Mathematik-Klausur vom 10. Juli 2007

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Bernd Waldfogel
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1 Mathematik-Klausur vom 10. Juli 2007 Studiengang BWL DPO 1997: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 0 Min Studiengang B&FI DPO 2001: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 0 Min Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 0 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 0 Min Studiengang Int. Bus.: Aufgaben 1,2,3,4,5 Dauer der Klausur: 0 Min Studiengang Wirtschaftsrecht: Aufgaben 3,4 Dauer der Klausur: 45 Min Aufgabe 1 a) Gegeben ist die Preis-Absatz Funktion: px) = 150 2x ; x [0; 75] 1. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion. 2. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion. b) Bestimmen Sie für die Funktion: gx) = 4x 2 + 2x ; x IR die Tangente in dem Punkt x 0 = 1. c) Gegeben sind die Matrizen: A = B = Berechnen Sie, falls das Produkt erklärt ist, die Produkte A B und B A. Aufgabe 2 Das Rote Kreuz plant den Transport von Hilfsgütern in ein Katastrophengebiet. Der Transport soll auf dem Luftweg erfolgen. Dazu werden 38 Sitzplätze für die Hilfsmannschaft, 540 m 2 Stellfläche für Geräte und m 3 Kühlraum für Nahrungsmittel benötigt. Die Kapazitäten der vier verschiedenen Flugzeugtypen und der Kerosinverbrauch bei voller Beladung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Flugzeug- Sitzplätze Stellfläche Kühlraum Kerosinverbrauch typ Anzahl) m 2 ) m 3 ) pro km A Tonnen B Tonnen C Tonnen D Tonnen Stellen Sie die Luftflotte so zusammen, dass die Kapazitätsanforderungen genau erfüllt werden und die Kapazitäten der eingesetzten Flugzeuge voll ausgenutzt werden. Da die Hilfssendung kurzfristig und in einer einmaligen Lieferung erfolgen soll, kann jede Maschine höchstens einmal eingesetzt werden.) a) Geben Sie alle möglichen ganzzahligen Einsatzmengen an, wenn von jedem Flugzeugtyp fünf Flugzeuge zur Verfügung stehen. 1

2 b) Für welchen Einsatzplan würden Sie sich aus Kostengründen entscheiden. Begründung!) Aufgabe 3 Ein Unternehmen hat gegenüber einer Bank die folgende Zahlungsverpflichtungen: Fälligkeitsdatum Betrag Das Unternehmen ist in Liquiditätsschwierigkeiten und bittet die Bank um Zahlungsaufschub. Es einigt sich mit der Bank auf einen einheitlichen Zahlungstermin für die gesamten Zahlungsverpflichtungen: den Allerdings berechnet die Bank für den Zahlungsaufschub Zinsen mit einem Nominalzins von 6% p.a. a) Wie hoch ist der am zu zahlende Betrag, wenn eine monatliche Verzinsung zum realtiven Zins vereinbart wird? b) Wie hoch ist der am zu zahlende Betrag, wenn eine einfache Verzinsung vereinbart wird? Bewertungsstichtag: ) c) Wie hoch ist der am zu zahlende Betrag, wenn eine relative gemischte Verzinsung vereinbart wird? Bewertungsstichtag: ) d) In das Unternehmen steigt ein neuer Kapitalgeber ein. Dieser bietet der Bank an, am zunächst zu zahlen. Der Rest der Schulden soll dafür am in einem Betrag gezahlt werden. Wie hoch ist dieser Betrag, wenn von einer relativen gemischten Verzinsung ausgegangen wird? Bewertungsstichtag: ) Aufgabe 4 Ein Bauunternehmer möchte ein Baugelände kaufen und hat die Wahl zwischen zwei verschiedenen Finanzierungsmodellen: Finanzierungsmodell A ˆ eine Sofortzahlung in Höhe von ˆ eine Zahlung in Höhe von zwei Jahre später ˆ vier Jahre lang jährlich vorschüssige Raten in Höhe von 1 000, wobei die erste Rate zum Zeitpunkt der Zahlung in Höhe von fällig wird Finanzierungsmodell B ˆ eine Sofortzahlung in Höhe von ˆ drei Jahre lang monatlich vorschüssige Rückzahlungen in Höhe von 1 500, wobei die erste Monatsrate sofort fällig wird 2

3 ˆ zwei Jahre lang vierteljährlich nachschüssige Rückzahlungsraten in Höhe von 1 000, wobei die erste Vierteljahresrate vier Monate nach Zahlung der letzten Monatsrate fällig wird ˆ eine Rückzahlung in Höhe von zwei Jahre nach Zahlung der letzten vierteljährlichen Rückzahlungsrate a) Berechnen Sie bei einem Jahreszins von 5% die Barwerte der beiden Finanzierungsmodelle. b) Für welches Finanzierungsmodell soll sich der Bauunternehmer entscheiden? Begründen Sie kurz Ihr Ergebnis. Aufgabe 5 In Abhängigkeit des Konsums x 1 von Gut I und des Konsums x 2 von Gut II ist die folgende Nutzenfunktion gegeben: ux 1, x 2 ) = x x 2 ; x 1, x 2 > 0 Wie hoch ist der maximale Nutzen unter der Nebenbedingung, dass insgesamt 96 GE zum Kauf der beiden Güter zur Verfügung stehen und der Preis von Gut I genau 0,5 GE pro Stück, der Preis von Gut II genau 4 GE betragen? Bestimmen Sie die Lösung mit Hilfe der Lagrange-Methode, wenn das Budget von 96 GE voll ausgenutzt werden soll. Aufgabe 6 Ein Unternehmen produziert drei Güter A,B und C. Zur Produktion werden die vier Rohstoffe R, S, T und U benötigt. Die Deckungsbeiträge der einzelnen Güter und der Rohstoffverbrauch bei der Produktion der Güter sind wie folgt gegeben: Deckungs- Benötigte ME von Rohstoff beitrag R pro ME S pro ME T pro ME U pro ME pro ME des Gutes des Gutes des Gutes des Gutes Gut A 5 GE 1 ME 0 ME 2 ME 2 ME Gut B 3 GE 2 ME 3 ME 0 ME 1 ME Gut C 6 GE 1 ME 4 ME 1 ME 1 ME ME = Mengeneinheit, GE = Geldeinheit) In der kommmenden Periode stehen von den Rohstoffen die folgenden Mengeneinheiten zur Verfügung: Rohstoff R 100 ME Rohstoff S 200 ME Rohstoff T 400 ME Rohstoff U 200 ME Der Deckungsbeitrag der kommenden Periode soll maximiert werden. Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm für die Güter A, B und C. 3

4 Lösung zu Aufgabe 1: a) 1. p = 150 2x 2x = 150 p x = 75 0,5p d.h. xp) = 75 0,5p 2. x p d.h. p [0; 150]; d.h. der Definitionsbereich von xp) ist das Intervall [0;150] b) Gesucht: tx) = a + bx g x) = 8x + 2 b = g 1) = 6 t1) = g1) a + b 1 = 2 a 6 1 = 2 a = 4 d.h. tx) = 4 6x. c) A B = Das Produkt B A ist nicht definiert. Lösung zu Aufgabe 2: x 1 = ME von Flugzeugtyp A x 2 = ME von Flugzeugtyp B x 3 = ME von Flugzeugtyp C x 4 = ME von Flugzeugtyp D Gleichungssystem: I 2x 1 + 6x x 4 = 38 II 20x x x 4 = 540 III 80x x x x 4 = Gaußalgorithmus: 4

5 Zeile x 1 x 2 x 3 x 4 Operation x x 4 = 500 x 3 = 5 2x x x 4 ) + 220x 4 = 540 x 2 = 2 x 4 7 2x x 4 ) + 16x 4 = 38 x 1 = 4 2x 4 Lösungsmenge des Gleichungssystems: 4 2x 4 IL = { 2 x 4 5 2x 4 ; x 4 IR} x 4 a) x 4 {0, 1, 2, 3, 4, 5} 1. Fall: x 4 = 0 IL = { } Diese Lösung ist möglich und hat einen Kerosinverbrauch von 495 Tonnen Fall: x 4 = 1 IL = { 1 3 } 1 Diese Lösung ist möglich und hat einen Kerosinverbrauch von 435 Tonnen Fall: x 4 = 2 IL = { 0 1 } 2 Diese Lösung ist möglich und hat einen Kerosinverbrauch von 375 Tonnen. 4. Fall: x 4 = 3 oder x 4 = 4 oder x 4 = 5 Diese Fälle sind nicht möglich, da sie zu negativen Einsatzmengen der übrigen Flugzeugtypen führen. b) Für die Einsatz-Flotte ein Flugzeug vom Typ C und zwei Flugzeuge von Typ D ist der Kerosinverbrauch am geringsten. Lösung zu Aufgabe 3: 5

6 a) ) , ,06 ) = , ,06 ) 25 d.h. die Rückzahlung beträgt ,61. b) ) 0, ) 0, ,06 = d.h. die Rückzahlung beträgt c) , ) 0, , ) 0, ,06 = ,64 d.h. die Rückzahlung beträgt , ,06 ) ) 0, ) 0, ,06 d) Schulden = Rückzahlungen , ) 0, , ) 0, , ) 0, , ) 0,06 = , ) 0,06 +x ,958 = , x x = ,41 d.h. die Rückzahlung beträgt ,41. Lösung zu Aufgabe 4: a) Modell A: K 0 = , ,05 1, = , ,05 1, ,0957 = ,2749 d.h. der Barwert beträgt ,28. Modell B: K 0 = ) 2 0,05 1, ,05 1, ) 0,05 3 1, = , , ,4399 = 0,05 1,055 1, ,8695 d.h. der Barwert beträgt ,87. b) Modell B mit dem kleineren Barwert ist vorteilhafter. Lösung zu Aufgabe 5: Lx 1, x 2, λ) = x x 2 + λ0,5x 1 + 4x 2 96) ; x 1, x 2 > 0 L x1 x 1, x 2, λ) = ,5λ L x1 x x 1 x 1, x 2, λ) = x 3 1 L x2 x 1, x 2, λ) = 1 + 4λ L x2 x 2 x 1, x 2, λ) = 1 x2 2 x 3 2 6

7 L λ x 1, x 2, λ) = 0,5x 1 + 4x 2 96 L x1 x 2 x 1, x 2, λ) = 0 Notwendige Bedingung: I 0 = L x1 x 1, x 2, λ) = 1 2 x 1 + 0,5λ II 0 = L x2 x 1, x 2, λ) = 1 x2 + 4λ III 0 = L λ x 1, x 2, λ) = 0,5x 1 + 4x I II 0 = = 1 x 1 = 16x 2 x1 x2 x 1 x 2 III 0 = 0,5 16x 2 + 4x = x 2 96 x 2 = 8 x 1 = 16 8 = 8 I 0 = ,5λ λ = Hinreichende Bedingung: ) ) Dx 1, x 2, 1 ) = x > immer 0 x 3 2 L x1 x 1 x 1, x 2, 1 ) = < immer 0 x 3 1 d.h. ux 1, x 2 ) hat in 8; 8) ein glob. Max unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. Der maximale Nutzen beträgt u8; 8) = 16,97 Einheiten. Lösung zu Aufgabe 6: x 1 = ME von Gut A x 2 = ME von Gut B x 3 = ME von Gut C Ungleichungssystem: I x 1 + 2x 2 + 6x II 3x 2 + 4x III 2x 1 + x IV 2x 1 + x 2 + x Ziel: 5x 1 + 3x 2 + 6x 3! = maximal; x 1, x 2, x 3 0 e 1, e 2, e 3, e 4 0 Schlupfvariablen Simplexalgorithmus: 1. x 1 x 2 x 3 e e e e x 1 x 2 e 2 e 1 1 5/4 1/4 50 x 3 0 3/4 1/4 50 e 3 2 3/4 1/4 350 e 4 2 1/4 1/ /2 3/

8 3. e 1 x 2 e 2 x 1 1 5/4 1/4 50 x e e /4 1/4 550 Die optimale Lösung sieht wie folgt aus: x 1 50 x 2 0 x 3 50 e 1 = 0 mit optimalem Zielfunktionswert Z = 550 e 2 0 e e 4 50 d.h. um einen maximalen Deckungsbeitrag zu erzielen, sind 50 ME von Gut A, keine ME von Gut B und 50 ME von Gut C herzustellen und abzusetzen. 8

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