3 Integralrechnung. 3.1 Stammfunktion: In der Differentialrechnung:
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- Heiko Breiner
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1 1 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3 Integralrechnung 3.1 Stammfunktion: In der Differentialrechnung: Gegeben: Funktion Gesucht: Ableitung Problem der Differentialrechnung: Bestimmung der Steigung vom Graphen einer differenzierbaren Funktion. Physikalisch: Gegeben: Gesucht: Problemstellung umkehren: Integralrechnung
2 2 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Gegeben: Ableitung Gesucht: Funktion für die gilt heißt Stammfunktion der Funktion Die Rechenoperation, aus einer Ableitung auf eine Funktion zu schließen, heißt Integrieren. Definition: heißt Stammfunktion zu, wenn Beispiel: fig3-1 fig3-2
3 3 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Es sind und zwei verschiedene Stammfunktionen zu : Zwei verschiedene Stammfunktionen der Funktion additive Konstante. unterscheiden sich nur durch eine Die Lösung der Gleichung führt auf eine Kurvenschar
4 4 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Beispiel: Alle Geraden mit der Steigung a sind Graphen der Stammfunktionen zu Um aus dieser Menge eine einzelne Stammfunktion zu bestimmen benötigt man eine zusätzliche Angabe ( Randbedingung ) z.b.: die Kurve soll durch den Punkt gehen. fig3-3 Zusammenfassung: Das Aufsuchen einer Stammfunktion heißt integrieren Die Stammfunktion ist bis auf eine additive Konstante c festgelegt c kann erst durch zusätzliche Randbedingungen festgelegt werden
5 5 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3.2 Das bestimmte Integral: Physikalische Problemstellung: Der Weg zwischen der Kurve und der t-achse, sowie den beiden Geraden, den ein Fahrzeug bei einer Geschwindigkeit zurücklegt, entspricht der Fläche und. fig3-4 fig3-5 Allgemein: Berechnung der Fläche F zwischen: einer beliebigen stetigen Funktion der x-achse der unteren Grenze der oberen Grenze fig3-6
6 mit Teilintervalle zerlegt und wird in 6 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Ober- und Untersumme: Näherungslösung: für alle. In jedem Teilintervall ( ) im Teilintervall Untersumme In jedem Teilintervall ( ) im Teilintervall Obersumme fig3-7 fig3-8
7 7 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Das Riemannsches Integral: In jedem Teilintervall wird ein Zwischenpunkt Zwischenpunkte Verfeinerung der Zerlegung: Die maximale Länge aller Teilintervalle (exakter Wert) F heißt Riemannsche Integral von Zerlegung des Intervalls ist. (Bsp 3.1) über, wenn der Grenzwert unhabängig von der mit gewählt. fig3-9
8 8 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Das Riemannsche Integral existiert stets für: jede Funktion, die auf stetig ist jede beschränkte Funktion, die auf endlich viele Unstetigkeiten besitzt jede auf beschränkte und monotone Funktion Einige Eigenschaften des bestimmten Intgrals: Ist über und über integrierbar, dann ist auch über integrierbar: Ist über integrierbar. Dann gilt:
9 9 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Speziell ist: Sind Dann ist auch und über integrierbar. über integrierbar: Ist Dann ist über integrierbar und über integrierbar: (beliebige reelle Zahl).
10 Funktionen, jede über 10 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Es sind eine endliche Anzahl von integrierbar. Dann ist auch jede Linearkomination mit über integrierbar: Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist über stetig, so existiert mindestens ein, sodass:
11 jeden Zwischenwert in mindestens ein Wert 11 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Sind und die Extremwerte von über, so gilt Wegen der Stetigkeit muß Also muß in zwischen und liegen, für den annehmen. fig3-10
12 12 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Beispiele: Für Wechselspannungen oder andere zeitlich veränderliche Größen definiert man folgende Mittelwerte : mit der Periode T Mittelwert Effektivwert Speziell für elekrische Größen Gleichrichtwert periodisch mit der Periodendauer T:
13 13 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Die spezifische Wärme eines Körpers hängt von der Temperatur ab: Mittlere spezifische Wärme im Temperaturbereich: Integralmittel: Wird nach dem Mittelwertsatz an mindestens einer Stelle angenommen:
14 14 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3.3 Das unbestimmte Integral: Die Berechnung eines bestimmten Integrals als Fläche unter einer Kurve Bestimmung Beispiel 3.1 ist jedoch ersichtlich, daß: durch ist meist mühsam oder erfordert numerische Methoden. Aus ist eine Funktion, deren Ableitung ( ) ist. Die Integration als Umkehroperation zur Differentiation
15 15 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Die Flächenfunktion als Stammfunktion von : Gegeben: Stetige Funktion Gesucht: Fläche unter der Kurve im Intervall Obere Grenze variabel: fig3-11 Flächeninhalt ist eine Funktion der oberen Integrationsgrenze x. x hat nun 2 Bedeutungen: 1. x... obere Intervallgrenze 2. x... Variable von Formales Problem der Doppelbedeutung wird vermieden durch Änderung der Bezeichnung:
16 16 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Variable der Ausgangsfunktion Betrachtet wird nun die Fläche unter der Kurve Untere Grenze: konstant Obere Grenze: variabel : fig Flächenfunktion Eigenschaften von Verschiebung der oberen Grenze um Flächenzuwachs : nach rechts Funktionszuwachs fig3-13
17 17 Rechenverfahren für THP (WS 2002) fig3-14 Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion von f(x) fig3-15
18 18 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Die Integration ist eine Umkehrung der Differentiation Ist über stetig, dann heißt die allgemeinste Stammfunktion von : Ist über stetig und für alle eine Stammfunktion von : Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
19 19 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Berechnung von Integralen: Aufsuchen der Stammfunktion Berechnen der Funktionswerte an den Intervallgrenzen Die Menge aller Stammfunktionen von heißt unbestimmtes Integral:
20 Differentiationstafeln verkehrt lesen 20 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3.4 Integrationstechniken: Verifizierungsprinzip: Integralrechnung: Es gibt kein algorithmisches Lösungsverfahren, das immer zum Ziel führt. Gegeben: Funktion Vermutung: ist Stammfunktion von Überprüfung: differenzieren von und mit vergleichen. gilt Annahme war richtig Dies ist ein Beweis dafür, daß Stammfunktion von ist. Integrationstafeln Stammintegrale: Zu vielen elementaren Funktionen lassen sich mit Hilfe des Hauptsatzes der D-I-Rechnung die zugehörigen Stammfunktionen einfach angeben Grund- oder Stammintegrale
21 21 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Funktion Stammintegral Bem. Funktion Stammintegral Bem.
22 Stammfunktionen von 22 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Konstanter Faktor und Summe: Viele Integrale lassen sich durch elementare Operationen vereinfachen. (siehe Riemannsches Integral). Zuerst vereinfachen, dann nach der Lösung der Integrals in der Tabelle suchen. = = = = = Gilt natürlich auch für
23 23 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Ist bekannt, so gilt: ohne Nullstelle! Der Integrand ist ein Bruch mit : Integration durch Substitution: Beispiel: Berechne Lösung: 1. Auspotenzieren... mühselig 2. Substitution:...
24 24 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Die Substitution erfolgt in 4 Schritten: Beispiel: Wahl einer Hilfsfunktion, die die Aufgabe hoffentlich erleichtert Substitution der Funktion Hilfsfunktion nach x auflösen und differenzieren als Funktion von und Substitution der Differentials Integration Rücksubstitution
25 25 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Aus der Kettenregel leitet sich die Methode zur Transformation (Substitution) der Variablen ab: für stetig. und und Voraussetzung für die Substitutionsmethode: und umkehrbar. Für (über stetig, differenzierbar) Stammfunktion zu f(u) gilt: für stetig, differenzierbar, eindeutig
26 bis 26 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Integration von : Aus dem HS der DI-Rechnung folgt:
27 27 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Substitution bei bestimmten Integralen: Nach der Integration muß zuerst die Rücksubstitution durchgeführt werden. Erst dann können die Grenzen eingesetzt werden. Beispiel: Wahl der Hilfsfunktion Substitution Integration Rücksubstitution
28 28 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Will man auf die Rücksubstitution verzichten, müssen die Integrationsgrenzen entsprechend transformiert werden: Beispiel: Wahl der Hilfsfunktion Substitution Untere Grenze Obere Grenze Integration
29 29 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Partielle Integration: Ableitung eines Produktes von Funktionen: für stetig diffenzierbar. Die Funktion ist Stammfunktion von Methode der partiellen Integration: Ist der Integrand als Produkt zweier Funktionen darstellbar und bei einem Faktor die Stammfunktion bekannt, so ist das Integral berechenbar:
30 30 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Weitere Techniken: Symmetrieüberlegungen: Bestimmte Integrale: Symmetrie-Eigenschaften des Integranden berücksichtigen! Gerade Funktion: : Ungerade Funktion: : Vereinfachung des Intgranden: Speziell bei rationalen Funktionen Substitutionsmöglichkeiten angeben: lassen sich Merkregeln für die Vereinfachung und
31 31 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Gebrochen rationale Funktion: Polynome 1. Vereinfachung von mittels Polynomdivision: ganzer Polynomanteil, Polynome ohne gemeinsamen Polynomfaktor und Grad Grad Ist integrieren und fertig 2. Partialbruchzerlegung von erstellen: 3. Integration des ganzen Teils Formeln (P1 -P6). (einfach) und der Partialbrüche gemäß folgender 4. als Summe der Teilintegrale angeben.
32 32 Rechenverfahren für THP (WS 2002) P-1 P-2 P-3 P-4 P-5 P-6
33 33 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Integration von : R: Rationale Funktion mit Integration von : R: Rationale Funktion Durch die Substitution wird und damit auf ein Intgral einer gebrochen rationalen Funktion zurückgeführt Nicht lösbare Integrale: Viele Integrale widersetzten sich allen Tricks der analytischen Lösung. Sie besitzen (nachweislich) keine Stammfunktion, die sich aus elementaren Funktionen zusammensetzt. D.h.: liefert eine neue, noch nicht erfaßte Funktion. Lösungsmöglichkeit: Reihenentwicklung oder numerische Integration
34 2. Die Fehlerfunktion: 34 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Beispiele: 1. Der Integralsinus: 3. Die elliptischen Integrale:
35 35 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3.5 Uneigentliche Integrale: Gegeben: Gesucht: Fläche lt. Abb. im Intervall fig3-16 Man kann das das Flächenstück F nach rechts beliebig erweitern, in diesem Fall wächst F nicht beliebig an: Uneigentliches Integral
36 wenn der Grenzwert 36 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Man unterscheidet 2 Arten von uneigentlichen Integralen: 1. Integrale, deren Integrationsgrenzen unendlich sind 2. Integrale, deren Integrand innerhalb des Integrationsintervalls gegen oder geht Unendliche Integrationsgrenzen: ist in jedem Intervall mit integrierbar: Das uneigentliche Integral heißt konvergent, existiert. analoge Erklärung getrennte Betrachtung der Grenzwerte an beiden Grenzen
37 37 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Singuläre Integranden: Gegeben: Polstelle bei Gesucht: Fläche lt. Abb. im Intervall Obwohl, ist F in diesem Fall endlich fig3-17 Ist für definiert und hat bei x=a den singulären Funktionswert. Das Integral heißt konvergent, wenn der Grenzwert existiert. Liegt die singuläre Stelle im Integrationsintervall, so muß man es in 2 Teile zerlegen: Existieren beide Grenzwerte, dann ist das uneigentliche Integral definiert.
38 38 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Konvergenz Test: Für (reelle Zahl) Ist auf und auf stetig und sind, dann gilt: fig3-16a
39 39 Rechenverfahren für THP (WS 2002) 3.6 Numerische Integration: In der Praxis ist es oft notwendig Funktionen zu integrieren, deren Stammfunktion nicht bekannt ist, oder deren Verlauf als Wertetabelle vorliegt. Gegeben: Funktionswerte in Tabellenform Gesucht: Das bestimmte Integral Man führt eine äquidistante Zerlegung des Integrationsintervalls durch: für Es gibt dann mehrere Methoden der numerischen Integration. Die einfachsten sind:
40 40 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Sehnentrapezverfahren: : Funktionswert linker Intervallrand : Funktionswert rechter Intervallrand... fig3-18
41 41 Rechenverfahren für THP (WS 2002) Wählt man aus der Zerlegung die Zwischenpunkte, daß in jedem der Teilintervalle genau ein Zwischenpunkt liegt:... fig3-19 Wählt man, dann handelt es sich um das Tangententrapezverfahren. Es gibt noch weitere, verbesserte Methoden zur numerischen Integration: Simpsonsche Regel: Zwischen 3 aufeinanderfolgende äquidistante Funktionswerte werden Parabelstücke gelegt und aus der Summe der Teilstücke die Fläche berechnet.
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