Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe : In einer Bäckerei werden Brote mit Oliven, Brote mit Peperoni, Brote mit Oliven und Peperoni, sowie Weizenbrote (ohne Oliven und ohne Peperoni) verkauft. An einem bestimmten Tag werden insgesamt 25 Brote verkauft. 5 dieser Brote sind Weizenbrote. Von den verkauften Broten enthalten 7 Brote Oliven, wobei 25 dieser Brote auch Peperoni enthalten. Wieviele der verkauften Brote enthalten Peperoni und keine Oliven? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms Aufgabe 2 : Ein Unternehmen kann einen kurzfristigen Kredit von 5 e aufnehmen und soll inklusive Zinsen und Gebühren nach zwei Monaten 5 e zurückzahlen. Welchem effektiven Jahreszinssatz entspricht dieses Angebot? Geben Sie den Rechenweg an. Es ist von exponentieller Verzinsung auszugehen.

2 Aufgabe 3 : Herr Sorge hat ein mit 2% p.a. verzinstes Konto. Darauf will er 2 Jahre lang jährlich nachschüssig 5 e einzahlen. Die erste Einzahlung erfolgte am Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. Die Rechenwege sind anzugeben. (a) Wieviel Geld hat er planmäßig am (nach der Einzahlung) auf dem Konto? (b) Am hatte Herr Sorge einen finanziellen Engpass und deshalb kein Geld eingezahlt. Die übrigen geplanten Einzahlungen waren und sind davon nicht betroffen. Wieviel Geld hätte er in diesem Fall am (nach der Einzahlung) auf dem Konto? Nach 2,5 Jahren, im Sommer 2 war er in der Lage, die Differenz auszugleichen. Wieviel mußte er zu diesem Zeitpunkt einzahlen, damit das Kapital am dem unter (a) berechneten entspricht? (c) Herr Sorge möchte beginnend im Januar 224 monatlich nachschüssig einen konstanten Betrag von seinem Konto abheben. Wie hoch kann dieser Betrag sein, wenn sein Kapital dann 5 Jahre lang reichen soll? Zusatzaufgabe: (d) Leider sind die Zinsen ab..28 auf,5% p.a. gesenkt worden. Herr Sorge möchte dafür ab 28 seine Einzahlungen erhöhen, so dass er am das unter (a) berechnete Kapital auf dem Konto hat. Wie hoch müssen die Einzahlungen ab 28 sein? Aufgabe 4 : Bruno Brunetti möchte seine Bäckerei erweitern und nimmt dazu einen Kredit von 5 e zu einem Zinssatz von 3,5% p.a. auf. Er möchte den Kredit bei einer Laufzeit von Jahren jährlich nachschüssig mit gleichhohen Raten zurückzahlen. Durch die Erweiterung erwartet er für jeden Monat einen um 5e höheren Gewinn als bisher, den er auf einem mit,5% p.a. verzinsten Konto anlegen kann. Geben Sie für die Beantwortung der folgenden Fragen jeweils die Rechenwege an. (a) Wie hoch sind die jährlichen Annuitäten für die Kreditrückzahlung? Reicht der Zusatzgewinn für die Rückzahlung des Kredites aus? (b) Es gelingt Bruno am Ende des 5. Jahres eine Sondertilgung von 7 e zu realisieren. Wieviele Jahre muss er unter dieser Bedingung insgesamt tilgen, sofern die Raten bei den unter (a) berechneten bleiben und eine verminderte Abschlußannuität vereinbart wurde?

3 Aufgabe 5 : Eine Firma stellt aus drei Rohstoffen R, R 2 und R 3 vier verschiedene Endprodukte E, E 2, E 3 und E 4 her. Die nebenstehende Tabelle gibt an, wieviele Mengeneinheiten (ME) des entsprechenden Rohstoffes für ein Kilogramm (kg) des jeweiligen Endproduktes benötigt werden. Die Teilaufgaben sind unabhängig voneinander zu bearbeiten. E E 2 E 3 E 4 R R 2 2 R (a) Wieviele Mengeneinheiten der Rohstoffe R, R 2 und R 3 werden benötigt, um 2 kg E, 5 kg E 2, 7 kg E 3 und kg E 4 zu produzieren? Geben Sie den Rechenweg an. (b) Es sind noch 28 ME R, 2 ME R 2, sowie 58 ME R 3 auf Lager. Daraus sollen zunächst 2 kg E 4 produziert werden. Wieviel ME der einzelnen Rohmaterialien sind nach dieser Produktion noch auf Lager? Betrachten Sie im Folgenden diese Restlagerbestände. (Falls Sie die Bestände nicht berechnen können gehen Sie von 8 ME R, 95 ME R 2 und 445 ME R 3 aus.) Wieviele kg E, E 2 und E 3 können aus diesen Restbeständen produziert werden, wenn alle Rohmaterialien verbraucht werden sollen? Geben Sie den Rechenweg an. Wenn es mehrere Lösungen gibt, geben Sie mindestens zwei davon an. Tipp: Stellen Sie ein LGS auf und lösen Sie dieses. Aufgabe : Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem: Z = 3x x 2 min 2x + 2x 2 3x x 2 9 x 2 3 Lösen Sie das Problem graphisch und bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Skizze die Menge L aller optimalen Lösungen x = (x, x 2 ) T des Problems und daraus den optimalen Zielfunktionswert. Zusatzaufgabe: Stellen Sie das Starttableau für die 2-Phasen-Methode auf.

4 Aufgabe 7 : In einer Bäckerei werden drei Sorten Kartoffelbrötchen hergestellt: Brötchen mediterran, Brötchen mit Oliven und Brötchen ohne Zusatz. Eine Mengeneinheit (ME) sind jeweils Brötchen. In der folgenden Tabelle sind die Zutatenmengen in Gramm, sowie der Gewinn in Euro für jeweils eine ME Brötchen gegeben. Für die tägliche Produktion dieser Brötchen Mehl Kartoffeln Oliven Tomaten Gewinn stehen jeweils 5 kg mediterran ,5 Mehl, kg Kartoffeln, kg Oliven und ohne Zusatz ,5 2 kg Tomaten zur mit Oliven 3-2,7 Verfügung. Die weiteren nötigen Zutaten sind ausreichend vorhanden. Das LOP für die Maximierung des zugehörigen Gewinns unter diesen Voraussetzungen, sowie das Tableau des Simplexalgorithmus nach mehreren Schritten, sehen folgendermaßen aus. Z = 3.5x + 2.5x x 3 max 5x +5x 2 +3x 3 5 (y ) 25x +4x 2 +x 3 (y 2 ) 5x + x 3 (y 3 ) x 2 (y 4 ) x, x 2, x 3 T 2 y 3 y x 3 x y x y Z 95 2 Betrachten Sie die folgenden Teilaufgaben unabhängig voneinander und geben Sie bei (c) - (g) den jeweiligen Rechenweg an. Für die Teilaufgaben (b) - (e) werten Sie Tableau T2 aus! (a) Geben Sie die genaue Bedeutung der Strukturvariablen x, x 2 und x 3, sowie des Z- Wertes an. (b) Wieviele Mengeneinheiten Brötchen von jeder Sorte sollen pro Tag hergestellt werden, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie hoch ist dieser? Wieviele Zutaten von jeder Sorte sind nach der Produktion noch vorhanden? (c) Wie wirkt sich eine Erhöhung der Menge des verwendeten Mehls um ein Kilogramm pro Tag auf den maximalen Gewinn und das optimale Produktionsprogramm aus? (d) Wie wirkt sich eine Verringerung des Gewinns für Brötchen mit Oliven um 2 Cent pro ME auf das optimale Produktionsprogramm, sowie den maximalen Gewinn aus? (e) Der Chef befürchtet, dass der Preis für die Brötchen ohne Zusatz zu hoch ist und senkt ihn um Cent pro ME, womit auch der entsprechende Gewinn um Cent pro ME sinkt. Wie wirkt sich dies auf den maximalen Gewinn und die optimale Lösung aus? (f) Gibt es eine optimale Lösung bei der Brötchen mit Oliven produziert werden? Falls ja, berechnen Sie die täglichen Produktionsmengen für eine solche Lösung und geben Sie das Produktionsprogramm in einem Satz an. (g) Ist das folgende tägliche Produktionsprogramm optimal: 4 Brötchen mediterran, 3 Brötchen ohne Zusatz und 5 Brötchen mit Oliven? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.

5 . Ergebnisse - Lösungen nicht vollständig O: Menge der Brote, die Oliven enthalten P : Menge der Brote, die Peperoni enthalten AS: 3 der Brote enthalten Peperoni, aber keine Oliven. 2. Geg.: K = 5, K = 5, Ges.: q, so dass K = K 5 q q = ( 5 ) =.2 Das Angebot entspricht einem Zinssatz von 2,%. 3. n = 2, R = 5, q =.2 (a) K = R q2 = 7, 45e q Am hat er 7,45e auf seinem Konto. (b) K = 7, 45 5 q 8 = 22, 5 45 O 25 P In diesem Fall hat er am nur 22,5e auf dem Konto. Ges.: R b, so dass 22, 5 + R b q 5.5 = 7, 45 R b = 5 858, 3 q 5.5 = 5 253, 77 (oder R b = 5 q 2.5 = 5 253, 7) Im Sommer 2 müsste er 5 253,77e einzahlen. (c) Geg.: K c = 7, 45 q 2 = 9 79, 9, n = 2 5 = 8, q m = 2.2 Ges.:R c = K c qm 8 = 448, 39 Er kann 5 Jahre lang monatlich 448,39e abheben. qm qm 8 Zusatzaufgabe: Gege.: K = 5 q8 = 42 94, 85, q q d =.5 Ges.: R d : 7, 45 = 42 94, 85 qd 4 + Rd q4 d q d R d = 2 52, 8 qd = 5 258, 54 qd 4 Er müsste ab 28 jeweils 5 258,54e einzahlen. 4. (a) Geg.: K = 5, q =.35, n = Ges.: A, A = K q q q = 8 3, 2 Zusatzgewinn pro Jahr: Geg.: G = 5 pro Monat, q =.5, q m = 2.5 Zusatzgewinn pro Jahr: 5 q2 m q m = 8 23, 42 Die Annuität beträgt 8 3,2e. Der Zusatzgewinn reicht für die Tilgung des Kredites. (b) K5 = K q 5 A q5 q Sondertilgung) 7 = 4 434, 39 (Rest am Ende des 5. Jahres nach der Restlaufzeit n = ln q (ln A ln(a K (q ))) = 3, 88 Er muss insgesamt 5+4=9 Jahre seinen Kredit tilgen.

6 5. (a) r r 2 r 3 = = Es werden 47 kg R, 27 kg R 2 und 72 kg R 3 benötigt. r (b) Geg.: r 2 = 2, Restbestände: 2 2 r e 2 Ges.: e, e 2, e 3 mit 2 e 2 = 8 5 e 3 5 T x x 2 x 3 y y 2 2 y Mit x 3 = t ergibt sich x x 2 x 3 T y 2 x 2 x 3 y - 5 x 2 y = + t 3 5, t R 4 4 = 2 5 T 2 y 2 y x 3 x 2 5 x 3 y 3 Aus den Restbeständen können z.b. E, E 2 und E 3 (t=) oder 3 E, 5 E 2 und E 3 (t=) hergestellt werden.. 8 Z=-9 Z= ( ) ( ) {( 2 x S =, S 2 =, L = 3 y Zusatzaufgabe: x x x 2 y 3 y y h 3 3 Z 3 3 Z 3 ) ( x y ) ( 2 = λ 3 ) ( + ( λ) ) }, λ

7 7. (a) x - Anzahl der hergestellten Brötchen mediterran in ME pro Tag, x 2 - Anzahl der hergestellten Brötchen ohne Zusatz in ME pro Tag, x 3 - Anzahl der hergestellten Brötchen mit Oliven in ME pro Tag, Z - Gewinn aus der Kartoffelbrötchenproduktion in e pro Tag (b) Es sollten 2 ME Brötchen mediterran, ME Brötchen ohne Zusatz und keine Brötchen mit Oliven hergestellt werden, um maximalen Gewinn von 95e zu erzielen. Es ist dann noch kg Kartoffeln vorhanden, sonst nichts. (c) b = 5, t =, y NBV x 2 5 y 2 x = y 4 = Es sollten jetzt 2 ME Brötchen mediterran, 2 ME Brötchen ohne Zusatz und keine Brötchen mit Oliven hergestellt werden, um maximalen Gewinn von Z max = = e zu erzielen. (d) c 3 = 2.7, t =.2, x 3 NBV Rat =.2 (, ], d.h. die Verringerung des Gewinns hat keine Auswirkungen. (e) c 2 = 2.5, t =., x 2 BV ( 2,, ).(,, 3) = (, 9, 8 ) (,, ) Das optimale Programm ändert sich nicht. Der Gewinn sinkt auf 95. = 89e. (f) y 3 y y 2 x 2 x 3 x 8 y 4 2 Z 95 Ja, es gibt eine solche Lösung. Es sollten z.b. 8 ME Brötchen mediterran, ME Brötchen ohne Zusatz und ME Brötchen mit Oliven hergestellt werden. (g) Geg.: x = 4, x 2 = 3, x 3 = 5, 3.5 x x x 3 = 95 5x + 5x 2 + 3x 3 = 5, 25x + 4x 2 + x 3 = 9 5 <, 5x + x 3 =, x = 4 < 2 das gegebene Programm ist optimal oder 3 = (s. (b) und (f)) 5