Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am

Transkript

1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (5) (+5) (+) 6 9 (+5) (+8) erreichte P. Hinweise: Benutzen Sie bitte für jede Aufgabe eine neue Seite. Die Bedeutung von Smbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Zu jeder Lösung muss ein nachvollziehbarer Lösungsweg vorhanden sein. Bei der Formulierung Der Lösungsweg ist anzugeben. brauchen Differentiation und Integration nicht ausführlich dargestellt zu werden. Die einzelnen Lösungsschritte, z.b. Ansatz, Ableiten, Einsetzen,... müssen aber erkennbar sein. Fragen sind mit einem Satz zu beantworten. Aufgabe : Gegeben seien die Funktionen F : (, ) R mit F (x) = cos x x f(x) = cos x + sin x. x x und f : (, ) R mit (a) Ist F eine Stammfunktion von f auf dem Intervall (, )? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. (b) Berechnen Sie das Integral I = ( cos x x oder divergent ist. Der Lösungsweg ist anzugeben. ) + sin x x dx und entscheiden Sie, ob I konvergent

2 Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f : D R mit f(x, ) = ln(x) + 4 x x. (a) Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich D R von f sowie den Rand D. Skizzieren Sie beide im x, -Koordinatensstem. (b) Entscheiden Sie für jede der folgenden Eigenschaften, ob sie auf die Menge D zutrifft oder nicht. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung an. (i) offen (ii) beschränkt (iii) einfach zusammenhängend (c) Ermitteln Sie den Gradienten grad f(x, ) an einer beliebigen Stelle (x, ) sowie an der Stelle (, 4). (d) Bestimmen Sie den Anstieg von f an der Stelle (, 4) in Richtung des Vektors s = (, 4) T. (e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene T (x, ) an die Fläche z = f(x, ) im Punkt P (, 4, z ). Aufgabe : Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x, ) = 4 x4 8x + (4 + x). (a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen (mit Klassifikation) und die Sattelstellen von f auf D = R. Der Lösungsweg ist anzugeben. (b) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen (mit Klassifikation) von f auf Der Lösungsweg ist anzugeben. D = { (x, ) R x =, > }. Tipp: Stellen Sie die Nebenbedingung in D nach um. Zusatzaufgabe 4 : Die folgenden Bilder zeigen jeweils die Niveaumenge N einer Funktion: x x x - A - - B - - C - - Ordnen Sie die Bilder den zugehörigen Funktionen f i : R R zu: f (x, ) = ( x )e x+ f (x, ) = 4x 9 f (x, ) = (x + )(x + 4) Begründen Sie Ihre Zuordnung rechnerisch.

3 Aufgabe 5 : Für die Funktion = (x) sei folgende Differentialgleichung (DGL) gegeben: x + 6 =. (a) Zeigen Sie, dass diese DGL sowohl eine trennbare DGL als auch eine lineare DGL. Ordnung ist. (b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL mit Hilfe des bekannten Lösungsweges für eine lineare DGL. Ordnung. Die dabei benötigte Integration von C (x) ist ausführlich mit Hilfe einer geeigneten Integrationsmethode darzustellen. Zusatz: (c) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL mit Hilfe des bekannten Lösungsweges für eine trennbare DGL. Aufgabe 6 : (a) Für die Funktion = (x) sei folgende Differentialgleichung (DGL) gegeben: = 4x. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL. Der Lösungsweg ist anzugeben. (b) Von einer inhomogenen linearen DGL mit konstanten Koeffizienten ist die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL h (x) = C e 7x + C xe 7x + C cos(x) + C 4 sin(x), C i R sowie das Störglied b(x) = x e 7x + cos(x) bekannt. Geben Sie einen Ansatz für eine spezielle Lösung s der inhomogenen DGL an. Zusatz: Geben Sie die Ordnung dieser DGL sowie alle Nullstellen des charakteristischen Polnoms an. Aufgabe 7 : Gegeben sei die ebene Kurve K mit der Parameterdarstellung ( ) ( ) x(t) 4 sin t r(t) = =, t (t) 4 cos t. (a) Berechnen Sie die Länge l der Kurve K. E K 4 S - - (b) Stellen Sie ein Integral zur Berechnung des Flächeninhaltes von Sektor S (siehe Bild) auf. (c) Stellen Sie ein Integral zur Berechnung der phsikalischen Arbeit W auf, die verrichtet wird, wenn ein Massepunkt durch das Kraftfeld F = (x, x + ) T entlang der Kurve K von A nach E verschoben wird. A x

4 Aufgabe 8 : Gegeben sei die Dichtefunktion ϱ : D(ϱ) R R mit ϱ(x, ) = x sowie der Bereich (a) Skizzieren Sie den Bereich B. B = {(x, ) R (x ), x, x}. (b) Stellen Sie ein Integral zur Berechnung der Masse m(b) auf. Aufgabe 9 : Der Körper B bestehe aus einer oberen Hälfte: B o = {(x,, z) R x + 4, z 4 4 (x + ) } und aus einer unteren Hälfte: B u = {(x,, z) R x + 4, 4 (x + ) z }. (a) Skizzieren Sie den Schnitt von B mit der x, -Ebene sowie mit der x, z-ebene. (b) Beschreiben Sie die obere Hälfte B o in Zlinderkoordinaten. Geben Sie dazu die Transformationsvorschrift, sowie die Laufbereiche der neuen Koordinaten an. (c) Geben Sie eine Parameterdarstellung r der Mantelfläche F o von B o an. (d) Zeichnen Sie in der obigen Grafik an dem markierten Punkt die Tangentenrichtungsvektoren r r und r ϕ ein. Berechnen Sie den von innen nach außen gerichteten Normalenvektor n von F o. (e) Stellen Sie ein Integral zur Berechnung des Flächeninhaltes von F o auf. Zusatz: (f) Beschreiben Sie die untere Hälfte B u in Kugelkoordinaten. Geben Sie dazu die Transformationsvorschrift, sowie die Laufbereiche der neuen Koordinaten an.

5 Einige Ergebnisse, keine vollständigen Lösungen. (a) F ist Stammfunktion von f auf (, ), da beide auf dem offenen Intervall (, ) definiert sind und F (x) =... = f(x) gilt. ( (b) I = lim cos x ) [ ] + sin x ε + x x dx = lim cos x = lim cos ε = = + ε + x ε ε + ε + I ist divergent. (a) D = {(x, ) R x >, > }, D = {(x, ) R x } {(, ) R } (b) (i) D ist offen, da D R \ D (ii) D ist nicht beschränkt, da es kein K gibt, so dass x < K für alle x D (iii) D ist einfach zusammenhängend, da jede Kurve in D stetig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann ohne dabei D zu verlassen (c) grad f(x, ) = (d) f s = (e) T (x, ) = x 4 + x x x ln(x) x, grad f(, 4) = ( /4. (a) f x = x 8 + = und f = 4(4 + x) = stationäre Stellen: x = (, ), x = ( 4, 6), x = ( 4, 6) x ist lok. Min.stelle, x, sind Sattelstellen (b) f(x) = f(x, x + ) = 4 x4 + x + 6 f (x) = x(x + ) = für x = mit = (, ) ist lok. Min.stelle von f auf D 4. A gehört zu f, da 4x 9 = = ± 4x 9 (Hperbeln) B gehört zu f, da (x + )(x + 4) = (x, ) = (, ) x + = 4 (Punkt im Ursprung oder Kreis um (,) mit Radius ) C gehört zu f, da ( x )e x+ = = ±x (Geraden durch den Ursprung mit Anstiegen ± 5. (a) = ( ) h() + x a(x) x g(x) = 6 x b(x) trennbare Dgl. lin. Dgl. (b) h (x) = Ce x, C R, s (x) = C(x)e x, s(x) = C (x)e x + C(x)e x x einsetzen in die Dgl. liefert C (x) = 6 e x x und C(x) = C (x)dx Integration mittels Subst. t = x, dx = dt, C(x) = e t dt = e x x s (x) = allg. Lösung der Dgl. (x) = Ce x +, C R )

6 (c) singuläre Lsg. bei =, TDV für : d = dx ln = + C x x, C R = Ce x, C > = Ce x +, C allg. Lösung der Dgl. (x) = Ce x +, C R 6. (a) char. Pol: λ 4λ + 4λ, NST: λ =, λ, = ± 6i h (x) = C + C e x cos(6x) + C e x sin(6x), C i R s (x) = (Ax + B)x = Ax + Bx, s(x) = Ax + B, s (x) = A, s (x) = einsetzen in die Dgl. liefert 8A = 4 und 8A + 4B = A =, B =, s (x) = x + x allg. Lösung der Dgl. (x) = C + C e x cos(6x) + C e x sin(6x) + x + x, C i R (b) s (x) = (Ax + Bx + C)e 7x x + D cos(x) + E sin(x) Dgl. hat Ordnung 4, NST des char. Pol. sind 7, 7, i, i ( ) 7. (a) r(t) 4 cos t =, r(t) = 4 4 sin t l(k) = r(t) dt = (b) F l(s) = [( 4 sin t) ( 4 sin t) 4 cos t ( 4 cos t)]dt ( ) ( ) 4 sin t 4 cos t 4 cos t (c) W = dt 4 sin t + 4 cos t 4 sin t 8. (a) B als Normalbereich bzgl. x-achse: x, x (x ) (b) m(b) = (x ) x x d dx 9. (b) x = r cos ϕ, = r sin ϕ, z = z, ϕ, r, z 4 4 r4 r cos ϕ (c) r = r sin ϕ, ϕ, r 4 4 r4 (d) n = r r r ϕ = (e) F l(f o ) = r 4 cos ϕ r 4 sin ϕ r r8 cos ϕ + r 8 sin ϕ + r dr dϕ (f) x = r cos ϕ sin ϑ, = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ, ϕ, ϑ, r