III. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil 1 - Integralrechnung

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1 III. Integralrechnung 7. Übungen für die Klausur Teil - Integralrechnung Beachten Sie auch die Materialien aus dem Unterricht. Hier finden Sie viele Übungen, die Sie entweder noch nicht gemacht haben oder sinnvoll wiederholen können. Mit * markierte Aufgaben sind Aufgaben, die über den Basisstoff hinaus zum Weiterdenken anregen sollen oder Wiederholungen sind. Solche Aufgaben können auch in der Klausur vorkommen, jedoch in begrenztem Umfang. Wenn Sie wenig Zeit, aber viel Übungsbedarf haben, kann es sinnvoll sein, diese teilweise zu überspringen. Auch ansonsten kann es sinnvoll sein, die Aufgaben in anderer Reihenfolge zu üben oder einige zu überspringen. Beachten Sie beim Üben und der Klausur unbedingt die genaue Aufgabenstellung. Beispiele Berechnen Sie x² dx x² dx = x = In Klausur: hilfsmittelfreier Teil ganz ohne GTR Berechnen Sie x² dx mithilfe der Stammfunktion. Bestimmen Sie x² dx Geben Sie den Wert von x² dx an. 7 = 7 = = = x² dx = x = x² dx x² dx = GTR = Sie müssen die Stammfunktion benutzen, also nicht die die Integralfunktion des GTR. Ansonsten dürfen Sie den GTR aber nutzen. Keine Einschränkung. Sie können also z. B. Run-Matrix {MATH} { }{ dx } nutzen. Die Rechnung muss aber dokumentiert werden, wie im Beispiel. Ergebnis alleine genügt nicht. Ergebnis alleine genügt. A Integral als orientierter Flächeninhalt und absolute Flächen (vgl. III- III-) Geben Sie jeweils die Stammfunktion an: a) f(x) = x² + 7x ; b) p(t) = t + 7; c) g(t) = (t ) t²; d) f (t) = (t + )² Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale a) x dx b) ( 7 + ) x dx c) f(t)=t³; f ( t ) dt Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mithilfe der Stammfunktion: d) ( t ² t + ) dt e) x ( x + )² x ³ dx a) Gegeben: f(x) = x² + x. Bestimmen Sie das bestimmte Integral zu f(x) in den Grenzen a = und b =. b)* Das Ergebnis aus a) ist negativ. Was können Sie daraus mit Sicherheit ableiten? Es können mehrere Antworten richtig sein. ) Die zum Integral gehörige Fläche liegt zumindest teilweise links der y-achse.

2 ) Der Graf von f(x) muss mindestens teilweise unterhalb der x-achse verlaufen ) Der Graf von f(x) ist nicht strikt positiv. ) Der Graf von f(x) ist strikt negativ (verläuft vollständig unterhalb der x-achse) ) Der Graf von f(x) ist monoton fallend. * a) Geben Sie die Formel an, mit der man b) Berechnen Sie x dx. b x dx berechnen kann. * a) Bestimmen Sie können.) k x² dx (k ist eine Konstante, mit der Sie wie mit einer Zahl rechnen b) Bestimmen Sie die Variable k so, dass Berechnung absoluter Flächen k x² dx = wird. Wenn beispielsweise aus dem Schaubild bekannt ist, dass die Fläche ganz oberhalb der x-achse liegt, können Sie die Fläche direkt mit dem Integral berechnen. 7 Gegeben: f(x) = x³ + x² + a) Markieren sie die Fläche, die zu f(x) dx gehört im Schaubild und berechnen Sie deren Flächeninhalt mithilfe der Stammfunktion. b) Wiederholung: Untersuchen Sie den Grafen von f rechnerisch auf Wendepunkte. Wenn nach dem (absoluten) Flächeninhalt gefragt ist: Liegen Teile der Fläche unterhalb der x-achse, müssen diese getrennt berechnet und das Vorzeichen positiv gemacht werden. Gegeben: f(x) = x² + x a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die im Schaubild rechts grau gefärbt ist. b) Bestimmen Sie f(x) dx c*) Erklären Sie anschaulich, wie das Ergebnis aus b) zustande kommt. Wenn Sie die Nullstellen (Übergang vom negativen zum positiven Bereich) nicht aus dem Schaubild ablesen können, müssen Sie sie eben berechnen. 9 Gegeben: f(x) = x³ x² + x (Graf siehe rechts) Bestimmen Sie die Fläche, die von den Geraden x = (links) und x = (rechts) sowie dem Grafen von f und der x-achse begrenzt wird. Versuchen Sie nicht, im Schaubild nachzumessen, da die x- Achse anders skaliert ist als die y-achse. Tipp: Falls Sie einmal wieder Ausklammern und p-q-formel von Hand üben wollen, bestimmen Sie die Nullstellen von Hand, ansonsten mit SolveN.

3 f(t) = t t² + Bestimmen Sie die Fläche, die von den Geraden x = (links) und x = (rechts) sowie dem Grafen von f und der t-achse (entspricht x-achse) begrenzt wird. Tipp: Falls Sie einmal wieder Substitution von Hand üben wollen, bestimmen Sie die Nullstellen von Hand, ansonsten mit SolveN. Manchmal müssen Sie die rechte und oder linke Grenze der Fläche selbst ermitteln. Z. B. in folgendem Fall... Gegeben: f(x) = x² x 7 (Skizze rechts). Bestimmen Sie rechnerisch mit Hilfe der Stammfunktion den Flächeninhalt der Fläche, die der Graf von f zusammen mit der x-achse einschließt. Gegeben: f(x) = x x. Der Graf von f wir mit K bezeichnet. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die K mit der x-achse einschließt. Gute Kopfrechner sollten diese Aufgabe wirklich ohne GTR schaffen, bevor Sie verzweifeln, sollten Sie aber dann doch lieber den Taschenrechner zücken. Flächen zwischen Kurven Wenn Sie Flächen zwischen zwei Funktionen f und g berechnen wollen: obere Funktion untere Funktion bzw. f(x) g(x) dx Sie können stattdessen auch die Differenzfunktion d(x) = f(x) g(x) berechnen und diese integrieren. Dank der Kurzschreibweise mit [ ] ist dieser Umweg jedoch nicht mehr notwendig. Gegeben: f (x) = x² + und f (x) = -x². Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Grafen von f und f sowie den Geraden x = und x = begrenzt wird. Wenn keine rechte oder linke Grenze angegeben ist, dienen logischerweise die Schnittstellen der beiden Funktionen als Grenzen. Diese müssen Sie dann erst berechnen, indem Sie f und g gleichsetzen. Gegeben: p (x) = x² und p (x) = x² +. Ihre Grafen seien K und K. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von K und K begrenzt wird. Achtung: Haben die Funktionen mehr als zwei Schnittpunkte, So müssen Sie die Abschnitte einzeln integrieren, da f mal ober- und mal unterhalb von g verlaufen kann. Gegeben: = +, f(x) x x p(x) = x x + a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt den die Grafen von f und p gemeinsam einschließen. (S. Skizze.)

4 b*) Berechnen Sie a). f(x) p(x) dx und erklären Sie das Ergebnis in Zusammenhang mit Teilaufgabe c*) Zeigen Sie, dass ein Schnittpunkt der Grafen von f und p gleichzeitig ein Hochpunkt von f ist. Und jetzt ohne Skizze... * Gegeben: f(x) = x + und p(x) = 9x² a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Grafen von f und p begrenzt wird. Falls Sie nicht genug von Substitution bekommen können, können Sie die Schnittstellen von Hand berechnen, ansonsten empfehle ich SolveN. b)* Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Schnittpunkte von f und p rechts von der y-achse verläuft. c)* Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Schnittpunkte von f und p links von der y-achse verläuft. d)* Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und g. 7* Zeichnen Sie mit spitzem Bleistift, damit Sie bei Bedarf radieren können. Nutzen Sie den GTR möglichst viel. Wenn Sie nach einigem Überlegen nicht weiter wissen, schauen Sie in die Lösung. Aber immer nur einen Schritt nachschauen und verstehen und dann wieder selbst probieren. So lernen Sie, eine komplexere Aufgabe zu lösen. Gegeben: = +. Ihr Graf heißt K. f(x) x x a) Eine Fläche wird durch K und die x-achse begrenzt. Bestimmen Sie den Flächeninhalt A. b) Die Fläche aus a) wird durch die Gerade g: y = x in zwei Teile zerlegt. Der obere hat den Flächeninhalt A, der untere A. Bestimmen Sie A. c) Bestimmen Sie A Tipp: Das können Sie im Kopf rechnen, da Sie die Ergebnisse aus a) und b) kennen. d) Wie groß ist der Anteil von A an A in Prozent? B Einführung in die Integralrechnung (vgl. III- III-) Gegeben: f(x) = x a) Zeichnen sie f in ein Koordinatensystem b) Schraffieren Sie im Koordinatensystem die zu c) Bestimmen Sie Stammfunktion zu verwenden) f(x) dx gehörende Fläche. f(x) dx geometrisch (also den Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen, ohne die Gegeben: f(x) = x + a) Zeichnen sie f in ein Koordinatensystem b) Schraffieren Sie im Koordinatensystem die zu g(x) dx gehörende Fläche.

5 c) Bestimmen Sie A = g(x) dx geometrisch. d) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie das Integral mit Hilfe der Stammfunktion berechnen. Und etwas schwerer: Gegeben: f(x) = x + a) Zeichnen Sie den Grafen von f(x) in ein Koordinatensystem. b) Die y-achse, die x-achse und der Graf von f(x) begrenzen zusammen eine Fläche. Bestimmen Sie deren Flächeninhalt exakt. Zeichnen Sie die zu den folgenden bestimmten Integralen gehörenden Flächen in die Grafen ein. Bestimmen sie den zugehörigen Flächeninhalt näherungsweise geometrisch a) x dx + 9 b) x x + dx * Gegeben: f(x) = x. Diese Funktion kennen Sie noch nicht, aber wozu haben Sie einen GTR a) Zeichnen Sie f(x) im Bereich x =.. in ein Koordinatensystem. (Tipp: GTR Menü abzeichnen) b) Schätzen Sie anhand des Schaubildes einen Näherungswert für x dx. c) Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals aus c) mit Hilfe des GTR. d) Sie sehen, dass das Schaubild ein Viertelkreis ist. Berechnen Sie damit den Flächeninhalt zum Vergleich. Bestimmen Sie jeweils die Stammfunktion: a) f(x) = x² + 7x ; b) p(t) = t + 7; c) g(t) = (t ) t²; d) f (t) = (t + )² Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale mithilfe der Stammfunktion. a) x dx b) ( 7 + ) x dx c) f(t)=t³; f ( t) dt d) ( t ² t + ) dt e)* x ( x + )² x ³ dx

6 7 a) F(x) = x + x x b) P(t) = t + 7t c) Erst ausmultiplizieren, dann Stammfunktion bestimmen! g(t) = (t ) t² = t³ t² d) Entweder mit. binomischer Formel: f (t) = (t+)² = t² + t +² = t² + t + 9 G(t) = t t F (t) = t + t + 9t Oder von Hand ausmultiplizieren: f (t) = (t+)² = (t+) (t+) = t² + t + t + = t² + t + 9 x dx = x = = a) ( ) b) ( ) ( ) F (t) = t + t + 9t x + dx = x + x = + + = + + = 7 +, = +, = 9, =, t dt = t = ( ) = = c) ( ) Tipp: Wenn Sie 7 herausbekommen, haben Sie einen Vorzeichenfehler gemacht. Achten Sie auf die Klammer um! d) ( t ² t + ) dt = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7, = + + = t t t e) Erst den Integranden ausmultiplizieren! x ( x + )² x³ dx = x ( x² + x + ) x³ dx = x³ + x² + x x³ dx 97 = x ² + x dx = + = + + = =, x x GTR a) x + x dx = oder: x + x dx = x + x x = + = b) ) und ) sind richtig. Siehe Schaubild rechts. Hinweis: ) ist definitiv falsch. ) und ) könnten zwar theoretisch stimmen, müssen es aber nicht. Im Schaubild rechts sehen Sie, dass ) und ) tatsächlich nicht stimmen. ( ) a) b b 9 9 x dx = x = b 9 9 b) 9 x dx = = 7 9 a) ( ) b) k x² dx = k x = k k = k = k k x² dx = k = Tipp: / ist der Kehrbruch von /. 7 Gegeben f(x) = x³ + x² + a) Die Fläche ist im rechten Bild grau hinterlegt. x x dx x x x + + = + + = = 7 A = 7 FE b) Ableitungen: f (x) = Wendepunkte: x² + x; f (x) = -x + ; f (x) = - k = = = 9 k = 9 Notwendiges Kriterium: f (x) = -x + = - -x = - :(-) x W = Hinreichendes Kriterium: f () = - W. P.

7 y-wert: f() = ³ + ² + = 7 Wendepunkt: W ( 7) a) Linke Teilfläche: Rechte Teilfläche: GTR x² + x dx = A = GTR x² + x dx = A = Gesamtfläche = A + A = + =, FE GTR b) x² + x dx = c) Die beiden Teilflächen A und A sind gleich groß. Die negative Teilfläche hebt sich mit der positiven im Integral auf. 9 f(x) = x³ x² + x Nullstellen: f(x) = x³ x² + x = (GTR SolveN) x =, x =, x = Alternativ von Hand: x(x² x + ) = x x + x dx =,. Faktor: x =. Faktor: x² x + = x² x + = x =, x = (GTR) A =, FE x x + x dx = (GTR) A = FE x x + x dx =, (GTR) A =, FE Summe: A = A + A + A =, + +, = FE f(t) = t t + Nullstellen: f(t) = t t + = (GTR) t/ ± ; u = t / ± alternativ von Hand: f(t) = t t + = : t t + 7 = Substitution: u = t² = ± = ± x/ u² u + 7 = u / = ± ² 7 = ± u =, u = Rücksubstitution: u = t / ± ; u = t / ± t t + dt,7 (TR) A =,7 FE t t + dt 99,7 t t + dt,7 (TR) A = 99,7 FE (TR) A =,7 FE Summe: A = A + A + A =,7 + 99,7 +,7 FE Die linke und rechte Grenze sind hier die Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen). Also: Nullstellen: x² x 7 = x/ = ± ² + 7 = ± x = -, x = 7 7 x² x 7 dx = x³ x² 7x =, A =, 7 = 7³ 7² 7 7 ( )³ ( )² 7 ( ) 7

8 Tipp: Falls Sie 7 herausbekommen, haben Sie vermutlich die Klammern um vergessen. Auch hier sind die Grenzen links und rechts die Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen). x x Nullstellen: f(x) = = x³ x² = x²(x ) =. Faktor: x² = x =. Faktor: x = + x = x x dx = x x = 9 = ( ) = = = = A,7 f (x) f (x) dx = x² + ( x² ) dx = x + dx = A = Das Zusammenfassen des Integranden ist nicht unbedingt notwendig. Sie können das Integral auch nicht zusammengefasst in Ihren GTR eintippen. Schnittstellen: p (x) = p (x) x² = -x² + +x²+ x² = : x² = x/ = ± ( ) p (x) p (x) dx = x² x² + dx = x² dx = x x ( ) ( ) = = + = + = = A = f(x) = x x +, p(x) = x x + a) Schnittstellen: f(x) = p(x) x x + = x x + (GTR) x =, x =, x = ( ) f(x) p(x) dx = 7 x x + x x dx + = (GTR) A = 7 ( ) f(x) p(x) dx = 7 x x + x x dx + = (GTR) A = 7 Gesamtfläche: A = A + A = = 7 b) f(x) ( ) =, FE p(x) dx = x x + x x + dx = (GTR) g verläuft erst ober- und dann unterhalb von p. Es ergibt sich also einmal eine positive und einmal eine negative orientierte Fläche. Da beide gleich groß sind, heben Sie sich im Integral gegenseitig auf. c) Bestimmung der Extrempunkte von f: f (x) = x² x; f (x) = x Notwendiges Kriterium: f (x) = x² x = x(x ) =. Faktor: x E = ;. Faktor: x = x E = Hinreichendes Kriterium: f () = = < H. P. y-koordinate: f () = = > T. P. wird nicht benötigt Antwort: f und p schneiden sich an der Stelle x = und dort liegt zugleich der Hochpunkt von f.

9 a) Schnittstellen: f(x) = p(x) x + = 9x² (GTR: SolveN) x/ = ± ; v = 9 x / = ± ; alternativ von Hand:: f(x) = p(x) x + = 9x² -9x² x 9x² + = : x x² + = Substitution: v = x²: v² v + = v/ = ± = ± v = ; v = 9 Rücksubstitution: v = x/ = ± ; v = 9 x / = ± ; f(x) p(x) dx = x + ( 9x ) dx = A = f(x) p(x) dx = x + ( 9x ) dx = A = f(x) p(x) dx = x + ( 9x ) dx = A = Gesamtfläche A = A + A +A = + + = 7 a) Als erstes brauchen Sie die Nullstellen: f(x) = x =, x = (Sie brauchen hierfür den fx99-es) GTR 7 Damit klar: A = f(x) dx = x x + dx = =, b) Zeichnen sie g in das Schaubild ein (g geht durch den Ursprung und hat die Steigung m =, ist also eine Diagonale von links unten nach rechts oben). Beschriften Sie A und A. Die rechte Grenze von A entspricht dem Schnittpunkt S von f und g. Berechnen Sie den Schnittpunkt S von f und g: f(x) = g(x) x x + = x (GTR :SolveN) xs,7, xs,7, xs = Markieren Sie die Schnittpunkte im Schaubild. Dann wird klar, dass x S = für Sie relevant ist. Die Fläche mit dem Flächeninhalt A besteht aus zwei Hälften. Nennen Sie den Teil, der links von der y-achse liegt A a und den rechts davon A b. Zeichnen Sie sie in das Schaubild ein. A a ist eine Fläche unter K und damit leicht zu berechnen: A a = GTR f(x) dx = x x + dx = =, A b ist eine Fläche, die von zwei Grafen begrenzt wird: Wie Sie jetzt erkennen können, wird die Fläche nach links von der y-achse und nach rechts von x= begrenzt. Außerdem liegt Sie zwischen K und der Geraden g. GTR 9 f(x) g(x) dx = x x + x dx = =, Also: A b = ( ) Damit ist A = A a + A b =, +, =. c) Natürlich könnten Sie jetzt ähnlich wie in b arbeiten. Einfacher geht es so: Die Gesamtfläche hat den Flächeninhalt A =, und die obere Teilfläche A =. Also: A = A A =, =, d) Nun ja, das ist lange her: p = A % = % 7,%. A, 9

10 a) b) siehe rechts 9 c) f(x) dx = = =, (rechtwinkliges Dreieck) a) b) siehe rechts c) A = g(x) dx = A + A = + = FE (Rechteck + rechtwinkliges Dreieck) Es gibt auch andere Möglichkeiten, die Fläche sinnvoll zu zerlegen. d) F(x) = x² + x = x² + x + = ( ) = + + x dx F() F() = + 9 ( ) ( 7) + = + + = = A = FE a) siehe rechts. Falls sie noch Probleme mit dem Zeichnen von Geraden haben: Steigungsdreieck: nach rechts, nach unten, oder schöner: nach rechts und nach unten. b) Die Fläche ist im Bild leicht einzuzeichnen (s. rechts). Die Schwierigkeit liegt darin, die Breite des Dreiecks zu bestimmen. Ablesen ist zu ungenau es war ja eine exakte Lösung verlangt. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Z. B.: Die Breite entspricht der x-koordinate des Schnittpunktes S x der Geraden f(x) mit der x-achse (s. Illustration). Schnittpunkte mit der x-achse (Nullstellen) können Sie leicht berechnen: f(x) = x + = x = x = Mehr brauchen wir nicht: Breite des rechtwinkligen Dreiecks:, Höhe:. Also A = = FE. Wer das nicht hinbekommt, muss eben näherungsweise ablesen und halber Punktzahl leben. a) Zeichnung rechts. Ich habe ein Rechteck zur Näherung verwendet, das, Längeneinheiten breit und, hoch ist und komme damit auf eine Fläche A =,, =, FE. Werte zwischen und 9 sind akzeptable Näherungen. b) Zeichnung rechts. Ich habe ein Rechteck zur Näherung verwendet, das Längeneinheiten breit und, hoch ist und komme damit auf eine Fläche A =, =, FE. Werte zwischen, und sind hier akzeptable Näherungen. a) siehe rechts b) Sie können beispielsweise ein Quadrat mit Kantenlänge als grobe Näherung wählen. Akzeptable Werte liegen zwischen und. c) 9,

11 d) Kreis: A = π r² = ² π = π. Für den Viertelkreis also A= π 9,. 7 a) F(x) = x + x x b) P(t) = t + 7t c) Erst ausmultiplizieren, dann Stammfunktion bestimmen! g(t) = (t ) t² = t³ t² G(t) = t t d) Entweder mit. binomischer Formel: f (t) = (t+)² = t² + t +² = t² + t + 9 F (t) = t + t + 9t Oder von Hand ausmultiplizieren: f (t) = (t+)² = (t+) (t+) = t² + t + t + = t² + t + 9 Sie können alternativ natürlich auch die Kurzschreibweise mit den rechteckigen Klammern benutzen, z. B. [ ] ( ) x dx = x³ = = a) f(x) = x² F(x) = x³ x dx = F() = = Zwischenschritt habe ich mir gespart : x³ = x³ 7 b) f(x) = 7x + F(x) = x + x 7 7 7x + dx = F() F() = + + = =, ( ) ( ) c) f(t) = t³ F(t) = t ( ) ( ) t dt = F() F() = ( ) = Wenn Sie 7 herausbekommen, haben Sie einen Vorzeichenfehler gemacht. Achten Sie darauf, die Klammer um die in den TR einzutippen! d) f(t) = t² t + F(t) = ( ) ( ) t t + t t² t + dt = F( ) F( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) = 7, e) Erst den Integranden ausmultiplizieren! Binomische Formel nützlich! f(x) = x (x + )² x³ = x (x² + x + ) x³ = x³ + x² + x x³ = x² + x F(x) = x³ + x² 97 f(x) dx F() F(), ( ) = = = + + = =