Prüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Bauingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (6) (+6) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher (Teil-)Aufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Zu jeder Lösung muss ein nachvollziehbarer Lösungsweg vorhanden sein. Fragen sind mit einem Satz zu beantworten. Aufgabe : Gegeben sind die Menge P : Menge aller Primzahlen die Aussageform u(x) : x ist ungerade. die Aussage A : : Alle Primzahlen sind ungerade. (a) Schreiben Sie die Aussage A als Allaussage (unter Verwendung eines Quantors) auf. (b) Negieren Sie die Allaussage A und formen Sie sie anschließend in eine Existenzaussage um. Geben Sie den Wortlaut dieser Existenzaussage an. Aufgabe 2 : Bei einer Umfrage eines Schlager-Radiosenders zur Beliebtheit der Sängerinnen Andrea Berg, Helene Fischer und Vanessa Mai kam es zu folgendem Ergebnis: Von den 500 Hörern, die an der Umfrage teilgenommen haben, mögen 280 Helene Fischer, 250 Andrea Berg, 230 Vanessa Mai, 60 mögen alle drei Sängerinnen und 35 keine von den dreien. 85 mögen nur ihre Schlager-Königin Andrea Berg, wohingegen 60 ihrer Fans auch Helene Fischer mögen, aber Vanessa Mai nicht. Wieviele Hörer mögen nur Helene Fischer? Wieviele Hörer mögen Helene Fischer und Vanessa Mai, jedoch Andrea Berg nicht? Wieviele Hörer mögen Andrea Berg oder Vanessa Mai? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms.

2 Aufgabe 3 : Stellen Sie die folgende Menge L als Vereinigung von Intervallen dar. { L = x R x } x 6 0. Geben Sie den Rechenweg einschließlich der zu behandelnden Fälle, sowie die zugehörigen Teillösungsmengen an. Aufgabe 4 : (a) Gegeben seien die komplexen Zahlen z = ( ) 2 3 i (, z 2 = 2 cos π 2 + 2i 4 i sin π ), z 3 = 5e π 6 i. 4 Überführen Sie (mit Angabe des Rechenweges) (i) z in die algebraische Darstellung, (ii) z 2 in die trigonometrische Darstellung, (iii) z 3 in die exponentielle Darstellung. (b) Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 4 = i in exponentieller Form. Skizzieren Sie die Lage aller Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene. Aufgabe 5 : Gegeben sei die Funktion f : D(f) R R mit f(x) = p(x) q(x) = x3 4x 2 5x x 4 + 3x 3 + 3x 2 + x. (a) Ermitteln Sie die reelle Faktorzerlegung des Nenners q(x). Berechnen Sie zunächst q( ). (b) Machen Sie den Ansatz für die Partialbruchzerlegung von f(x) und ermitteln Sie das Gleichungssystem für die Berechnung der unbekannten Koeffizienten. Die Berechnung ist nicht gefordert. (c) Bestimmen Sie alle Nullstellen, Polstellen und (stetig behebbare) Lücken von f(x). Weisen Sie bei jeder Polstelle/Lücke x 0 nach, dass es sich um eine ebensolche handelt, indem Sie den Grenzwert lim f(x) bzw. die einseitigen Grenzwerte lim f(x) berechnen. x x0 x x 0 ±0 (d) Handelt es sich bei f(x) um eine echt oder unecht gebrochenrationale Funktion? Geben Sie den Grenzwert lim x f(x) an.

3 Aufgabe 6 : Gegeben sei das lineare Gleichungssystem (LGS) (a) Für welche α, β R hat das LGS 4 x + 8 x 2 + 3α x 3 = β 2 x + α x 2 + x 3 = 6 x + 2 x 2 3 x 3 = 2 (i) genau eine Lösung (ii) unendlich viele Lösungen (iii) keine Lösung? (b) Bestimmen Sie alle Lösungen des LGS für α = 5 und β =, sowie für α = 4 und β = 8 in Parameterschreibweise bzw. Vektordarstellung. Aufgabe 7 : Gegeben seien a = 3, b = 2 2 5, c = R 3 und A = ( a b c) R (3,3). (a) Bestimmen Sie die Dimension des linearen Raumes W = [ a, b, c]. Ist { a, b, c} eine Basis des R 3? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Wieviele Elemente enthält die Menge M = { x R 3 A x = (, 2, 3) T }? Begründen Sie. Zusatzaufgabe 8 : ( ) ( ) Gegeben seien die Matrizen A =, B = R (2,2) Berechnen Sie die Matrix X, welche die Matrizengleichung XA B = 4X löst. Der Rechenweg ist ausführlich darzustellen. Aufgabe 9 : Mit den Vektoren a, b, c aus Aufgabe 7 sei eine Ebene Γ definiert, die den Vektor a als Stützvektor und die Vektoren b, c als Richtungsvektoren hat. 0 Weiterhin sei die Gerade Γ 2 = x R3 x = 2 + r 5, r R gegeben. 2 2 (a) Ermitteln Sie eine parameterfreie Darstellung der Ebene Γ. (b) Bestimmen Sie die Lagebeziehung zwischen Γ und Γ 2.

4 Aufgabe 0 : Gegeben sei f : R R : f(x) = x 2 x + 3. (a) Berechnen Sie den Differenzenquotienten f(x 0, h) = f(x 0+h) f(x 0 ) für x h 0 = in Abhängigkeit von h. (b) Berechnen Sie den Wert des Differentials df(x 0, dx) an der Stelle x 0 = für die Argumentdifferenz dx = x = 0.. (c) Berechnen Sie die Tangente T (x) an den Graphen von f im Punkt (x 0, f(x 0 )) = (, 3). Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f : [, 6] R mit f(x) = { (x ) falls x < 3 x + A falls x 3. (a) Bestimmen Sie A, so dass die Funktion f(x) stetig ist für alle x D(f). Geben Sie den Rechenweg an. Skizzieren Sie die Funktion in ihrem Definitionsbereich. (b) Ist die Funktion f(x) im Punkt x 0 = 3 differenzierbar? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. Geben Sie gegebenenfalls f (3) an. (c) Geben Sie alle globalen Maximalstellen und alle globalen Minimalstellen von f(x) an (ohne Begründung). Tipp: Die Funktionen f : R R, f (x) = (x ) und f 2 : R R, f 2 (x) = x + A sind stetig und differenzierbar x R. Aufgabe 2 : Bestimmen Sie g = lim cos 2 x x 0 3x 2. Geben Sie den Lösungsweg an.

5 Ergebnisse, nicht vollständig : (a) x P : u(x), (b) ( x P : u(x)) x P : u(x) Es gibt eine Primzahl, die gerade ist. 2: F: Menge der Hörer, die Helene Fischer mögen, B: Menge der Hörer, die Andrea Berg mögen, M: Menge der Hörer, die Vanessa Mai mögen, 90 F B Hörer mögen nur Helene Fischer. 70 Hörer mögen Helene Fischer und Vanessa Mai, aber Andrea Berg nicht. 375 Hörer mögen Andrea Berg oder Vanessa Mai. M 35 3: L = (, 6] [0, 6) 4: (a) z = 3 i, z 4 2 = 2(cos( π) + i sin( π)), z = 5e i 5 6 π (b) z 0 = 8 2 e i π 24, z = 8 2 e i 3 24 π, z 2 = 8 23 i 2 e 24 π, z 3 = 8 i 2 e 24 π, 5: (a) q(x) = x(x + ) 3, (b) x3 4x 2 5x = A + B + C + D x(x+) 3 x x+ (x+) 2 (x+) 3 (c) x 3 : = A + B, x 2 : 4 = 3A + 2B + C, x : 5 = 3A + B + C + D, : A = 0 (d) f(x) = x(x 5)(x+) x 0 = 5 ist Nullstelle von f(x). x(x+) 3 (x 5)(x+) (x+) 3 lim f(x) = lim x 0 x 0 x 2 = ist Polstelle 2. Ordnung, = 5 x = 0 ist Lücke von f(x) lim x 0 x(x 5) x(x 5) x(x+) 2 = lim = x(x+) 2 x +0 (e) f(x) ist eine echt gebrochenrationale Funktion. (Zählergrad < Nennergrad), lim lim x x 3 ( 4 x 5 x 2 ) x f(x) = = 0 x 4 (+ 3 x + 3 x 2 + x 3 ) 6. (a) (i) Das LGS hat genau eine Lösung für α 4, β beliebig, (ii) Das LGS hat unendlich viele Lösungen für α = 4, β = 8, (iii) Das LGS hat keine Lösung für α = 4, β 8 (b) α = 5, β = : (x, x 2, x 3 ) T = (9, 5, ) T, α = 4, β = 8 : 7. (a) x x 2 x = t 2 0, t R dim(w ) = 3, { a, b, c} ist eine Basis des R 3, da jede Menge von 3 linear unabhängigen Vektoren des R 3 eine Basis des R 3 ist.

6 (b) M enthält Element (nämlich x = A 2 3, da A regulär ist. ( ) ( ) ( ) X = B(A 4E) = = (a) Γ = { x = (x, y, z) T R 3 5x 2y + 5z = } (b) Γ 2 eingesetzt in Γ ergibt =, wahre Aussage Γ 2 liegt in Γ. 0. (a) f(x 0, h) = + h, (b) df(, 0.) = 0., (c) T (x) = 3 + (x ). (a), A = 4, (b) f(x) ist nicht differenzierbar in x 0 = 3 weil f (3) = 4 f 2(3) = (c) globale Minimalstellen: x =, x 2 = 3, globale Maximalstelle x 3 = cos 2. g = lim 2 x 2 cos x sin x 2( sin = lim = lim 2 x+cos 2 x) = x 0 3x 2 x 0 6x x 0 6 3