Liechtensteinisches Gymnasium

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1 Schriftliche Matura 2015 Liechtensteinisches Gymnasium Prüfer: Huber Sven Klasse 7Wa Zeit: 240 Minuten Name: Klasse: Instruktionen: 1) Gib die zur Rechnung nötigen Einzelschritte an. 2) Skizzen müssen klar beschriftet sein. 3) Der Taschenrechner und die Formelsammlung sind erlaubt. 4) Schreibe Deinen Namen auf alle verwendeten Blätter. 5) Bitte verwende keine ROTEN Stifte. 6) Verwende für jede Aufgabe einen separaten A3 Bogen. Aufg.1 Aufg.2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Darstellung Total Punkte Erreichte Punkte Viel Glück und gutes Gelingen wünscht Sven Huber

2 Aufgabe 1: Vektorgeometrie (Wintergarten) 27 Punkte (Alle Masse sind in m) a) Berechne die Koordinatenform der Ebene ADS. (Teilergebnis: x+y+2z-20=0) b) Zeige, dass die Punkte C und B in der Ebene ADS liegen. c) Senkrecht zur Ebene ADS und durch den Ursprung soll eine Dachstütze erstellt werden. Berechne die Länge dieser Dachstütze. d) Berechne die Koordinaten des Punktes wo die Dachfläche auf der Dachstütze aufliegt. e) Zeige, dass die Geraden (AD) und (BC) parallel sind und berechne deren Abstand. (Teilergebnis Abstand: 3 m 1.73 m) f) Berechne die gesamte Fläche des Daches. (Tipp: Berechne die Fläche des Dreiecks und die des Trapezes) g) Berechne den Neigungswinkel der Dachebene gegenüber der Bodenebene.

3 Aufgabe 2: Analysis 27 Punkte Gegeben ist die Funktion f x = 3x e bcde. a) Diskutiere die Funktion. (auf die dritte Ableitung wird verzichtet) Definitionsbereich, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte (Teilergebnis W 2 g e ), Zeichnung des Graphen. b) Berechne die Gleichung der Wendetangente und zeichne sie in Deiner Skizze ein. c) Berechne die Fläche, die vom Funktionsgraphen, der x-achse und der Wendetangente vollständig eingeschlossen ist. (Alle Rechenschritte müssen vorhanden sein.)

4 Aufgabe 3: Folgen und Reihen 13 Punkte Ein Architekt und eine Mathematikerin heiraten. Über das Aussehen der Hochzeitstorte haben sie unterschiedliche Vorstellungen. Der Architekt schlägt eine vierstöckige Torte vor (jedes Stockwerk hat die geometrische Form eines geraden Kreiszylinders). Das erste (unterste) Stockwerk hat einen Radius von 25 cm und eine Höhe von 10 cm. Jedes weitere Stockwerk ist ebenfalls 10 cm hoch, hat jedoch einen jeweils 20 % kleineren Radius als das Stockwerk darunter. a) Gib die explizite Formel an, wie man den Radius r i und das Volumen V i des nten Stockwerks einer Torte berechnet. b) Berechne den Radius r l und das Volumen V l des vierten Stockwerks sowie das Volumen T l der gesamten vierstöckigen Torte. c) Die Mathematikerin hingegen möchte, dass sich nicht nur der Radius, sondern auch die Höhe von Stockwerk zu Stockwerk um 20 % verringert. Das erste Stockwerk hat die gleichen Abmessungen wie bisher. Welche Gesamtho he H kann eine solche Mathematikerinnen-Torte aus beliebig vielen Stockwerken höchstens haben? d) Der Konditor kann nur Stockwerke herstellen, welche mindestens 3 mm dick sind. Aus wie vielen Stockwerken kann die Mathematikerinnen-Torte unter dieser Bedingung höchstens bestehen? Löse die Aufgabe mit Hilfe einer Ungleichung.

5 Aufgabe 4: Trigonometrie 13 Punkte Dem Rechteck ABCD mit den Seiten AB = 8 und BC = 4 wird ein Halbkreis einbeschrieben (Mittelpunkt M, Radius MA). Die Diagonale AC schneidet den Halbkreis in S. a) Berechne die Seiten und Winkel des Dreiecks ASD. b) Wie viel Prozent der Rechtecksfläche beträgt der Inhalt des Dreiecks ASD?

6 Aufgabe 5: Vermischte Kurzaufgaben i) Fussgängertunnel 28 Punkte Ein 15 m langer Fussgängertunnel hat den untenstehenden Querschnitt. Alle Masse sind in Zentimeter. Der innere Ausschnitt hat die Form einer quadratischen Parabel. Wie viel Beton (Volumen und Masse) wird für den Bau des Tunnels benötigt? Hinweis: 1 m 3 Beton hat eine Masse von 2.3 Tonnen. ii) Kreis: a) Bestimme die Gleichung des Kreises K durch die Punkte A 8 3, B 10 9 und C 4 5. (Teilergebnis x 2 t + y 3 t = 100) b) Berechne die Tangente an den Kreis K im Punkt B. c) Berechne die Schnittpunkte des Kreises K und der Geraden g: x 3y 3 = 0.

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