, γ 1 : [0, 1] C mit gleichen Anfangspunkt a und gleichem Endpunkt b heißen C 1 -homotop, wenn es eine stetig differenzierbare Abbildung H : [0, 1] [0, 1] C gibt, mit H(0, t) = γ 0 H(1, t) = γ 1 H(s, 0) = a H(s, 1) = b für alle s, t 20

23 b s a t H heißt Homotopie von γ 0 nach γ 1 Satz 412 Sei f : U C holomorph Sind die zwei Wege γ 0, γ 1 : [0, 1] U C 1 -homotop in U (dh, es gibt eine Homotopie mit Werten ganz in U), so gilt γ 1 f(z)dz = γ 2 f(z)dz Beweis: Dies ist eine direkte Konsequenz von 46 (Cauchy scher Integralsatz für Bilder von Rechtecken): Man nehme H für φ in 46 21

24 5 Cauchy sche Integralformel und Entwicklung in Potenzreihen Satz 51 (Cauchysche Integralformel für eine Kreisscheibe) Sei U C offen, f : U C holomorph und {z z z 0 r} eine Kreisscheibe mit Radius r um z 0, die ganz in U enthalten ist Dann gilt für jedes a im Inneren der Kreisscheibe (also a U r (z 0 )) f(a) = 1 f(z) 2πi z a dz z z 0 =r (Man beachte, dass z a = r, so dass der Integrand auf dem Rand {z z z 0 = r} der Kreisscheibe definiert ist Beweis Aus dem Cauchyschen Integralsatz für Rechteckbilder (oder aus 412) folgt, dass f(z) z a dz = f(z) z a dz, z z 0 =r z a =ε falls ε > 0 genügend klein ist (so dass {z z a ε} {z z z 0 < r}) a ε z 0 r Insbesondere ist letzteres Integral unabhängig von ε, und damit gleich f(z) f(z) f(a) lim dz = lim dz + lim z a ε 0 z a ε 0 ε 0 z a =ε z a =ε z a =ε f(a) z a dz Der erste Grenzwert auf der rechten Seite ist null, da der Integrand beschränkt bleibt (da er gegen den Limes f (a) konvergiert) und ε gegen null geht Für den zweiten Grenzwert rechts berechnen wir mittels der Parametrisierung aus 47 z a =ε und die Behauptung folgt f(a) 2π 1 dz) = f(a) z a εe it εieit dt = f(a)2πi, 0 22

25 Satz 52 (Potenzreihenentwicklungssatz) Sei f : U C holomorph und z 0 U (a) Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe a n (z z 0 ) n mit postivem Konvergenzradius, die f(z) in einer Umgebung von z 0 darstellt (b) Die Potenzreihe konvergiert auf jeder Kreissscheibe {z z z 0 r} U (c) Es gilt die Cauchy sche Koeffizientenformel a n = 1 f(z) dz, 2πi (z z 0 ) n+1 für jedes r > 0 mit {z z z 0 r} U z z 0 =r Beweis: (a) Gibt es eine solche Potenreihe, so ist f(z) nach 35 auf einer offenen Umgebung von z 0 beliebig oft komplex differenzierbar, und es gilt a n = 1 n! f (n) (z 0 ) Daher ist die Potenzreihe eindeutig bestimmt Zum Beweis der Existenz sei also ohne Einschränkung z 0 = 0 (betrachte sonst f(z z 0 )) Falls aber {z z r} U, so gilt für z < r nach der Cauchyformel Für z ζ f(z) = 1 2πi = z < 1 ist aber 1 r 1 z ζ ζ =r f(ζ) ζ z dζ = 1 2πi ζ r f(ζ) ζ 1 1 z dζ ζ der Grenzwert der geometrischen Reihe ( ) n z ζ Diese konvergiert für festes z mit z < r absolut und gleichmäßig auf dem Kreis ζ = r, also konvergiert auch die Reihe ( ) n f(ζ) z ζ ζ absolut und gleichmäßig auf ζ = r, da f(ζ) stetig von ζ abhängt Daher ist das Integral ζ über ζ = r mit der Summe verträglich, so dass gilt: f(z) = 1 2πi Damit ist der Satz bewiesen ζ =r f(ζ) ζ n+1 zn dζ = πi ζ =r f(ζ) ζ n+1 dζ z n

26 Corollar 53 (Satz von Goursat) Eine holomorphe Funktion f : U C ist beliebig oft komplex differenzierbar Beweis Dies gilt nach 35 für jede konvergente Potenzreihe auf dem Inneren des Konvergenzkreises, folgt also nach 51 auf ganz U Corollar 54 (Cauchysche Ungleichung) Sei f : U C holomorph und {z z z 0 r} U Sei f(z) M auf {z z z 0 = r} Dann gilt für die Potenzreihenentwicklung a n (z z 0 ) n von f(z) um z 0 a n M r n Beweis Nach der Chauchyschen Koeffizientenformel 52(c) gilt a n 1 M 2π r 2πr = M n+1 r n Definition 55 Eine komplexe Funktion, die auf ganz C holomorph ist, heißt ganze Funktion Satz 56 (Satz von Liouville) Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant Beweis Ist f(z) ganz, so besitzt f(z) nach 52 (c) eine auf ganz C konvergente Potenzreihen- Entwicklung f(z) = a n z n Ist zusätzlich f(z) M auf ganz C, so gilt a n M r n für alle r > 0 Da r beliebig groß sein kann, folgt a n = 0, also a n = 0 für alle n 1, so dass f(z) = a 0 Satz 57 ( Fundamentalsatz der Algebra ) Jedes nicht konstante Polynom hat mindestens eine Nullstelle Beweis Sei p(z) = a n z n +a n 1 z n+1 + +a 1 z +a 0 mit a n 0 und n 1 (f nicht konstant!) Wegen p(z) = z n 1 (a n + a n+1 z + + a 1 0 z ) n gilt lim p(z) = Nehmen wir an, dass p(z) keine Nullstelle hat, so ist z f(z) = 1 p(z) 24

27 eine ganze Funktion (Quotientenregel) mit lim f(z) = 0 z Daher ist f(z) beschränkt: Es gilt ein r > 0, so dass f(z) < 1 für z > r Da f(z) stetig und {z C z r} kompakt ist, nimmt f(z) ein Maximum M auf dieser Kreisscheibe an; also ist f(z) max{1, M} Nach 56 ist f(z) konstant Widerspruch! Corollar 58 Jedes komplexe Polynom vom Grad n zerfällt in ein Produkt von n Linearfaktoren, hat also n Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt Beweis Polynomdivision Definition 59 (Nullstellenordnung) Sei f(z) eine holomorphe Funktion auf der offenen Menge U C, sei z 0 U, und sei a n (z z 0 ) n die lokale Potenzreihenentwicklung bei z 0 (a) f(z) hat unendliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn die Potenzreihe gleich null ist (b) f(z) hat endliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn die Potenzreihe nicht null ist In diesem Fall heißt n 0 = min{n N 0 a n 0} die Nullstellenordnung von f(z) bei z 0 Lemma 510 (a) f(z) hat genau dann eine unendliche Nullstellenordnung bei z 0, wenn es eine offene Umgebung U ε (z 0 ) gibt auf der f(z) null ist (b) f(z) hat genau dann die endliche Nullstellenordnung n 0 bei z 0, wenn f(z) = (z z 0 ) n0 g(z), wobei g(z) holomorph auf einer Umgebung U ε (z 0 ) ist, mit g(z 0 ) 0 Beweis(a) folgt daraus, dass die Potenzreihe f(z) lokal darstellt (b) Es ist genau dann lokal f(z) = a n (z z 0 ) n, mit a n0 0, wenn f(z) = (z z 0 ) n n=n 0 a n (z z 0 ) n n 0, wobei für g(z) = a n (z z 0 ) n n 0 gilt, dass g(z 0 ) = a n0 0 n=n 0 n=n 0 Corollar 511 Hat f endliche Nullstellenordnung bei z 0, so gibt es eine offene Umgebung U ε (z 0 ) mit f(z) 0 auf U ε (z 0 ) {z 0 } Beweis Ist f(z) = (z z 0 ) n g(z) mit g(z) holomorph und g(z 0 ) 0, so gibt es wegen der Stetigkeit von g(z) eine Umgebung U ε (z 0 ) mit g(z) 0, und dort gilt dann für z z 0 f(z) = (z z 0 ) n g(z) 0 Erinnerung 512 Eine offene Menge V in R n oder C n (oder in einem metrischen Raum, oder in einem topologischen Raum) heißt zusammenhängend, wenn sie nicht Vereinigung von zwei disjunkten offenen Mengen ist 25

28 oder zusammenhängend nicht zusammenhängend Definition 513 Eine zusammenhängende offene Teilmenge U C heißt ein Gebiet Satz 514 (Identitätssatz für holomorphe Funktionen) Sei G ein Gebiet und seine f, g : G C zwei holomorphe Funktionen Gibt es eine Teilmenge H G, die einen Häufungspunkt in G besitzt und auf der f und g übereinstimmen, so ist f = g Bemerkung 515 Die Bedingung an H bedeutet: Es gibt einen Punkt z 0 G und eine Folge (z n ) in H mit z n z 0 für alle n, so dass in jeder Umgebung U ε (z 0 ) (mindestens) ein z 0 liegt z 1 z 2 z 3 z 4 z 0 Beweis von Satz 514 Durch Betrachtung von f g genügt es, eine Funktion f zu betrachten, die auf H null ist, und zu zeigen, dass diese auf G null ist Sei dies gegeben und sei M G die Menge der Nullstellen von f(z) mit unendlicher Ordnung Nach 510 (a) ist dann M offen: Ist z M, so ist f(z) = 0 auf einer offenen Umgebung V von z, aber dann ist die Potenzreihenentwicklung von f(z) gleich 0 auf ganz V, dh, die Nullstellenordnung unendlich auf ganz V Andererseits ist auch G M, die Menge der Nullstellen mit endlicher Nullstellenordnung (dies schließt die Nullstellenordnung 0, also die Punkte mit f(z) 0 ein), offen nach Schließlich ist M nicht-leer, denn es ist z 0 M: Hätte z 0 endliche Nullstellenordnung, so gäbe es nach 511 eine offene Umgebung U ε (z 0 ) mit f(z) 0 für z U ε (z 0 ) {z 0 }, aber nach Vorraussetzung gibt es ein z n U ε (z 0 ) mit f(z n ) = 0 Da G ein Gebiet ist kann G nicht disjunkte Vereinigung von zwei offenen nicht-leeren Mengen M und G M sein, also ist G M =, da M nicht-leer ist; es folgt also G = M, also f(z) = 0 auf G Satz 516 (Maximumsprinzip) Sei f auf dem Gebiet G holomorph, und es sei Dann ist f konstant, oder es gilt M := sup f(z) < z U f(z) < M für alle z U 26

29 Bemerkung 517 Dies heißt also, dass das Supremum nicht auf G selbst angenommen wird Ist zum Beispiel K = {z z z 0 R} eine in G enthaltene Kreisscheibe, so wird das (wegen der Kompaktheit von K existierende) Maximum von f(z) auf K auf dem Rand {z z z 0 = R} angenommen Beweis von Satz 516 Angenommen, das Supremum M wird auf G angenommen Sei z 0 G mit f(z 0 ) = M, sei die Kreisscheibe {z z z 0 ρ} in U enthalten, und sei 0 < r < ρ Nach der Cauchyschen Ungleichung 54 (für a 0 ) ist für die Potenzreihenentwicklung a n (z z 0 ) n von f(z) und z 0 f(z 0 ) = a 0 sup f(z) M z z 0 =r Nach der Cauchyschen Integralformel 51 gilt dann 1 f(z) M = f(z 0 ) = dz 2πi z z 0 z z 0 =r z z 0 =r 1 2π f(z) dz 1 M r 2π r 2πr = M Damit gilt überall Gleichheit Das bedeutet aber, dass f(z) = M für z z 0 = r ist, denn wäre irgendwo auf dem Kreis f(z ) < M, so gäbe auch das Integral z z 0 =r 1 2π f(z) dz r einen Wert kleiner als M Denn für zwei stetige Funktionen f 1, f 2 auf einem Intervall [a, b] mit f 1 (t) f 2 (t) für alle t und f 1 (t 0 ) < f 2 (t 0 ) für ein t 0 [a, b] ist auch b f 1 (t)dt < b f 2 (t)dt a a Denn durch Betrachtung von f 2 (t) f 1 (t) haben wir nur zu zeigen: Ist f(t) 0 und stetig auf [a, b] und f(t 0 ) > 0 für ein t 0, so ist b a f(t)dt > 0 Dies folgt so: Sei ε = f(t 0 ) Wegen der Stetigkeit von f(t) gibt es ein δ > 0 mit t t 0 < δ f(t) f(t 0 ) < ε 2 Dann ist I = [t 0 δ, t 0 + δ] [a, b] ein echtes Intervall, hat also eine Länge l > 0, und nach der Dreiecksungleichung gilt f(t) f(t 0 ) f(t 0 ) f(t) > ε ε 2 = ε 2 27

30 auf I, also bereits I f(t)dt ε 2 l > 0, und daher erst recht b a f(t)dt > 0 Es gilt also f(z) = M für alle z mit z z 0 < ρ Hieraus folgt, dass f(z) konstant ist: (i) Für M = 0 ist f(z) = 0 für z z 0 < ρ, also für alle z G nach dem Identitätssatz, da {z z z 0 < ρ} den Häufungspunkt z 0 besitzt (ii) Für M > 0 betrachten wir log f(z) in einer hinreichend kleinen Umgebung von z 0 (wo also noch f(z) 0 wie für f(z 0 )) Da log f(z) = log f(z) + iφ, ist der Realteil dieser Funktion konstant, also auch der Imaginärteil nach dem Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen Daher ist auch f(z) in einer kleinen Umgebung von z 0 konstant, nach dem Identitätssatz also auf ganz G Corollar 518 Besitzt f auf G ein lokales Maximum, so ist f ebenfalls konstant Beweis: Die Voraussetzung bedeutet, dass es ein z 0 G gibt und eine offene Umgebung U ε (z 0 ), so dass f(z) f(z 0 ) für alle z U ε (z 0 ) {z 0 } Nach 56 ist dann f konstant auf U ε (z 0 ), also auch auf G nach dem Identitätssatz

31 6 Isolierte Singularitäten Definition 61 Sei U C offen und f : U C holomorph Eine isolierte Singularität von f ist ein Punkt z 0 C U, für den es eine Umgebung U ε (z 0 ) gibt, so dass U ε (z 0 ) {z 0 } in U liegt U z 0 / U Es ist also f(z) nicht definiert bei z 0, aber definiert auf U ε (z 0 ) {z 0 } Definition 62 Eine isolierte Singularität z 0 von f : U C heißt (a) hebbar, wenn es ein a C gibt, so dass die Funktion f : U {z 0 } C f(z) = { f(z), z U a, z = z 0 holomorph ist (Äquivalent ist: Es gibt eine holomorphe Funktion f : U {0} C mit f U = f) (b) z 0 heißt ein Pol von f, wenn f nicht hebbar bei z 0 ist, aber wenn es ein m N gibt, so dass (z z 0 ) m f(z) eine hebbare Singularität bei z 0 hat Das kleinste derartige m heißt die Polordnung von f(z) bei z 0 (c) z 0 heißt eine wesentliche Singularität, wenn z 0 weder hebbar noch ein Pol ist Beispiele 63 (a) Für f : C {0} C mit f(z) = z ist z 0 = 0 eine hebbare isolierte Singularität, denn f : C C mit f(z) = z ist holomorph (wir haben f(0) = 0 gesetzt) (b) Ist g eine bei z 0 holomorphe Funktion, so hat einen Pol m-ter Ordnung bei z 0 (c) Die auf C {0} definierte Funktion f(z) = f(z) = sin g(z) (z z 0 ) m ( ) 1 z 29

32 ist holomorph (Kettenregel) Sie hat eine wesentliche Singularität bei 0, denn hätte f(z) oder z m f(z) eine holomorphe Fortsetzung g(z), so müsste g(z) = 0 sein, denn die Menge der Nullstellen 1 2π, 1 4π, 1 6π, von g(z) = z m sin ( 1 z ) hätte einen Häufungspunkt, nämlich 0, und nach dem Identitätssatz 514 müsste g(z) = 0 auf C sein, was offenbar nicht gilt Definition 64 Ist eine Funktion f bis auf hebbare Singularitäten oder Pole holomorph auf U, so heißt f meromorph auf U Lemma 65 (a) Ist f eine meromorphe Funktion auf U, so gibt es für jedes z 0 U auf einer offenen Umgebung V von z 0 holomorphe Funktionen g und h mit f(z) = g(z) h(z) auf V {z 0 } (b) Gibt es umgekehrt für eine Funktion in f(z) auf U eine lokale Beschreibung bei z 0 wie in (a), wobei g(z) eine Nullstelle der Ordnung k N 0 hat (k = 0 bedeutet g(z 0 ) 0) und h(z) eine Nullstelle der Ordnung l N 0, so hat f(z) bei z 0 die Ordnung k l Z: Dies soll bedeuten: f hat bei z 0 eine hebbare Singularität mit einer Nullstelle der Ordnung k l falls k l, f hat bei z 0 einen Pol der Ordnung l k = k l, falls l < k Insbesondere ist f meromorph bei z 0 Beweis (a) Hat f eine hebbare Singularität bei z 0, so ist nichts zu zeigen Hat f einen Pol der Ordnung m bei z 0, so gilt auf einer Umgebung V von z 0, dass (z z 0 ) m f(z) eine hebbare Singularität hat, also durch eine holomorphe Funktion g(z) auf V fortgesetzt werden kann Dann ist f(z) = g(z) (z z 0 ) m auf V {z 0 } (b) Schreibe g(z) = (z z 0 ) k g 0 (z), h(z) = (z z 0 ) l h 0 (z) mit g 0 (z 0 ) 0 und h 0 (z 0 ) 0 Dann haben g und h auf einer Umgebung V von z 0 keine anderen Nullstellen als (eventuell) z 0, und es ist auf V {z 0 } wobei g 0(z) h 0 (z) f(z) = g(z) h(z) = g 0(z) h 0 (z) (z z 0) k l, holomorph (und ungleich null) auf V ist Hieraus folgt die Behauptung Corollar 66 Die meromorphen Funktionen auf einem Gebiet bilden einen Körper 30

33 Beweis: Mit den Charakterisierungen in 65 folgt sofort, dass mit meromorphen Funktionen f, g auf U auch f + g und f g meromorph sind Wir erhalten also einen Ring Weiter hat eine meromorphe Funktion f das Inverse 1 f Wir zeigen jetzt, dass sich komplexe Funktionen bei einer isolierten Singularität in eine Laurentreihe entwickeln lassen Definition 67 (a) Eine Laurentreihe um z 0 ist eine Summe von Reihen der Form (i) a 1 (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n n=1 Dies wird auch abgekürzt durch (ii) a n (z z 0 ) n n= Die erste Reihe in (i) heißt der Hauptteil und die zweite Reihe in (i) heißt der Nebenteil der Laurentreihe (b) Eine Laurentreihe heißt konvergent (bzw absolut konvergent, gleichmäßig konvergent usw), wenn dies für beide Reihen zutrifft, also für den Hauptteil und den Nebenteil Der Nebenteil ist also eine Potenzreihe, und der Hauptteil ist eine Potenzreihe in 1 z z 0 Analog zum Satz 32 über den Konvergenzsradius von Potenzreihen haben wir das Folgende, wobei wir zur Vereinfachung z 0 = 0 annehmen (sonst ersetzen wir z durch z z 0 ) Satz 68 Sei eine Laurentreihe Hat die Reihe den Konvergenzradius 1 r a n z n + n=1 a n z n a n ζ n n=1 [0, ] und der Nebenteil a n z n den Konvergenzradius R, so konvergiert die Laurentreihe auf dem offenen Kreisring {z r < z < R} und stellt dort eine holomorphe Funktion dar (Hierbei setzen wir 1 = und 1 = 0) Sie 0 divergiert für z < r oder z > R Für alle r 1, r 2 mit r < r 1 < r 2 < R ist die Konvergenz absolut und gleichmäßig auf {z r 1 z r 2 } Beweis: Dies folgt sofort aus Satz 32, indem wir für den Hauptteil ζ = 1 z setzen Beachte: Der Nebenteil konvergiert per Definitionen für z < R, und der Hauptteil für ζ < 1, also für z > r r 31

34 R r Konvergenz Nebenteil Konvergenz Hauptteil zusammen: r R für r > R nirgends Konvergenz! Die Holomorphie wissen wir für den Nebenteil aus 35, und für den Hauptteil wegen 35 für a a ζ n und der Kettenregel mit ζ = 1 Dies liefert wegen 35 auch: z n=1 Lemma 69 Die Ableitung der Laurentreihe kann durch gliedweises Differenzieren gewonnen werden Lemma 610 (Cauchyformel für Laurentreihen) Konvergiert die Laurentreihe n= a n z n im Kreissring {z r < z < R}, so gilt für die dargestellte holomorphe Funktion f(z) a n = 1 f(z) dz 2πi zn+1 für alle n Z und jeder r mit r < r < R z =r r r R Beweis Wegen der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Kreis {z z = r } können wir Summen und Integration vertauschen Da in der Laurentreihe f(z) z n+1 = k= 32 a k z k (n+1)

35 alle Glieder a k z k (n+1) mit k n eine Stammfunktion besitzen (siehe 44 (a)), so dass a k z k (n+1) dz = 0, folgt also z =r 1 2πi z =r f(z) 1 dz = zn+1 2πi z =r a n z dz = a n, siehe die explizite Rechnung am Ende des Beweises der Cauchy schen Integralformel (Satz 51) Bemerkung 611 Hier war der Mittelpunkt des Kreisrings 0, aber indem wir z überall durch z z 0 ersetzen, erhalten wir das analoge Ergebnis für den Kreisring um z 0 Für eine konvergente Laurentreihe a n (z z 0 ) n n= auf {z r < z z 0 < R} gilt also für alle n Z und alle r mit r > r < R a n = 1 f(z) dz 2πi (z z 0 ) n+1 z z 0 =r Oben haben wir immer eine konvergente Laurentreihe angenommen Wir zeigen nun: Satz 612 (Laurentreihenentwicklung) Sei eine komplexe Funktion f in einem Kreisring holomorph Dann ist dort K r,r (z 0 ) = {z r < z z 0 < R} f(z) = n= a n (z z 0 ) n mit einer Laurentreihe, die auf {z r < z z 0 < R} konvergiert Beweis Indem wir zu f(z z 0 ) übergehen, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass z 0 = 0 Sei also z aus dem Kreisring, der durch r < z < R gegeben ist Dann gilt für genügend kleines ε > 0 {z z z < ε} K r,r (z 0 ) z ε r R 33

36 und f(z) = 1 2πi nach der Cauchy schen Integralformel 51 ζ z =ε f(ζ) ζ z ζ Dieses Integral ist durch eine geeignete Homotopie gleich dem Integral über den Rand eines Rechteckbilds r δ R δ und durch eine weitere Homotopie gleich dem Integral über den Rand des folgenden Rechteckbildes also gleich dem Integral 1 2πi ζ =R δ f(ζ) ζ z dζ 1 2πi ζ =r+δ f(ζ) ζ z dζ, da sich die beiden Integrale entlang des mit den Pfeilen gekennzeichneten Verbindungswegs wegheben Nun gehen wir genauso vor wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes 52: (i) Im ersten Integral entwickeln wir 1 (mit z < ζ = R δ, also Nebenteil (ii) Den zweiten Integranten schreiben wir als 1 2πi z ζ 1 z ζ < 1) in die geometrische Reihe in z ζ ζ =r+δ f(ζ) z ζ dζ und erhalten den 34

37 und entwickeln (1 ζ z ) 1 mit ζ < z, also ζ < 1 in die geometrische Reihe in ζ, wodurch sich der Hauptteil ergibt (Beweis: selbst!), wobei nun analog zum Beweis von 52 die z z Cauchyformel für die Laurentkoeffizienten folgt Analog wie bei der Cauchyschen Ungleichung 54 folgt nun auch Corollar 613 (Cauchysche Ungleichung für die Laurententwicklung) Ist f(z) holomorph auf dem Kreissring {z r < z z 0 < R} und ist r < r < R und f(z) M auf dem Kreis K r (z 0 ) = {z z z 0 = r } vom Radius r, so gilt a n M (r ) n für alle Koeffizienten a n (n Z) der Laurententwicklung von f(z) bei z 0 Wir können die obigen Ergebnisse insbesondere auf isolierte Singularitäten anwenden Sei f(z) holomorph auf U und sei z 0 eine isolierte Singularität von f(z) Für genügend kleines ε > 0 ist dann die punktierte Kreisscheibe U ε (z 0 ) {z 0 } = {z 0 < z z 0 < ε} in U enthalten Auf diesem entarteten Kreisring, der alle Kreisringe {0 < r < z z 0 < ε} enthält r ε z 0 können wir also f(z) in eine Laurentreihe n= a n (z z 0 ) n entwickeln Der Hauptteil (bzw Nebenteil) dieser Laurentreihe heißt dann auch der Hauptteil bzw Nebenteil von f bei z 0 Wir werden nun sehen, dass man am Hauptteil den Typ der Singularität ablesen kann Lemma 614 Die Singularität von f(z) bei z 0 ist (a) hebbar genau dann, wenn der Hauptteil verschwindet (also a n = 0 für alle n 1), (b) ein Pol genau dann, wenn der Hauptteil nicht-trivial ist und endlich viele Terme besitzt (also a n = 0 für N << 0), (c) eine wesentliche Singularität genau dann, wenn der Hauptteil unendlich viele Terme besitzt (a n 0 für unendlich viele n 1) Beweis (a) ist klar: Ist f hebbar bei z 0, so haben wir eine holomorphe Funktion, die in seine Potenzreihe entwickelbar ist; umgekehrt gibt jede konvergente Potenzreihe eine holomorphe Funktion 35

38 (b) f hat genau dann einen Pol bei z 0, wenn f nicht holomorph ist, aber es ein m > 0 gibt, so dass (z z 0 ) m f(z) holomorph fortsetzbar bei z 0 ist, also eine Potenzreihenentwicklung b n (z z 0 ) n besitzt Dies bedeutet gerade, dass f(z) eine Laurententwicklung (mit a n = b n+m ) besitzt m n= 1 a n (z z 0 ) n + (c) Dies ist gerade der noch verbleibende Fall a m (z z 0 ) n Satz 615 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Ist f in einer Umgebung einer isolierten Singularität beschränkt, so ist die Singularität hebbar Beweis Nach Voraussetzung gibt es ein ε > 0 so dass f(z) M für alle z mit 0 < z z 0 < ε Nach der Cauchy schen Ungleichung 612 für die Laurententwicklung a n (z z 0 ) n gilt n= a n M = M rn r n für alle 0 < r < ε und alle n 1, also a n = 0 für alle n 1, dh, der Hauptteil ist null Bemerkung 616 (Partialbruchzerlegung) Sei f(z) = P (z) Q(z) eine gebrochen rationale Funktion, dh, es seien P (z) und Q(z) Polynome mit Koeffizienten in C, wobei Q(z) nicht das Nullpolynom ist Sei S C die (endliche) Nullstellenmenge von Q(z) Die Singularitäten in S sind hebbar oder Pole Für s S sei r s := min{ord(f, s), 0} die Polstellenordnung von f bei s Dann ist f(z) = R(z) + s S r s n=1 a s,n (z s) n, wobei R(z) ein Polynom ist, nämlich der Rest bei der Polynomdivision von P durch Q, dh, P = T (Z)Q(Z) + R(Z) mit Polynomen T (Z), R(Z), wobei deg R(Z) < deg Q(z), und r s s S n=1 die Summe der Hauptteile bei allen s S a s,n (z s) n 36