Einführung des Integrals Stammfunktionen Hauptsatz Flächen Mittelwerte Rotationsvolumen

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1 14 Integralrechnung Einführung des Integrals Stammfunktionen Hauptsatz Flächen Mittelwerte Rotationsvolumen Internet:

2 Einführung des Integrals 15 Das Integral wird aus einer geometrischen Fragestellung hergeleitet: Wie bestimmt man die Flächen zwischen einer Kurve und der x-achse innerhalb des Intervalls [a; b]? In der Schule lernt man: b A = f x dx a Dabei gibt es aber einen Haken! Später mehr dazu. a A b

3 Der Hauptsatz 16 In der Schule wird der Zusammenhang zwischen Differenzialund Integralrechnung gezeigt. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: a b f x dx = F x a b = F b F a Hierbei nennt man F(x) eine Stammfunktion von f(x). Es gilt der fundamentale Zusammenhang: F x = f x Dies bedeutet Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens, daher sagt man auch aufleiten.

4 Stammfunktionen 17 Aufgrund des Zusammenhangs F (x) = f(x) sind Stammfunktionen nicht eindeutig bestimmt! Denn x dx = 1 3 x3 und x dx = 1 3 x x3 = x 1 3 x3 + 5 = x Erkenntnis: Stammfunktionen sind bis auf eine Konstante C eindeutig bestimmt. Es gilt also: f(x)dx = F(x) + C

5 Elementare Integrale 18 f(x) = F (x) c f(x) cx + C x n 1 n + 1 xn+1 + C, n 1 sin x cos x + C cos x sin x + C 1 x e x ln x + C e x + C

6 Rechenregeln für Integrale 19 Bezeichnung Rechenregel Summenregel f x + g x dx = f x dx + g x dx Konstanter Faktor c f x dx = c f x dx, c R Kettenregel rückwärts F g x f g x dx = g x Nur wenn g(x) linear ist, d.h. g(x) = mx + b gilt! b c b Intervallregel f x dx = f x dx + f x dx, c R a a c

7 Flächenberechnung mit dem Integral 130 Experiment: Gesucht ist die Fläche zwischen f(x) = sin (x) und der x-achse im Intervall [π; π]. π A = sin x dx = cos x π π π = cos π cos π = 1 1 = Negative Flächen???

8 Flächenberechnung mit dem Integral 131 Erkenntnis: Der Wert des Integrals stellt nicht immer die Fläche unter einer Kurve dar! Verläuft die Kurve teilweise unterhalb der x-achse, so kommt es zu Auslöschungen oder sogar zu einem negativen Vorzeichen! y Maßnahme: Integriere von Nullstelle zu Nullstelle und nimm Beträge! x

9 Rechenbeispiel 13 Gesucht ist die Fläche zwischen f(x) = x 3 + 1,5x 1,5x 1 und der x-achse im Intervall [ ; 1]. y Lösung: A = 0,5 f x dx 1 + f x dx =,5315 0,5 Die gesuchte Fläche beträgt etwa,5le. Mit GTR: f(x) bei Y 1 eingeben, abs(fnint(y 1,X,-,-0.5)) + abs(fnint(y 1,X,-0.5,1)) 0,5 1 x

10 Abi Pflichtteile Aufgabe 133 PT Aufgabe : e Berechnen Sie das Integral. ( VP) x + 4x dx 1 PT Aufgabe : 9 Berechnen Sie das Integral. ( VP) x 1 dx 4 PT Aufgabe : G ist eine Stammfunktion der Funktion g mit g(x) = 3 sin(4x). Der Punkt P 0 1 liegt auf dem Schaubild von G. Bestimmen Sie einen Funktionsterm von G. ( VP)

11 Abi Pflichtteile Lösungen 134 Lösung PT Aufgabe : 1 e x + 4x dx = ln x + x 1 e = 1 + e 0 + = e Lösung PT Aufgabe : 4 9 x 1 9 dx = x dx = 1 1 x1 x = 4 x x 4 9 = = 3 4 = 1 9 4

12 Abi Pflichtteile Lösungen 135 Lösung PT Aufgabe : Bilde zunächst eine Stammfunktion: G x = 3 sin 4x dx = x + 3 cos 4x + C 4 Da P 0 1 auf G liegt folgt G 0 = 1, also 1 = 3 4 cos 0 + C C = 1 4 Daraus ergibt sich der gesuchte Funktionsterm: G x = x cos 4x + 1 4

13 Fläche zwischen zwei Kurven 136 y g x Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven in einem gegebenen Intervall [a;b]? f x Idee: Fläche obere Kurve minus Fläche untere Kurve. a b x b Ansatz: A = f a b x dx g a b x dx = f x g x a dx Vermeide negatives Vorzeichen durch Betragsbildung: b A = f x g x a dx

14 Fläche zwischen zwei Kurven 137 Beachte, dass es bei mehreren Flächenstücken wieder zu Auslöschungen kommen kann! Maßnahme: Bestimme die Schnittpunkte der Kurven, integriere von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und nimm die Beträge. Für obige Abbildung gilt dann: y x 1 x x 3 x x x 3 A = f x g x dx + f x g x x 1 x dx

15 Rechenbeispiel Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x) und g(x) zwischen den Schnittpunkten von Hand. Lösung: y f x = 1 x + x 1 x g x = 1 4 x3 4x 1 Zuerst die Schnittpunkte. g x = f(x) liefert: 1 4 x3 1 x 6x = 0 4 x 3 x 4x = 0 x(x x 4) = 0 x 1 = 0; x = 4; x 3 = 6 mit der p-q-formel.

16 f x = 1 x + x 1 Rechenbeispiel 1 g x = 1 4 x3 4x Nun berechnen wir die Fläche: 0 Es gilt A = f x g x 4 dx Mit f x g x = 1 4 x3 + 1 x + 6x folgt: 0 A = 1 4 x3 + 1 x + 6x dx 4 = = LE² = 1 16 x x3 + 3x 0 4

17 Rechenbeispiel 140 Bestimme die Fläche zwischen den beiden Kurven von f(x) und g(x) im Intervall [x 1 ; x 3 ] mit dem GTR. Lösung: f x = sin x x 1 x x 3 g x = cos 1,5x x Eingaben im Y-Editor: Y 1 = sin x und Y = cos 1.5x Kurven zeichnen lassen mit GRAPH Schnittpunkte mit ND CALC intersect x 1 = π; x = 0,46; x 3 = π

18 Rechenbeispiel 141 Die Fläche ist gegeben durch: 0,46 π A = (f x g(x)) dx + (f x g(x)) dx π 0,46 Dies gibt man im GTR so ein: abs(fnint(y 1 -Y,X,-π,0.46)) + abs(fnint(y 1 -Y,X,0.46,π)) fnint erhält man über MATH, abs erhält man über MATH im Menü NUM Der GTR liefert dann die Fläche mit A = 8,435 LE².

19 Rechenbeispiele Kettenregel 14 Rechenbeispiel 1: e x dx =? Lösung: x = e x dx = 1 ex + C Rechenbeispiel : 1 3x+ dx =? Lösung: 3x + = 3 1 dx = 1 ln 3x + + C 3x+ 3 Rechenbeispiel 3: cos x + 5 dx =? Lösung: x + 5 = cos x + 5 dx = 1 sin x C

20 Mittelwerte 143 Bei endlich vielen Werten arithmetisches Mittel: Alle Werte zusammenzählen und durch die Anzahl der Werte teilen. Mittelwert von 4, 8, 9? m = = 7 3 Was tun bei unendlich vielen Werten, z.b. bei Funktionswerten? Verwende das Integral, weil dieses eine unendliche Summe darstellt.

21 Geometrische Fragestellung 144 a A b f(x) Eine geometrische Frage führt zum selben Problem. Für die Fläche A links finde ein flächengleiches Rechteck mit der Intervalllänge als Grundseite. h = f(x 0 ) A f(x) Idee: Mittelwert der Funktionswerte ist die Höhe des Rechtecks. Mittelwert Integral a b a b

22 Integralformel für Mittelwerte 145 Der Mittelwert m einer Funktion f x im Intervall a; b ist gegeben durch: m = 1 b a a b f x dx Erläuterung: Das Integral bestimmt die Fläche unter der Kurve von f x im Intervall a; b. Fasst man dies als Fläche eines Rechtecks auf, so braucht man nur noch durch die Länge b a zu teilen und erhält die gesuchte Höhe m des Rechtecks.

23 Rechenbeispiele Berechne den Mittelwert von f(x) = x im Intervall 0;. Lösung: m = x dx = 1 1 x 0 = 1 0 = 1. Berechne den Mittelwert von f(x)=sin(x) im Intervall [0;π]. Lösung: m = 1 π 0 = 1 π π 0 sin x dx = 1 π 1 1 = 0 cos x 0 π

24 Gegenüberstellung 147 Diskreter (endlicher) Fall: m = 1 n x x n Kontinuierlicher Fall: m = 1 b a a b f x dx Angenommen man hat im diskreten Fall sehr viele Werte zu addieren. Kann man trotzdem die Integralformel anwenden? Ja man kann! Man muss allerdings Ungenauigkeiten in Kauf nehmen!

25 Rechenbeispiel 148 Ein Messfühler misst jede Stunde, beginnend mit Stunde 0, die aktuelle Umgebungstemperatur in einem Kühlraum. Während der ersten 0 Stunden wird der Temperaturverlauf durch f t = 0 0,05t wiedergegeben. Bestimme die Durchschnittstemperatur innerhalb der ersten 0 Stunden (also bis t = 0) zunächst mit der Integralformel. Bestimmen Sie nun den exakten Wert mit dem GTR und vergleichen Sie die Ergebnisse.

26 Lösung 149 Durchschnittswert mit der Integralformel: Hierbei entstehen Ungenauigkeiten! m = ,05x GTR dx 13,3 Ergebnis: Die Durchschnittstemperatur während der ersten 0 Stunden beträgt näherungsweise(!) 13,3 C.

27 Anmerkungen 150 Den genauen Wert erhält man mit dem GTR über sum(seq(y 1,X,0,0))/1 gefolgt von ENTER. Die Funktion sum erhält man über ND LIST im Menü MATH und die Funktion seq erhält man über ND LIST im Menü OPS. Der genaue Wert beträgt 13,16 C! Gegenüber dem Wert der Integralformel hat man eine Abweichung von etwa 0,167 C. Man muss von Fall zu Fall entscheiden, ob man solche Abweichungen in Kauf nehmen kann oder nicht.

28 Aufgabe 151 Eine Bakterienkultur vermehrt sich in den ersten 10 Stunden seit der Beobachtung exponentiell nach dem Gesetz f t = e 0,t. Hierbei wird t in Stunden und f(t) in Einheiten von gemessen. Welche Durchschnittsgröße hatte die Bakterienkultur zwischen der 4ten und der 8ten Stunde? Lösung: m = e 0,t 4 dt 6,8 (GTR: fnint(y 1,X,4,8)/4) Ergebnis: Zwischen der 4ten und der 8ten Stunde gab es durchschnittlich 6800 Bakterien.

29 Wahlteil 008 Analysis I 3 15 Aufgabe I 3.1 Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 100 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit f t = e 0,01t ; t 0 (t in Minuten, f(t) in Liter) a) Bestimmen Sie die mittlere Flüssigkeitsmenge während der ersten Stunde. Lösung: m = e 0,01t dt = 398,4

30 Rotationsvolumen 153 Rotation um die x-achse Rotation um die y-achse y y f(x) f(x) f(b) a b x a b x f(a) b V x = π f x a dx V y = π f 1 y dy y y 1

31 Umkehrfunktionen 154 Zur Berechnung von V y muss man die Umkehrfunktion f 1 y zu f x bilden. Hierzu löst man die Funktionsgleichung y = f x einfach nach x auf. Auf der rechten Seite der Gleichung steht dann die Umkehrfunktion. Rechenbeispiel: Nach x auflösen: y = f x = x + 5 x = y 5 = f 1 y

32 Aufgaben zur Umkehrfunktion 155 Finde zu folgenden Funktionen die Umkehrfunktion: 1. f x = x + 3. f x = e x 3. f x = x + 4x + 4 Lösungen: 1. x = y 3 f 1 x = x 3. x = ln y f 1 x = ln x 3. x = y f 1 x = x

33 Rechenbeispiel Berechne V x im Intervall 0; und V y im Intervall 0; 4 für f x = x. Lösung V x : V x = π x dx = π 1 5 x5 0 Lösung V y : Bestimme zuerst Umkehrfunktion zu f(x). Löse dazu einfach y = f x nach x auf! y = x x = y = f 1 y 0 4 V y = π y dy = π 1 y = 3 5 π = 8π

34 Rechenbeispiel 157 Für f x = x + berechne V x im Intervall [0; ] und V y im Intervall ; 3. Lösung V x : V x = π x + 0 = π 1 3 x3 + x 0 dx = π x + 0 = π = 0 3 π dx y x

35 f x = x + Rechenbeispiel 158 Lösung V y : Bestimme zuerst die Umkehrfunktion: y y = x + y = x + x = y = f 1 y 3 V y = π y 3 dy = π y dy x = π 1 3 y3 y 3 = π ,885π

36 Wahlteil 005 Analysis I c) 159 Rotationskörper: f t x = t cosx; π x π Das Schaubild von f t schließt mit der x-achse eine Fläche ein. Bei Rotation dieser Fläche um die x-achse entsteht ein Drehkörper. Berechnen Sie dessen Volumen in Abhängigkeit von t. Lösung: π V t = π t cosx π Dieses Integral kann nur mit dem GTR berechnet werden. Die erforderliche Integrationstechnik wird in der Schule nicht mehr unterrichtet! π dx = π t cosx dx 1,57 π t π

37 Rotationsvolumen um parallele Achsen 160 Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers, der um eine Parallele zur x- oder y-achse rotiert? Lösung: Verschiebe f(x) so, dass die neue Funktion g(x) um die x- Achse bzw. um die y-achse rotiert. Berechne V x bzw. V y mit den bekannten Formeln. Die Berechnungen sind meist sehr aufwändig. Entsprechend selten kommt diese Aufgabenstellung im Abitur vor.

38 Wahlteil 007 Analysis I c) 161 Rotationskörper: f x = 4 +cos π x Das Schaubild K rotiert im Intervall 0; 4 um die Gerade mit der Gleichung y = 4/3. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. Lösung: V = π f x dx,34