HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt. Mathematik II für Bauingenieure. (f) 4 sin x cos 5 x dx. 3 x e x2 dx (i) e 2x 1 dx.
|
|
- Christin Hausler
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik II Mathematik II für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben zur Prüfungsklausur im Juli Integralrechnung Aufgabe 1 : Berechnen Sie die folgenden Integrale (a) x ln x dx (b) (x 2 1)e x dx (c) 3 8x 4 dx (d) 1 3 5x 7 dx (e) 4x x 2 +8 (g) (h) 2e 3x e 2x 1 dx Aufgabe 2 : 0 (f) 4 sin x cos 5 x dx 3 x e x2 dx (i) 0 1 x 1 dx Für die folgenden Flächen F der Ebene berechne man den Flächeninhalt: a) F = {(x, y) R 2 0 x 2π, 0 y sin x } b) F = {(x, y) R 2 0 y 1 und y x 2 y}. Aufgabe 3 : Gegeben sei die Kurve r : t I r(t) = x(t) = 3t 2 1, y(t) = 3t 3 t,. x(t) y(t) R 2 mit I = (a) Skizzieren Sie die Spur der Kurve r. (b) Geben Sie den Tangentialvektor r(t) an (c) Für welche t I ist die Tangente parallel zur y-achse? (d) Berechnen Sie die Länge L der Kurve r. [ ] 1 1 3, 3 und Aufgabe 4 : Man skizziere die folgenden Kurven und berechne ihre Bogenlänge (a) x = t6 6, y = 2 t4 4 Kurvenstück zwischen den Koordinatenachsen (b) x = 4 ln(t), y = 2t + 2 t Kurvenstück zwischen P 1 = (0, 4) und P 2 = (8 ln 2, 17 2 ) Aufgabe 5 : Man skizziere die folgenden Kurven und berechne den Inhalt desjenigen von ihnen begrenzten Flächenstückes, das den Punkt P = (x, y) enthält. (a) y = x 2, y = x; P = ( 1 2, 1 2 ) (b) y = 1 x, y = 1 4 x, y = 4x; P = ( 1 2, 1)
2 Aufgabe 6 : Berechnen Sie den Inhalt der Mantelfläche die entsteht, wenn der Graph der Funktion y = f(x), x I um die x-achse rotiert. (a) y = f(x) = r 2 x 2, x r, (b) y = f(x) = sin x, 0 x π. Tipp für (b): Substitution t = cos x, Integral nachschlagen Aufgabe 7 : Das zwischen den Punkten P 1 = (1, 1) und P 2 = (3, 4) gelegene Stück der Geraden 3x 2y = 1 rotiere (a) um die x-achse und (b) um die y-achse. Die entstehende Rotationsfläche und zwei Kreisflächen begrenzen einen Kegelstumpf. Berechnen Sie dessen Volumen, seine Mantelfläche, sowie die Oberfläche. 2 Differentialrechnung Aufgabe 8 : Gegeben sind die Funktion f und der Punkt P 0. Ermitteln Sie gradf und gradf(p 0 ). (a) f(x, y) = e y x2, P 0 = (1, 2) (c) f(x, y) = x+y x y, P 0 = (2, 1) Aufgabe 9 : (b) f(x, y) = sin(x + 2y), P 0 = (π/9, π/9) Für die durch die Funktion z = f(x, y) = x 2 + xy 2 (x + y) gegebene Fläche F berechne man im Punkt P 0 = (2, 1) die Richtungsableitung, sowie den zugehörigen Anstiegswinkel (a) in positiver Richtung der Koordinatenachsen, (b) in Richtung zum Punkt Q 0 = ( 1, 3), (c) in Richtung der Vektoren v 1 = (3, 4) T, v 2 = (1, 1) T, (d) in Richtung des Gradienten der Funktion. Aufgabe 10 : Gegeben sei die Funktion f aus R 2 in R mit f(x, y) = x ln(xy) + x 2. (a) Geben Sie den gröstmöglichen Definitionsbereich D f und den Rand D f an. Ist D f eine offene oder abgeschlossenen Menge? (b) Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von f. (c) Geben Sie den Gradienten grad f(x, y) sowie die Hesse-Matrix H f (x, y) von f an. (d) Für welche Punkte (x, y) R 2 ist die Hesse-Matrix H f (x, y) positiv definit? Skizzieren Sie den entsprechenden Bereich in der Ebene. (e) Für welche Richtung v hat der Anstieg f (a) der Funktion f im Punkt a = (1, 1) den größten bzw. den kleinsten Wert? Geben Sie jeweils den zugehörigen Wert f (a) an. (f) Für die Höhenlinie der Funktion f, die durch den Punkt a = (1, 1) verläuft, gebe man eine Gleichung für die Tangente im Punkt a an. Wie groß ist der Anstieg f (a), falls v ein Richtungsvektor der Tangente ist? (g) Man gebe die Differentiale df(x, dx) und d 2 f(x, dx) an mit x = (x, y) und dx = (dx, dy). (h) Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene der Funktion f im Punkt a = (1, 1) an.
3 Aufgabe 11 : Für die folgende Funktion f(x, y) berechne man die Gleichung der Tangentialebene sowie das vollständige Differential df(x, dx) im Punkt (x 0, y 0 ). Im Fall (b) und (c) skizziere man für jeweils drei selbstgewählte Konstanten c die zugehörigen Höhenlinen N c (f) (a) f(x, y) = sin(xy + 2x 2 ) + y ln x und (x 0, y 0 ) = (1, 2) (b) f(x, y) = x + y 2 und (x 0, y 0 ) = (3, 7) 2 (c) f(x, y) = und (x 3 x 0, y 0 ) = (1, 1) 2 y 2 Aufgabe 12 : Man bestimme und klassifiziere die lokalen Extremwertstellen der folgenden Funktionen f auf D (a) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy + x + 5y, D = R 2 (b) f(x, y) = x 3 3xy 2 + 3y 2, D = R 2 (c) f(x, y) = x4 2 6xy + y2 5 (d) f(x, y) = 8x 3 12xy + 3y Aufgabe 13 : Ermitteln Sie die lokalen Extrema von z = f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: (a) f(x, y) = 6x 2 y, g(x, y) = x 2 y 8, (b) f(x, y) = xy 2, g(x, y) = x 2 + y 2 1. Aufgabe 14 : Bestimmen Sie die globalen Extremwertstellen von f : D R 2 R mit f(x, y) = x 3 + 2y 3 27x 6y + 13 und D = {(x, y) x 1, y 1, x + y 2} 3 gewöhnliche Differentialgleichungen Aufgabe 15 : Klassifizieren Sie die folgenden Differenzialgleichungen und geben Sie die allgemeine Lösung an. (a) y = e x y 1 (b) y 2y + 2y = 2t (c) xy + y = x sin x (d) 3x(x + y) 2 dx + ((2x 3 + 3x 2 y)dy = 0 (e) y 7y + 6y = cos x (f) (x 2 + 2)y + xy x(x 2 + 2) = 0 (g) x = e t x (h) y 4y + 13y = e 2x sin 3x (i) y + 9y = cos 3t (j) y 2x sin x 2 + (x + cos y)y = 0 Aufgabe 16 : Man löse folgenden Anfangswertaufgaben: (a) y = xy + 2x, y(0) = 2 (b) xyy + y = 0, y( 1/2) = 3 (c) x + yy = 0, y(1) = 3 (d) y + 2y + y = 0, y(0) = 3, y (0) = 0 (e) 16y + 8y + y = 80, y(0) = 1, y (0) = 0 (f) y = 9y, y(0) = 0, y (0) = 3 4 Bereichsintegrale, Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale s. Übungsserien 8,9,10
4 Lösungen 1. (a) x2 2 ln x 1 4 x2 + c, c R, (b) (x 1) 2 e x + c, c R, (c) 1 4 ( 8x 4) 3 + c, c R, 3 (5x 7)2 + c, c R, (e) 4 x c, c R, (f) 2 3 cos6 x + c, c R, (d) 3 10 (g) 2e x + ln ex 1 e x (a) 4, (b) c, c R, (h) 1 2, (i) infty + ln 2 + = unbestimmt 3. (b) r(t) = (6t, 9t 2 1) T, (c) t = 0, (d) (a) 13 3, (b) (a) 1/3, (b) 2 ln 2 6. (a) 4πr 2, (b) 2π V M O (a) 14π 5π 13 π( ) (b) 13π 4π 13 π( ) 8. (a) grad f(p 0 ) = ( 2e, e) T, (b) grad f(p 0 ) = (1/2, 1) T, (c) grad f(p 0 ) = ( 2, 4) T 9. (a) f x = 4 75, 96 o, f y = 3 71, 56 o, (b) , 99 o 1, (c) 0, , 69 o 35, 26 o, (d) 10. (a) D f = {(x, y) R (x > 0 und y > 0) oder (x < 0 und y < 0)}, D f = {(x, y) R x = 0 oder y = 0}, D ist offen, (b) f x = ln(xy)+1+2x, f y = x/y, f xx = 1/x+2, f xy = f yx = 1/y, f yy = x/y 2, ln(xy) x) (c) grad f(x, y) =, 1/x + 2 H f (x, y) = 1/y, (d) H f (x, y) x/y 1/y x/y 2 ist positiv definit für alle P = (x, y) mit x < 1/2 und y < 0, (e) steilster Anstieg für v = grad(f)(1, 1) = (3, 1) T, Anstieg 10 72, 45 o, steilster Abstieg für v = gradf(1, 1) = ( 3, 1) T, Abstieg: 10 72, 45 o, (f) y = 3x+4, Anstieg: 0, (g) df(x, dx) = f x (x)dx+ f y (x)dy, d 2 f(x, dx) = f xx (dx) 2 + 2f xy dxdy + f yy (dy) 2, (h) 3x + y z = (a) z = y + 2, df(x, dx) = dy = y + 2, (b) x 14y z = 49, df(x, dx) = (x 3) 14(y + 7), (c) 2x + 2y z = 2, df(x, dx) = 2(x 1) + 2(y 1) 12. (a) P = (1, 3) lokales Minimum, (b) P 1 = (0, 0) keine Aussage, P 2 = (1, 1), P 3 = (1, 1) Wendepunkte, (c) P 1 = (0, 0) Wendepunkt, P 2 = (3, 9), P 3 = ( 3, 9) lokale Minima, (d) P 1 = (0, 0) Wendepunkt, P 2 = (1, 2) lokales Minimum 13. (a) lokales Maximum: P 1 = (0, 8, 0), lokale Minima: P 2 = (2, 4, 96), P 3 = ( 2, 4, 96), (b) lokale Minima: P 1 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 2 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 3 = (1, 0, 0); lokale Maxima: P 4 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 5 = ( 1/3, 2/3, 4/27), P 6 = ( 1, 0, 0) 14. globales Maximum: P 1 = (1, 1, 9), globales Minimum: P 2 = (3, 1, 37) 15. (a) y = ± 2e x + c, c R (b) y = 1 + t + e t (c 1 cos t + c 2 sin t), c 1, c 2 R (c) y = cos x + 1 x sin x + c x, c R (d) y = 2 3 x ± 1 3 x2 /2 + c/x 2, c R (e) y = 1 74 (7 cos x + 5 sin x) + c 1e x + c 2 e 6x + c 3, c 1, c 2, c 3 R (f) y = c x (x2 + 2), c R (g) x = ln(e t + c), c R
5 (h) y = 1 6 xe2x cos 3x + e 2x (c 1 cos 3x + c 2 sin 3x), c 1, c 2 R (i) y = c 1 cos 3t + c 2 sin 3t + 1 6t sin 3t (j) yx + cos(x 2 ) + sin y = c, c R 16. (a) y = 2 + 4e x2 /2, (b) y = 1 + 1/x 2, (c) y = 4 x 2, (d) y = 3e x (1 + x), (e) y = 80 + ( x/4)e x/4, (f) y = sin 3x
Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am 20.07.2017 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 gesamt erreichbare P.
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrOrdnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z = f(x, y) zu:
6. Februar 2012 Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe 1: Die folgenden Bilder zeigen drei Niveaumengen N 0 {(x, y) R 2 : f(x, y) 0}: Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen z f(x, y) zu: (a) z (x
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
MehrPrüfungsklausur Höhere Mathematik II (22. Juli 2006) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (. Juli 6) für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: In der x-y-ebene seien die Mengen A {(x, y) : x } und
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrPrüfungsklausur Höhere Mathematik II (20. Juli 2005) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (2. Juli 25) für MB, EC, TeM, FWK, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe : Sei f(x, y) eine in einem Gebiet zweimal stetig differenzierbare
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am 9.7.8 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 4 5 6 7 8 9 gesamt erreichbare P. 6 6 7 (5) (+5)
MehrPrüfung Modul A, Teil 2 (Mathematik 2) (Fernstudium Bauingenieurwesen)
Name: Vorname: Matrikelnummer: TU Dresden, Fachrichtung Mathematik, Dr. N. Koksch 6. Februar 8 Prüfung Modul A, Teil (Mathematik ) (Fernstudium auingenieurwesen) ewertet werden nur solche Lösungsschritte,
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
MehrSchwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare Felder Kurvenintegrale. Aufgabe 9.2 Aufgabe 9.
9. Mehrdimensionale Analysis 1/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 2/42 Schwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (B) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 2 25. Juli 29, 3. - 7. Uhr (2.Termin) Aufgabe : - Lösungen zum Theorieteil - Geben Sie eine Funktion f : R 2 R an, für die die Niveaumenge
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
Mehr9. Lineare Gleichungssysteme
9. Lineare Gleichungssysteme. Aufgabe: estimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x ; x ; x 3 ; x 4 ) T des Gleichungssystems 3x x + x 3 + x 4 = 4x + 8x 3 + x 4 = 3 x + x + 6x 3 x
MehrTechnische Universität München. Probeklausur Lösung SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel & Carla Zensen Ferienkurs Analysis für Physiker Probeklausur Lösung SS Aufgabe Differenzierbarkeit / Punkte: [4,, 3, 4] Es sei f(x, y) = sin(x3 + y 3 ) x +
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik. Mathematik für Bauingenieure. Wiederholungsaufgaben: Mathematik I
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik I Wiederholung Mathematik für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben: Mathematik I Aufgabe : Für die Aussagenverbindung T = (A B) ( A) gebe man
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 15
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 15 1. Der Wert einer Funktion f : R R fällt am schnellsten in die Richtung (a) (b) (c) der minimalen partiellen Ableitung. entgegengesetzt
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrMathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.
Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe
Mehrf(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y
7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende
MehrProbeklausur. 1 Stetigkeit [7 Punkte] 2 Differenzierbarkeit [10 Punkte] Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS Karolina Stoiber Aileen Wolf
Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 26 A Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (
MehrPROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II
PROBEPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften Für diese Probeprüfung sind ca 4 Stunden vorgesehen. Die eigentliche Prüfung wird signifikant
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August BIOL-B GES+T PHARM Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir führen Polynomdivision durch und erhalten (x 3 5) : (x ) = x +x+ 4 x. Also ist g(x) die Asymptote von f(x)
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Übungsaufgaben Serie 5: Folgen Funktionen Dierentialrechnung Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 206/207 Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 13 Dr. Ana Cannas Serie 13: Online Test Einsendeschluss: 31. Januar 214 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrMathematik für Betriebswirte II (Analysis) 2. Klausur Sommersemester
Mathematik für Betriebswirte II (Analysis). Klausur Sommersemester 7 3.9.7 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:................................................................... Vorname:....................................................................
MehrMathematik 2 SS 2016
Mathematik 2 SS 2016 2. Übungsblatt Gruppe 1 18. Man zeige, dass die Gleichung f(x, y) = y 5 e y (2x 2 + 3) sin y + x 2 y 2 x cos x = 0 in einer Umgebung des Punktes P (0, 0) nach y aufgelöst werden kann,
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung
MehrI 1. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (d) 4cosxdx (e) 3e x dx (f) ( e x + x 2) dx
Integralrechnung: I. Ermittle von den folgenden Funktionen jeweils Stammfunktionen: (a) y =,5 (b) y = + (c) y = 5 (d) y = 3 (e) y = (f) y = (g) y = 3 (h) y = (i) y = 3 4 4 (j) y = 6 + 3 (k) y = 3 + 4 (l)
MehrAnalysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007
Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,
MehrBASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II
ETH Zürich Sommer 015 Dr. Ana Cannas BASISPRÜFUNG MATHEMATIK I UND II für die Studiengänge Agrar-, Erd-, Lebensmittelund Umweltnaturwissenschaften 1. Sei a) Ist das System lösbar? b) Lösen Sie das System
MehrAufgabe 2 (5 Punkte) y = 1 x. y + 3e 3x+2 x. von f. (ii) Für welches u in R 2 gilt f(u) = [3, 3, 4] T? x 2 + a x 3 x 1 4x 2 + a x 3 2x 4
Prof. Dr. B. Billhardt Wintersemester 4/5 Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II (BNUW) 4.3.5 Aufgabe (a) Ermitteln Sie die Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 4z 3 + 3z + 8z. Tipp: p( + i) =. (b)
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 12. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
MehrEine Funktion f(x) lasse sich in einem Intervall in eine Potenzreihe a n x n entwickeln. Geben Sie eine Potenzreihendarstellung für f (x) an.
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II 5. Juli 7) für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe : Eine Funktion fx) lasse sich in einem Intervall in eine
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrProf. Dr. Rolf Linn
Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen
MehrNachklausur Analysis 2
Nachklausur Analysis 2. a) Wie ist der Grenzwert einer Folge in einem metrischen Raum definiert? Antwort: Se (a n ) n N eine Folge in dem metrischen Raum (M, d). Diese Folge besitzt den Grenzwert g M,
MehrMathematik II Sammlung von Klausuraufgaben
Mathematik II Sammlung von Klausuraufgaben Die Klausur wird aus etwa 10 Aufgaben bestehen. Die folgenden Aufgaben sollen einen Eindruck vom Typ der Aufgaben vermitteln, die Bestandteil der Klausur sein
MehrD-MAVT/D-MATL FS 2018 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie19. sind weder parallel noch stehen sie senkrecht aufeinander.
-MAVT/-MATL FS 8 r. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie9. ie Fläche S sei einerseits durch die Parameterdarstellung (u, v) r(u, v) und andererseits durch die Gleichung f(x, y, z) = gegeben. Wir betrachten
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (A) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 5. Juli 8, 8. - 1. Uhr (1.Termin) - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: Die -periodische Funktion f : R R sei auf [, ) gegeben durch + 3,
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
Mehr3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)
Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. Christian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 0/) Aufgabe 3.: Gehen Sie die Inhalte der
MehrAnalysis 7. f(x) = 4 x (x R)
Analysis 7 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben ist die Funktion f durch fx) = 4 x R) a) Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch Nullstellen, Koordinaten der lokalen Extrempunkte,
MehrExtrema multivariater Funktionen
Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater
MehrKapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen Inhaltsverzeichnis FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN... 3 BEISPIELE UND DARSTELLUNGEN... 3 GRENZWERT UND STETIGKEIT (ABSTANDSBEGRIFF)...
MehrÜbungsbeispiele Differential- und Integralrechnung
Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrLösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis
Prof Dr H Garcke, D Depner SS 09 NWF I - Mathematik 080009 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Nachklausur zur Analysis Aufgabe Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ( y
MehrPrüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am 9.02.204 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 2 3 4 6 7 8 9 0 gesamt erreichbare P. 8 0 3
MehrHöhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung
TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen
MehrSelbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. 1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Dr. Ute Feldmann, Maximilian Becker Selbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. Die 3 Kreise mit Ampelfarben dienen der Selbsteinschätzung.
MehrBergische Universität Wuppertal Klausur zur Mathematik für Ingenieure - Bachelor
Bergische Universität Wuppertal Klausur zur Mathematik für Ingenieure - Bachelor.9.4 Prof. Dr. M. Heilmann, Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Aufgabe Punkte. Zeigen Sie für alle n IN mittels Induktion die Gleichung
MehrLösung zur Prüfung HM 1,2 el+phys+kyb+geod, Teil 2
Lösung zur Prüfung HM, el+phys+kyb+geod, Teil Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung 9.7.6 Name Vorname Matr.-nummer Raum Anmerkungen zur Korrektur:...
Mehr1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Übungsaufgaben zu Kapitel. Übungsaufgaben zu Abschnitt... Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen ( a k ) k und ( b k ) k auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert:
MehrKLAUSUR. Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing) Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf
KLAUSUR Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing).9.7 Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Unterschrift: In der Klausur können Sie insgesamt
MehrÜbung (13) dx 3, 2x 1 dx arctan(x3 1).
Übung (3) () Bilden Sie folgende Ableitungen: d xe x dx x ln x, d dx +cos (x), d d dx 3, x dx arctan(x3 ). () Geben Sie die Näherung. Ordnung für den Ausdruck / p v /c für v
Mehr(n + 1)2. + n. ((n 1) + 1)2. = (n2 + 2n) A = 21 13
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. E. Teufel, Dr. N. Röhrl, J. Spreer MUSTERLÖSUNG FÜR KLAUSUR Mathematik inf / sotech / tpinf Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n gilt
MehrGrundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau)
Prof. Dr. J. Ruppenthal Wuppertal, 3.8.8 Dr. T. Pawlaschyk Grundlagen der Mathematik (BSc Maschinenbau) Aufgabe. (5+5+5+5 Punkte) a) Geben Sie für jede der folgenden Aussagen an, ob sie WAHR oder FALSCH
Mehrist ein Eigenvektor der Matrix A = Ist λ der Eigenwert zum Eigenvektor x der Matrix A, so gilt dafür A x = λ x, also
5. Juli Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Der Vektor x = ist ein Eigenvektor der Matrix A = Bestimmen Sie den zum Eigenvektor x zugehörigen Eigenwert. 3 3 3 3 (Hinweis: Es ist nicht erforderlich, das
MehrSerie 3. z = f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 z 2 = 9 (x 2) 2 (y 3) 2, z 0 9 = (x 2) 2 + (y 3) 2 + z 2, z 0.
Analysis D-BAUG Dr Cornelia Busch FS 2016 Serie 3 1 a) Zeigen Sie, dass der Graph von f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 eine Halbkugel beschreibt und bestimmen Sie ihren Radius und ihr Zentrum z = f(x, y) =
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
MehrHeinrich-Hertz-Oberschule, Berlin
Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler Teilnehmer: Maximilian Ringleb Jakob Napiontek Kay Makowsky Mallku Schlagowski Trung Duc Nguyen Alexander Reinecke Herder-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule,
MehrMusterlösungen Aufgabenblatt 2
Jonas Kindervater Ferienkurs - Höhere Mathematik III für Physiker Musterlösungen Aufgabenblatt Dienstag 17. Februar 009 Aufgabe 1 (Implizite Funktionen) f(x, y) = x 1 xy 1 y4 = 0 Man bestimme die lokale
Mehr1. Klausur. für Studierende der Fachrichtungen phys. 2u du u(1 + u 2 ) = 2. = 1, c = 1. x= 1
Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Prof. Dr. C. Rohde Höhere Mathematik I III Diplomvorprüfung 3. 3. 8. Klausur für Studierende der Fachrichtungen phys Bitte unbedingt beachten: In dieser Klausur
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur SoSe 2010 Hamburg,
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II (Analysis) 2. Klausur SoSe 2010 Hamburg, 08.10.2010 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:...................................................................
MehrAnalysis PVK - Lösungen. Nicolas Lanzetti
Analysis PVK - Lösungen Nicolas Lanzetti lnicolas@student.ethz.ch Nicolas Lanzetti Analysis PVK HS 4/FS 5 3 Differentialrechnung. (a) lim x + x x = lim x + e (x ln(x)) = e lim x + (x ln(x)) (da e x stetig
MehrNachklausur zur Analysis 2, SoSe 2017
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL 18.9.17 Fakultät 4 - Mathematik und Naturwissenschaften Prof. N. V. Shcherbina Dr. T. P. Pawlaschyk www.kana.uni-wuppertal.de Nachklausur zur Analysis 2, SoSe 217 Aufgabe
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, August 015 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrKurvendiskussion. Lösung: lok. + glob. Maximum bei x = 3 (lok.+glob. Min bei x = 6, lok. Min. bei x = 1) (lok.+glob.) Minimum bei x = 1
Kurvendiskussion Vorzeigeaufgabe: Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 + 9x 4x + 6, x [, 3] Bestimmen Sie alle Stellen, an denen f ein lokales oder globales Extremum annimmt. Zusatz: Wie sieht es bei f(x)
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(
MehrProbeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker
I. Bouw.7.8 U. Hackstein Probeklausur Höhere Mathematik II für Elektrotechniker Es gibt 5 Punkte pro Teilaufgabe, also insgesamt 7 Punkte. Aufgabe. Skizzieren Sie folgenden Bereich: D = {(x, y) R x + y
MehrMathematik II Lösung 6. Lösung zu Serie 6
Lösung zu Serie 6. a) In einem kritischen Punkt (x, ) von f gelten f x (x, ) x + und f (x, ) x, also x. Ferner gelten f xx (x, ) f (x, ) und f x (x, ), insbesondere also f xx (, ) < und f xx (, )f (, )
MehrMathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen
N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen Verständnisfragen 1. Was bestimmt die erste Ableitung einer Funktion f : D R R im Punkt x 0 D? Die erste Ableitung einer Funktion bestimmt deren Steigung
MehrAnalysis 8.
Analysis 8 www.schulmathe.npage.de Aufgaben Gegeben sind die Funktionen f a durch f a (x) = a x x + (x R x ; a R a ) a) Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f a mit den
MehrApl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann Bergische Universität Wuppertal. Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau
Apl. Prof. Dr. G. Herbort, Prof. Dr. M. Heilmann 6.9.6 Bergische Universität Wuppertal Aufgabe ( Punkte Modul: Mathematik I und II, Bachelor Maschinenbau a Zeigen Sie durch Induktion nach n die Summenformel
MehrZuname: Vorname: Kennzahl: Matr.Nr: PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 2. 1)(8 P.) Berechnen Sie 6 2x (x 1)(x 2) dx.
(8 P.) Berechnen Sie 6 2x (x (x dx. (8 P.) Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrange schen Multiplikatoren die stationären Punkte der Funktion f(x, y) = x 2 + 2y 2 unter der Nebenbedingung x + y
MehrAufgabe V1. Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. n 2n n 3 b) lim. n n 7 c) lim 1 1 ) 3n.
Blatt 1 V 1 Grenzwerte von Folgen Aufgabe V1 Ermitteln Sie, ob folgende Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese gegebenenfalls. n 2 ( n! a) lim n 2n n 3 b) lim n n 7 c) lim 1 1 ) 3n n n Marco Boßle
MehrMathematik IT 3 (Analysis)
Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Mathematik IT 3 (Analysis für die Studiengänge Informatik, IMT und ebusiness im Wintersemester 015/016 Geben
MehrBasisprüfung, Gruppe A Analysis I/II
Offene Aufgaben. Jeder der folgenden sieben offenen Aufgaben ist eine einzelne thematisch verwandte Single Choice-Aufgabe vorangestellt. Beantworten Sie die Single Choice Aufgabe auf dem Antwortzettel.
MehrDifferential- und Integralrechnung
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Differential- und Integralrechnung Schwerpunkte: Differentiation Integration Eigenschaften und Anwendungen Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar 0 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 3 6 Total Vollständigkeit Bitte
Mehr