Flächen zwischen zwei Kurven
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- Claudia Förstner
- vor 6 Jahren
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1 Flächen zwischen zwei Kurven 1 E
2 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Beispiel 1 Abb. B1: Die Fläche zwischen zwei Kurven f (x) und g (x) im Intervall [a, b], f (x) ist die obere Kurve und g (x) ist die untere Kurve 1 1
3 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Beispiel 2 Abb. B2a: Die von den Kurven f (x) und g (x) eingeschlossene Fläche im Intervall [a, b], f (x) ist die obere Kurve und g (x) ist die untere Kurve 1 2a
4 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Beispiel 2 Abb. B2b: Die von den Kurven f (x) und g (x) eingeschlossene Fläche 1 2b
5 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Beispiel Abb. B: Die Fläche zwischen zwei Kurven f (x) und g (x) im Intervall [a, b] 1
6 Flächen zwischen zwei cckurven: Aufgaben 1, 2 Es soll die Fläche zwischen der Funktion f (x) und g (x) von x = a bis x = b berechnet werden: Aufgabe 1: a ) f x = x 1, g x = e x, a =, b = b ) f x = x 1, g x = e x 2, a =, b = Aufgabe 2: f x = x 4, g x = x, a =, b = 4 2 A
7 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 1a y f (x) g (x) x Abb. L1a: Die Fläche zwischen Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, ], f (x) ist die obere Kurve und g (x) ist die untere Kurve f x = x 1, g x = e x, x [, ] A = A 1 A 2 = [ f x g x ] dx = [ x 1 e x ] dx = [ = x 2 2 x ] e x = 15 2 e 6.55 FE 2 1a
8 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 1a Die Formel b A = a f x g x dx bleibt auch dann gültig, wenn eine oder beide Funktionen negative Werte annehmen. Lediglich ihre Differenz f (x) g (x) bestimmt den durch beide Kurven berandeten Flächeninhalt. 2 1b
9 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 1b y f (x) g (x) x f x = x 1, g x = e x 2, x [, ] Die Funktionen aus dem Beispiel 1a) werden nach unten verschoben. Wir bestimmen den Flächeninhalt zwischen diesen Funktionen im Bereich [, ] A = Abb. L1b: Die Fläche zwischen Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, ], f (x) ist die obere Kurve und g (x) ist die untere Kurve [ f x g x ] dx = [ x 1 e x ] dx = 15 2 e = 6.55 FE 2 1c
10 Flächen zwischen cc zwei Kurven Es ist für die Flächenberechnung zwischen zwei Kurven nicht wichtig, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der x Achse liegt. 2 1d
11 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 2 f (x) y g (x) P x Abb. : Die Fläche zwischen Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, 4] f x = x 4, g x = x, x [, 4] Es ist möglich, dass sich die Funktionen im Integrationsbereich [a, b] schneiden. Bei der Flächenberechnung muss dann der Integrationsbereich am Schnittpunkt unterteilt werden. Bildet man die Differenz f (x) g (x), so ist diese für x < 2 positiv und für 2 < x 4 negativ. 2 2a
12 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 2 Das Integral 4 A = 4 f x g x dx = 4 2 x dx = [4 x x 2 ] 4 = beschreibt damit nicht die gesuchte Fläche. Daher muss der Integrationsbereich bei der x-koordinate des Schnittpunktes beider Geraden (x = 2) unterteilt und die zwei Teilflächen einzeln berechnet werden. 2 A = 4 f x g x dx 2 g x f x dx = 2 = 4 2 x 4 dx 2 2 x 4 dx = 8 FE 2 2b
13 Flächen zwischen cc zwei Kurven Die Vorgehensweise bei der Flächenberechnung zwischen zwei Kurven im Bereich [a, b]: Man bestimmt sämtliche Schnittpunkte der Funktionen f (x) f (x) und g (x) (bzw. die Nullstellen der Differenzfunktion f (x) g (x)) Man teilt das Integrationsintervall [a, b] in Teilbereiche ein. In jedem der Teilbereiche berechnet man den Integralwert und addiert anschließend die Beträge sämtlicher Integrale. 2 2c
14 Flächen zwischen zwei cckurven: Aufgaben 5 In manchen Aufgabenstellungen sind die Intervallgrenzen a und b nicht explizit gegeben. Gesucht ist eine Fläche, die von zwei Kurven eingeschlossen wird. Die Integrationsgren zen sind in diesem Fall die Abszissenwerte der Schnittpunkte beider Kurven. Diese Grenzen müssen vor dem Aufstellen des Integrals ermittelt werden. Gesucht ist der Inhalt der Fläche, die von den Kurven mit den Gleichungen y = f (x) und y = g (x) eingeschlossen wird Aufgabe : f x = 2 x, g x = 1 4 x 2 Aufgabe 4: f x = x 2 2 x, g x = x Aufgabe 5: f x = x 2 2 x, g x = x, I = [, 1] A
15 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung y f (x) g (x) a b x Abb. 4 1: Die zwischen den Kurven f (x) und g (x) eingeschlossene Fläche f x = 2 x, g x = 1 4 x 2 1 Um das Integrationsintervall festzulegen, bestimmen wir zunächst die Schnittstellen der beiden Kurven: 4 A = 2 x = x 2 [ f x g x ] dx = 4 x 64 x =, x 1 =, x 2 = 4 4 [ 2 x 2 ] x 4 dx = [ 4 x / 2 12] x 4 = FE
16 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 4 y g (x) f (x) x Abb. 4 2: Die zwischen den Kurven f (x) und g (x) eingeschlossene Fläche f x = x 2 2 x, g x = x Wir bestimmen die Schnittstellen der beiden Kurven: x 2 2 x = x x x =, x 1 =, x 2 = 2 A = [ g x f x ] dx = = [ 2 x 2 x x x 2 2 x dx = ] dx = 9 2 = 4.5 FE x x 2 dx =
17 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 5 y g (x) f (x) x Abb. 4 : Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, 1] f x = x 2 2 x, g x = x Die Schnittstellen der beiden Kurven: x 1 =, x 2 = x 2 [, 1] 1 A = 1 [ g x f x ] dx = x x 2 dx = FE
18 Flächen zwischen zwei cckurven: Aufgaben 6 9 Die von den gegebenen Funktionen begrenzte Fläche ist zu ermitteln: Aufgabe 6: f x = 2 x 2 x 4, g x = x 1, I = [, 1] Aufgabe 7: f x = x 4 x, g x = x, I = [ 1, 1] Aufgabe 8: f x = x 1, g x = x e x2, I = [, 2] Aufgabe 9: f x = 2 x 2 1, g x = 4 x 16, I = [ 2, 5] 4 A
19 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 6 y f (x) x g (x) Abb. 5-1: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, 1] f x = 2 x 2 x 4, g x = x 1, x [, 1] A = = 1 [ f x g x ] dx = [2 x 2 x 4 x 1 ] dx = = [ 2 x x x 2 2 x ] = 29
20 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 7 y f (x) g (x) x Abb. 5 2: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x) im Intervall [ 1, 1] f x = x 4 x, g x = x, x [ 1, 1] x 4 x = x x x 2 5 = x 1 = 5, x 2 =, x = 5 x 2 I = [ 1, 1], x 1, x I 4 2 A = 1 1 [ f x g x ] dx [ f x g x ] dx = 4.5
21 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 8 y f (x) g (x) x Abb. 5 : Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x) im Intervall [, 2] f x = x 1, g x = x e x2, x [, 2] 2 A = 2 [ f x g x ] dx = [ x 1 x e x 2 ] dx = [ x x e x ] 2 2 = = 7 2 e 4 2 4
22 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 9 y f (x) g (x) x Abb. 5 4: Die Fläche zwischen den Kurven f (x) und g (x) im Intervall [ 2, 5] f x = 2 x 2 1, g x = 4 x 16, x [ 2, 5] 4 4a
23 Flächen zwischen zwei cc Kurven: Lösung 9 Wir bestimmen die Schnittstellen der beiden Kurven f (x) = g (x): 2 x 2 1 = 4 x 16 x 2 2 x =, x 1 = 1, x 2 = 1 A = 2 [ f x g x ] dx 1 5 [ f x g x ] dx [ f x g x ] dx = 1 = 2 2 x 2 2 x dx 1 5 x 2 2 x dx x 2 2 x dx = = 2 [ x 1 [ x x 2 ] x 2 x 2 ] x 1 [ x x 2 ] 5 x = = = b
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