Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung"

Edmund Knopp
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Testklausur K Integralrechnung# Pflichtteilaufgaben zur Integralrechnung Aufgabe : Gib jeweils eine Stammfunktion an: a) f () = ² + f () = Aufgabe : Ermittle eine Stammfunktion für a) f() = n Für welche Zahl n lässt sich nach der Potenzregel keine Stammfunktion von f angeben? c) 8 + f() = Gib F() vereinfacht an. f() = Gib F() vereinfacht und wieder mit Wurzel an. + 5 Aufgabe : Gib eine Stammfunktion an: a) f() = sin() 7 f () = ( + 6) c) f() = cos() d) f() = ( ) e) f() = 6 + f) g) 5 f () = + π h) f() = 5 ( + 6) i) j) f() = sin( ) k) f(t) = t t l) Aufgabe : f () = ( + ) f() = f() = + Die Integralfunktion I ist für alle reellen Zahlen definiert durch I () = (t + )dt. Entscheide, welche der Aussagen wahr sind und begründe deine Entscheidung. a) I () = tdt + I () = c) I () = + d) Die Funktion I ist im ganzen Definitionsbereich monoton wachsend. Aufgabe 5: Bestimme den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der -Achse über dem Intervall [a;b]. (Tipp: Eine Skizze im Vorfeld (ohne GTR) ist hier nicht verkehrt). a) f () = ; [- ; ] f() = ; [ ; ] c) f() = ; [- ; ] d) f() = ; [- ; ]

2 Testklausur K Integralrechnung# Aufgabe 6: Für welchen Wert von a gilt: a a) d = a ( a)( + a)d = Aufgabe 7: In untenstehendem Koordinatensystem ist das Schaubild einer Funktion f eingezeichnet. Skizziere das Schaubild einer Stammfunktion F von f in diesem Koordinatensystem. Wahlteilaufgaben zur Integralrechnung Aufgabe 8: Bestimme mit Hilfe des GTR (Dokumentiere deine Vorgehensweise): a) Den Flächeninhalt zwischen dem Schaubild von f() = und der -Achse. Den Flächeninhalt zwischen den Schaubildern der Funktionen f() = + +,5 und g() =,5 +,5 Aufgabe 9: In einen Kreis mit dem Radius R ist ein Quadrat einbeschrieben (siehe Abbildung unten). Die Flächenstücke zwischen dem Kreis und dem Quadrat rotieren u eine Diagonale des Quadrats (-Achse). Gesucht ist das Volumen des zugehörigen Drehkörpers. a) Beschreibe zwei unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten. Berechne das Volumen mit Hilfe der Integralrechnung über geeignete Randfunktionen.

3 Testklausur K Integralrechnung# Aufgabe : Die Fläche zwischen dem Schaubild von f mit f() = und der -Achse über dem angegebenen Intervall rotiert um die -Achse. Untersuche, ob der entstehende Drehkörper einen endlichen Rauminhalt hat; gib diesen gegebenenfalls an: a) [; [ ]; ] Aufgabe : Die Punkte A(/), B(6/), C(6/) und D(/5) bilden ein Trapez. Die Trapezfläche rotiert um die -Achse. Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers. Aufgabe : Ein Wasser führender Stollen hat einen parabelförmigen Querschnitt von 6 m Sohlenbreite und,5 m Scheitelhöhe. Wie viel m³ Wasser kann der Stollen in Sekunde führen bei einer Füllung bis zu drei Fünftel der Scheitelhöhe und einer Höchstgeschwindigkeit des Wassers von m/s? Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f durch f() = + mit D =. Ihr Schaubild schließt mit der positiven -Achse eine Fläche ein. Gesucht wird eine Gerade mit der Gleichung y = m, die diese Fläche halbiert. Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f() = + und ihre Kurve K. a) Bestimme die Gleichung der Tangente t im Hochpunkt von K. Bestimme den Inhalt der Fläche, die K und die Tangente t miteinander einschließen. c) Für welche(n) Wert(e) von a hat die von den senkrechten Geraden = und = a, der Tangente t und K eingeschlossene Fläche den Flächeninhalt? d) Prüfe, ob für a ein Grenzwert eistiert.

Testklausur K Integralrechnung# Aufgabe 5: Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f() = +, g() = + und h() =. Durch ihre Schaubilder werden verschiedene Flächen eingeschlossen.

Aufgabe 6: Wie groß ist die Fläche, die das Schaubild von f mit f() = mit der Normalen im Punkt P ( / f( )) einschließt? Bestimme den Flächeninhalt auf zwei Dezimalen gerundet.

4 Testklausur K Integralrechnung# Aufgabe 5: Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f() = +, g() = + und h() =. Durch ihre Schaubilder werden verschiedene Flächen eingeschlossen. Genau zwei dieser Flächenstücke werden durch alle drei Schaubilder begrenzt. Welchen Inhalt haben diese beiden Flächenstücke zusammen? Aufgabe 6: Wie groß ist die Fläche, die das Schaubild von f mit f() = mit der Normalen im Punkt P ( / f( )) einschließt? Bestimme den Flächeninhalt auf zwei Dezimalen gerundet. Aufgabe 7: Das Bild zeigt die Funktion f () = + sin() im Bereich π sowie die Gerade mit der Gleichung y = π und die Tangente an das Schaubild von f im Ursprung. π a) Berechne f ()d und f ()d. Berechne den Inhalt des markierten Flächenstücks. c) In welchem Verhältnis teilt die waagrechte Tangente an das Schaubild von f das Flächenstück aus Teilaufgabe? d) In welchem Verhältnis teilt die Tangente im Ursprung das Flächenstück aus Teilaufgabe? Aufgabe 8: Durch ft () = t ist für t eine Funktionenschar gegeben. a) Lasse dir die Schaubilder G t für die Werte t = ; t =,5 ; t = ; t =,5 zeichnen. Berechne die Gleichung der Kurve T, auf der alle Tiefpunkte der Schar liegen.

5 Testklausur K Integralrechnung# c) Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen der Verbindungsstrecke der Tiefpunkte einer Scharkurve und der Kurve T. d) In welchem Verhältnis teilt G t die in c) berechnete Fläche? Aufgabe 9: Die Temperatur eines Tages verlaufe nach der Gleichung y = 5 ( ). Dabei bedeute y die Temperatur in C und die Zeit in Stunden, beginnend um Uhr bei =. a) Berechne die mittlere Tagestemperatur. Berechne die mittlere Temperatur zwischen Uhr und Uhr. c) Berechne die mittlere Temperatur zwischen Uhr und Uhr.

Ähnliche Dokumente

Mathematik - Oberstufe

Mathematik - Oberstufe Pflicht- /Wahlteilaufgaben und Musterlösungen ur Integralrechnung Zielgruppe: Oberstufe Gymnasium Schwerpunkt: Stammfunktion, Flächenberechnung, Rotationsvolumen Aleander Schwar