SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 3

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1 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 3

2 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das Lernen mit Lernkarten funktioniert nur wenn die Inhalte bereits einmal verstanden worden sind. Ich warne davor diese Lernkarten nur stur auswendig zu lernen. Diese und andere Lernkarten können von heruntergeladen werden. Viel Erfolg bei der SBP Mathe Aufbaukurs 3 Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.at> Diese Lernkarten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz.

3 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 1 by Clifford Wolf Imaginäre und komplexe Zahlen

4 # 1 Antwort Die Quadratwurzeln der negativen reellen Zahlen heißen imaginäre Zahlen. Alle imaginäre Zahlen sind vielfache der Zahl i: 1 = i x = x i (x R + 0 ) D.h. die Quadrate der imaginären Zahlen sind die negativen reellen Zahlen: (xi) 2 = ( xi) 2 = (x 2 ) Die Summen der Gestalt a + bi bilden die Zahlenmenge der komplexen Zahlen C.

5 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 2 by Clifford Wolf Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene

6 # 2 Antwort 2 Im i = 1 i 2 = ( i) 2 = 1 ϕ r i = i Re r = a + bi = a 2 + b 2 ( ) ϕ = arc tan ba [+180 ] a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ)

7 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 3 by Clifford Wolf Darstellungen komplexer Zahlen

8 # 3 Antwort 1. Die algebraischen Form a + bi 2. Die trigonometrische Form r (cos ϕ + i sin ϕ) 3. Die Exponentialform r e iϕ e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ ϕ = arg(a + bi) a = Re(a + bi) b = Im(a + bi) r = a + bi

9 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 4 by Clifford Wolf Summen und Differenzen komplexer Zahlen

10 # 4 Antwort (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entspricht der Addition und Subtraktion der Ortsvektoren in der Gaußschen Zahlenebene.

11 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 5 by Clifford Wolf Produkte komplexer Zahlen

12 # 5 Antwort Ansatz 1: Ausmultiplizieren der algebraischen Form (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Ansatz 2: Multiplikation des Betrages und Addition der Phase in der trigonometrischen Form r(cos ϕ+i sin ϕ) s(cos ψ+i sin ψ) = rs ( cos(ϕ+ψ)+i sin(ϕ+ψ) ) Ansatz 3: Ausmultiplizieren der Exponentialform r e iϕ s e iψ = rs e i(ϕ+ψ)

13 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 6 by Clifford Wolf Konjugiert komplexe Zahl

14 # 6 Antwort Wenn z = a + bi, dann ist z = a bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. z z = (a + bi) (a bi) = a 2 + b 2 Das Produkt aus einer komplexen Zahl und ihrer konjugiert komplexen Zahl ist immer eine reelle Zahl.

15 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 7 by Clifford Wolf Quotienten komplexer Zahlen

16 # 7 Antwort Durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners wird der Nenner reell: a + bi (a + bi)(c di) (ac + bd) + (bc ad)i = = c + di (c + di)(c di) c 2 + d 2 In trigonometrischer Form oder Exponentialform: r(cos ϕ + i sin ϕ) s(cos ψ + i sin ψ) = r s ((cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) ) r e iϕ s e iψ = r s ei(ϕ ψ)

17 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 8 by Clifford Wolf Potenzen komplexer Zahlen

18 # 8 Antwort z n = [r, ϕ] n = [r n, nϕ mod 2π] = r n e nϕi Für r = 1 ergibt sich daraus die Moivresche Formel: (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ fuer alle n N

19 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 9 by Clifford Wolf Wurzeln komplexer Zahlen

20 # 9 Antwort n z = n [r, ϕ] = [ n z, ϕ + k2π mod 2π] n = n z e ( ϕ+k2π n )i k Z D.h. die n-te Wurzel einer komplexen Zahl hat immer n Lösungen in C. Diese Lösungen bilden ein regelmäßiges Vieleck in der Gaußschen Zahlenebene.

21 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 10 by Clifford Wolf Fundamentalsatz der Algebra

22 # 10 Antwort Jede Gleichung der Form c n z n + c n 1 z n c 2 z 2 + c 1 z 1 + c 0 = 0 hat n Lösungen in C, wobei jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt wird.

23 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 11 by Clifford Wolf (Unendliche) Zahlenfolge

24 # 11 Antwort Eine Funktion N R : n a n heißt (unendliche) Zahlenfolge. Man schreibt dafür z.b. a 1, a 2, a 3,..., a n,... oder a n n N oder kurz a n.

25 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 12 by Clifford Wolf Umgebung

26 # 12 Antwort Man Bezeichnet das Intervall ]a ɛ; a + ɛ[ mit ɛ R + als ɛ-umgebung von a oder Umgebung mit dem Radius ɛ um a. Umgebungen können groß sein (wenn nämlich ɛ groß ist), im allgemeinen ist man aber an besonders kleinen Umgebungen interessiert.

27 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 13 by Clifford Wolf fast alle

28 # 13 Antwort Liegen in einer Umgebung unendlich viele Glieder einer Folge, außerhalb dieser Umgebung aber nur endliche viele, so sagt man: fast alle Glieder der Folge liegen in der Umgebung.

29 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 14 by Clifford Wolf Grenzwert einer Folge

30 # 14 Antwort Eine Zahl a heißt Grenzwert einer Folge a n, wenn in jeder Umgebung von a fast alle Glieder dieser Folge liegen. Man schreibt dann: lim a n = a n D.h. man kann zu jedem ɛ einen Index N angeben, so dass höchstens die Glieder a 1 bis a N ausserhalb der ɛ-umgebung um a liegen.

31 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 15 by Clifford Wolf Konvergenz

32 # 15 Antwort Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.

33 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 16 by Clifford Wolf Grenzwertsätze für Folgen

34 # 16 Antwort Seien a n und b n konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b: lim a n + b n = a + b n lim a n b n = a b n lim a n b n = a b n a n lim = a n b n b wenn b 0

35 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 17 by Clifford Wolf Häufungswert einer Folge

36 # 17 Antwort Eine Zahl heißt Häufungswert einer Folge, wenn in jeder Umgebung der Zahl unendlich viele Glieder der Folge liegen.

37 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 18 by Clifford Wolf Monoton wachsende und monoton abnehmende Folgen

38 # 18 Antwort Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn n N : a n+1 > a n. Eine Folge heißt monoton abnehmend, wenn n N : a n+1 < a n.

39 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 19 by Clifford Wolf Obere/untere Schranke

40 # 19 Antwort Eine Folge a n heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl S R gibt, so dass n N : a n S. Jede solche Zahl S heißt obere Schranke von a n. (Analog fuer nach unten beschränkt, unten Schranke.) Die kleinste obere Schranke heißt Supremum. Die gröste untere Schranke heißt Infimum. Eine Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.

41 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 20 by Clifford Wolf Beschränkte Folgen und Häufungswerte

42 # 20 Antwort Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungswert. Jede beschränkte Folge mit nur einem Häufungswert konvergiert gegen diesen Häufungswert. Jede monoton steigende und nach oben beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Supremum. Jede monoton abnehmende und nach unten beschränkte Folge konvergiert gegen ihr Infimum.

43 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 21 by Clifford Wolf Häufungspunkte von Mengen

44 # 21 Antwort Sei M R eine Menge und p R. Man nennt p einen Häufungspunkt von M, wenn in jeder Umgebung um p unendlich viele Elemente von M liegen. Ist p Häufungspunkt von M, dann gibt es eine Folge x n von Elementen aus M mit dem Grenzwert p. Ist p ein Element von M aber nicht Häufungspunkt von M, dann nennt man p isolierter Punkt von M.

45 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 22 by Clifford Wolf Reihe

46 # 22 Antwort Gegeben sei eine Folge a n. Unter der aus dieser Folge gebildeten Reihe versteht man die die Folge der Teilsummen s n = a 1 + a a n. Falls der Grenzwert s = lim s s n existiert so nennt man diese Zahl Summe der Folge a n oder Wert der Reihe s n.

47 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 23 by Clifford Wolf Geometrische Folgen und Reihen

48 # 23 Antwort Eine Folge a n = a 1 q n 1 heißt geometrische Folge. Für die Summe s n der ersten n Glieder dieser Folge gilt: s n = a 1 1 ( ) qn a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + ) 1 q (Satz von Horner) mit a = 1 und b = q Wenn q < 1 so hat die Reihe s n einen Grenzwert s: s = a 1 1 q (wegen lim n qn = 0)

49 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 24 by Clifford Wolf Grenzwerte von Funktionen

50 # 24 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion. Wenn für jede Folge z n mit dem Grenzwert p (z n A und z n p) die Folge f(z n ) denselben Grenzwert q besitzt, so nennt man die Zahl q den Grenzwert von f and der Stelle p. lim f(z) = lim f(z n) = q z p n z n lim n z n = p

51 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 25 by Clifford Wolf Grenzwertsätze für Funktionen

52 # 25 Antwort Seien f : A R und g : A R reelle Funktionen. Falls die Grenzwerte lim z p f(z) und lim z p g(z) existieren, gilt: ( ) lim f(z) + g(z) = lim f(z) + lim g(z) z p z p z p ( ) lim f(z) g(z) = lim f(z) lim g(z) z p z p z p ( ) lim f(z) g(z) = lim f(z) lim g(z) z p z p z p f(z) lim z p g(z) = lim z p f(z) lim z p g(z) wenn lim z p g(z) 0

53 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 26 by Clifford Wolf Grenzwerte besonders einfacher Funktionen

54 # 26 Antwort Die identische Funktion z z: lim z = p z p Die konstante Funktion z c R: lim c = c z p

55 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 27 by Clifford Wolf ε-δ-definition des Grenzwerts einer Funktion

56 # 27 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion, p R eine Häufungsstelle von A, q R der Grenzwert von f an der Stelle p, U pδ eine Umgebung von p in A mit dem Radius δ und U qε eine Umgebung von q in R mit dem Radius ε: lim x p f(x) = q ε>0 δ >0 x U pδ : f(x) U qε In Worten: q ist Grenzwert von f an der Stelle p, wenn es für jede ε-umgebung um q eine δ-umgebung um p gibt, so dass die Funktionswerte von f an allen Stellen der δ-umgebung um p in der ε-umgebung um q liegen.

57 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 28 by Clifford Wolf Definition: Differenzierbarkeit

58 # 28 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion. f ist an der Stelle x A differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x) = lim z x f(z) f(x) z x existiert. Dieser Grenzwert heisst dann Differentialquotient (Änderungsrate, Ableitung) von f and der Stelle x. Ist f in ganz A differenzierbar, so sagt man kurz: f ist differenzierbar.

59 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 29 by Clifford Wolf Definition: Stetigkeit

60 # 29 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion. f ist an der Stelle x A stetig, wenn der Grenzwert an der Stelle x existiert und gleich dem Funktionswert f(x) ist: lim z x f(z) = f(x) f stetig bei x Ist f an jeder Stelle von M A stetig, dann heißt f stetig in M. Ist f in ganz A stetig, so sagt man kurz: f ist stetig.

61 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 30 by Clifford Wolf ε-δ-definition der Stetigkeit einer Funktion

62 # 30 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion, p A und eine Häufungsstelle von A, U pδ eine Umgebung von p in A mit dem Radius δ und f ist stetig an der Stelle p wenn ε>0 δ >0 x U pδ : f(x) f(p) < ε In Worten: Für jedes ε gibt es eine δ-umgebung um p, so dass der Funktionswert von f an allen Stellen der δ-umgebung in einer ε-umgebung um den Funktionswert von f an der Stelle p liegt.

63 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 31 by Clifford Wolf Stetige Fortsetzung einer Funktion

64 # 31 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion und p eine Häufungsstelle von A. Sei weiters q = lim x p f(x) Die Funktion { f(x) x A\{p} f = q x = p heißt stetige Fortsetzung von f in die Stelle p. Grenzwert über die Stetigkeit definiert: Wenn f an der Stelle p stetig ist, dann ist f(p) der Grenzwert von f an der Stelle p.

65 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 32 by Clifford Wolf Stetigkeit von Polynomfunktionen und rationalen Funktionen

66 # 32 Antwort Jede Polynomfunktion ist an jeder Stelle p R stetig. Jede rationale Funktion f(x) = g 1 (x)/g 2 (x) (g 1 und g 2 sind Polynomfunktionen) ist an jeder Stelle p R stetig, die nicht Nullstelle von g 2 ist. Beweis: Anwenden der Grenzwertsätze für Funktionen.

67 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 33 by Clifford Wolf Zwischenwertsatz, Nullstellensatz und Satz vom Vorzeichen stetiger Funktionen

68 # 33 Antwort Sei f : A R eine in [a; b] A stetige Funktion. Zwischenwertsatz: Für jedes q [f(a); f(b)] gibt es ein p [a; b], so dass f(p) = q. D.h. {f(x) x [a; b]} [f(a); f(b)]. Nullstellensatz: f(a) < 0 < f(b) oder f(a) > 0 > f(b) } p [a; b] : f(p) = 0 Satz vom Vorzeichen: f(p) > 0 ε>0 : x [p ± ε] : f(x) > 0

69 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 34 by Clifford Wolf Stetigkeit differenzierbarer Funktionen

70 # 34 Antwort Ist eine Funktion f an einer Stelle p differenzierbar, dann ist f an der Stelle p stetig. Beweis aus dem Differentialquotienten (mit z p): f(z) f(p) z p f(z) = f(p) + f(z) f(p) z p (z p) ( ) f(z) f(p) lim f(z) = lim f(p) + (z p) z p z p z p = f(p) + f (p) 0 = f(p)

71 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 35 by Clifford Wolf Mittelwertsatz und Nullstellensatz der Differentialrechnung

72 # 35 Antwort Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Ist f : A R in [a; b] A differenzierbar, so gibt es mindestens eine Stelle z [a; b] mit f (z) = f(b) f(a). b a Nullstellensatz der Differentialrechnung: Ist f : A R in [a; b] A differenzierbar und gilt f(a) = f(b), so gibt es mindestens eine Stelle z [a; b] mit f (z) = 0.

73 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 36 by Clifford Wolf Untersumme und Obersumme

74 # 36 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion und x 0, x 1, x 2,.., x n eine Zerlegung des Intervalls [a; b] A. In jedem der Intervalle [x i 1 ; x i ] sei f(k i ) der kleinste Funktionswert (bzw. das Infimum) und f(g i ) der grösste Funktionswert (bzw. das Supremum). Dann heißt U = n i=1 f(k i)(x i x i 1 ) Untersumme von f in [a; b] und Obersumme von f in [a; b]. O = n i=1 f(g i)(x i x i 1 )

75 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 37 by Clifford Wolf Integrale und Folgen von Untersummen und Obersummen

76 # 37 Antwort Sei f : A R eine reelle Funktion. Sei U n eine Folge von Untersummen von f über [a; b], wobei das n die Anzahl der Teilintervalle der zugrundeliegenden Zerlegung angibt. Sei O n gleichermaßen eine Folge von Obersummen. Wenn es eine Folge U n und eine Folge O n gibt, sodass beide Folgen gegen den selben Grenzwert konvergieren, dann heißt dieser Grenzwert Integral von f über [a; b] und f integrierbar über [a; b]: lim U n = lim O n = n n b a f(x) dx

77 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 38 by Clifford Wolf Integrierbarkeit von stetigen Funktionen

78 # 38 Antwort Jede auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f ist in diesem Intervall integrierbar. Für in [a; b] stetige Funktionen gilt insbesondere: b a f(x) dx = lim n i=1 n f(x i ) x für eine von f unabhänige Zerlegung (z.bsp. einfach in gleich lange Teilintervalle).

79 SBP Mathe Aufbaukurs 3 # 39 by Clifford Wolf Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

80 # 39 Antwort Sei f : A R eine stetige reelle Funktion und [a; b] A. Dann ist F a : x x a f(t) dt eine Stammfunktion von f. Es ist also F a = f. Beweis durch Umformung: f(x) = lim z x z a f(t) dt x f(t) dt a z x = lim z x z f(t) dt x z x 1 = lim h 0 h x+h x f(t) dt = f(x) h := z x