Inhalt. Vorwort Mittelwertsatz der Integralrechnung... 31

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1 Inhalt Vorwort Stammfunktionen Erklärung der Stammfunktionen Eigenschaften der Stammfunktionen Unbestimmtes Integral Das bestimmte Integral Eigenschaften stetiger Funktionen Neue Definition der Stetigkeit Abschätzung der Differenz zweier Funktionswerte Gleichmäßige Stetigkeit Folgerungen für gleichmäßig stetige Funktionen Rie m a nnsche Summen Erklärung der Rie m a nnschen Summe Grenzwert der Rie m a nnschen Summen Grenzwertdarstellung des bestimmten Integrals Direkte Berechnung bestimmter Integrale Berechnung eines Flächeninhalts Berechnung des Kugelvolumens Mittelwertsatz der Integralrechnung Integralberechnung mit Stammfunktionen Integralfunktion als Stammfunktion Erklärung der Integralfunktion Ableitung der Integralfunktion Integrationsformel Tipps für das praktische Integrieren Tabelle wichtiger Stammfunktionen Rechenregeln für bestimmte Integrale Konstanter Faktor des Integranden Integration einer Summe von Funktionen Zerlegung des Integrationsintervalls Vertauschen der Integrationsgrenzen Symmetrie der Integrandenfunktion Verschiedene Darstellungen der Integralfunktion Monotonieeigenschaft bestimmter Integrale

2 6 Flächeninhalt Bestimmtes Integral und Flächeninhalt Berechnung von Flächeninhalten Fläche oberhalb der x-achse Fläche unterhalb der x-achse Fläche zwischen G f und der x-achse Fläche zwischen zwei Graphen Fläche zwischen mehreren Graphen Musteraufgaben zur Flächenberechnung Uneigentliche Integrale Unbeschränkte Integranden Unbeschränkte Integrationsintervalle Wichtige Begriffe der Integralrechnung auf einen Blick Lösungen Bezeichnungen und logische Zeichen Register

3 2Das bestimmte Integral 2.1 Eigenschaften stetiger Funktionen Eine Vorbemerkung zu diesem Abschnitt: Für die Beweisführung in Abschnitt benötigen wir in Teilintervallen des abgeschlossenen Intervalls [a; b] eine Abschätzung für die Differenz aus dem Maximum und dem Minimum der Funktionswerte. Um zu dieser Abschätzung zu gelangen, müssen wir zunächst die Definition der Stetigkeit einer Funktion durch eine neue, gleichwertige Erklärung ersetzen Neue Definition der Stetigkeit In Analysis 1 hatten wir die Stetigkeit einer Funktion besprochen und dort festgelegt: Die Funktion f heißt an der Stelle x 0 Œ D f stetig, wenn für x Æ x 0 der Grenzwert der Funktionswerte f (x) mit dem an der Stelle x 0 erklärten Funktionswert f (x 0 ) übereinstimmt. Ist x 0 eine innere Stelle eines Intervalls, dann sind in der Definition der Stetigkeit für x Æ x 0 ausdrücklich die Annäherungen x Ø x 0 und x x 0 zugelassen. Ist x 0 eine Randstelle des Intervalls, dann können wir uns der Stelle x 0 nur vom Innern des Intervalls her nähern und sprechen dann von einseitiger Stetigkeit der Funktion f in der betreffenden Randstelle. Die obige Erklärung der Stetigkeit durch lim f (x) = f (x 0 ) ist gleichbedeutend mit der folgenden neuen x Æ x 0 Definition: 16

4 Das bestimmte Integral Die Funktion f heißt an der Stelle x 0 Œ D f stetig, wenn sich zu jeder noch so kleinen positiven Zahl ε eine positive Zahl δ finden lässt, sodass die Ungleichungen f(x) f(x 0 ) < ε und x x 0 < δ gelten. Um diese neue Definition geometrisch zu interpretieren, lösen wir zunächst die Betragsungleichungen: x x 0 < δ x x 0 < δ Ÿ x x 0 > δ x < x 0 + δ Ÿ x > x 0 δ also: x 0 δ < x < x 0 + δ Ebenso: f (x) f (x 0 ) < ε f (x 0 ) ε < f (x) < f (x 0 ) + ε Den Inhalt der neuen Definition der Stetigkeit können wir nun geometrisch anschaulich so beschreiben: Die Funktion f heißt an der Stelle x 0 stetig, wenn sich ein δ > 0 so bestimmen lässt, dass für x Œ ]x 0 δ, x 0 + δ[ die Abweichung der Funktionswerte f (x) von f (x 0 ) beliebig klein gemacht werden kann. In der Figur 3 sehen Sie, wie man nach Vorgabe von ε > 0 das zur Stelle x 0 gehörende δ konstruktiv bestimmen kann. fx () Figur 3 fx ( 0)+ ε G f ε fx ( 0 ) ε fx ( 0) - ε x li x 0 - δ δ x 0 x 0 + δ x re x Mit einem vorgegebenen ε > 0 grenzen wir auf der f (x)-achse das offene Intervall ]f (x 0 ) ε; f (x 0 ) + ε[ ab. Zu den Funktionswerten f (x 0 ) ε und f (x 0 ) + ε gehören auf der x-achse die Stellen x li und x re, die im allgemeinen nicht symmetrisch zur Stelle x 0 liegen. Für jede Wahl von x Œ ] x li ; x re [ liegen dann die zugehörigen Funktionswerte f (x) zwischen f (x 0 ) ε und f (x 0 ) + ε. 17

5 Das bestimmte Integral Damit wir nun ein um die Stelle x 0 symmetrisch gelegenes Intervall erhalten, müssen wir für δ den kleineren der beiden Abstände der Stelle x 0 von den Randstellen x li und x re wählen. Vergleichen Sie dies in der Figur 3. Für x Œ ]x 0 δ, x 0 + δ[ gilt dann erst recht die Ungleichung f (x) f (x 0 ) < ε Abschätzung der Differenz zweier Funktionswerte Wir zeigen nun, dass bei beliebiger Wahl von zwei Stellen x 1 und x 2 aus dem Intervall ]x 0 δ; x 0 + δ[ auch die Differenz der Funktionswerte f (x 1 ) f (x 2 ) dem Betrag nach beliebig klein gemacht werden kann. Dabei kann die Stelle x 0 eine innere Stelle des Intervalls [a; b] oder eine Randstelle sein. Die Funktion f ist nach Voraussetzung an der Stelle x 0 stetig. Wir können deswegen nach beiden Seiten um x 0 das Intervall ] x 0 δ; x 0 + δ[ abgrenzen (oder, falls x 0 eine Randstelle ist, nach einer Seite), sodass für beliebige Stellen x 1 und x 2 aus diesem Intervall die beiden Ungleichungen f (x 1 ) f (x 0 ) < ε und f (x 2 ) f (x 0 ) < ε gelten. Für f (x 1 ) f (x 2 ) schreiben wir f (x 1 ) f (x 0 ) [ f (x 2 ) f (x 0 )] und schätzen dann mithilfe der Formel A B A + B wie folgt ab: f (x 1 ) f (x 2 ) = f (x 1 ) f (x 0 ) [f (x 2 ) f (x 0 )] f (x 1 ) f (x 0 ) + f (x 2 ) f (x 0 ) < ε + ε = 2 ε also: f (x 1 ) f (x 2 ) < 2 ε mit x 1 ; x 2 Œ]x 0 δ; x 0 + δ[ Das heißt aber: Für zwei beliebige Stellen x 1 und x 2, die in der δ-umgebung der Stelle x 0 liegen, kann die Differenz der zugehörigen Funktionswerte dem Betrag nach beliebig klein gemacht werden, denn auch 2 ε ist eine Obergrenze, die immer unterschritten werden kann Gleichmäßige Stetigkeit In der in Abschnitt angegebenen neuen Definition der Stetigkeit ist nach Vorgabe von ε > 0 die Ungleichung f (x) f (x 0 ) < ε für x x 0 < δ erfüllt. Dabei ist die positive Zahl δ > 0 von der Wahl der Stelle x 0 abhängig. Ist aber die Funktion f auf einem abgeschlossenen Intervall [a; b] erklärt und stetig, so kann man beweisen, dass in der obigen Definition der Stetigkeit zu jedem ε > 0 ein bestimmtes kleinstes δ > 0 existiert, welches von der Stelle x 0 unabhängig ist. Mit anderen Worten: Man kommt mit einem bestimmten kleinsten δ für das ganze Intervall [a; b] aus!

6 In der Mathematik formuliert man diesen Sachverhalt als Lehrsatz: Das bestimmte Integral Eine im abgeschlossenen Intervall [a; b] erklärte und stetige Funktion f ist dort gleichmäßig stetig. Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern nur in einem Beispiel zeigen, dass er in einem halboffenen Intervall nicht gilt. Gegeben ist die Funktion f (x) = sin 1 x mit D f = 0 x 0 < x 2 p-. Die Funktion f (x) ist an allen inneren Stellen und an der rechten Randstelle der Definitionsmenge stetig. Interessant ist der Fall, dass wir uns aus dem Innern der Definitionsmenge der Stelle x = 0, die nicht zum Intervall gehört, nähern. Dazu brauchen wir zwei bewegliche Stellen x n und x 0n, die beide von rechts her gegen x = 0 streben. Außerdem sollen die Funktionswerte f (x n ) und f (x 0n ) bequem auszurechnen sein. Wir entscheiden uns für folgende Wahl: x n = 1 n p und x 0n = x n x 0n = e 1 n p 2 x n x 0n = 2 (2n + 1) p 1 n (2n + 1) p = δ Es gilt also: δ Æ 0 für n Æ (2n + 1) pe = e ; n = 1; 2, 3; 2n + 1 2n n (2n + 1) p e = 1 n (2n + 1) p Wir können auch so sagen: Die beiden Stellen x n und x 0n rücken immer näher zusammen und bewegen sich beide auf die Stelle x = 0 zu. Für den Differenzbetrag der zugehörigen Funktionswerte erhalten wir: f (x n ) f (x 0n ) = e sin n p sin U (2n + 1) p 2Ie = ± 1 = 1, da sin n p = 0 und die Sinusfunktion von ungeraden Vielfachen von p 2 1 hat. den Wert 1 oder Wegen f (x n ) f (x 0n ) = 1 können wir zum Beispiel ein festes ε = 1 nicht unterschreiten, obwohl δ Æ 0 geht. 19