QM I (W-Mathe)-Klausur am

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1 QM I (W-Mathe)-Klausur am Aufgabe a) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim b) Die Preis-Absatz Funktion eines Unternehmens sei gegeben durch: (p) = 8 0,6p. Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Preis-Absatz Funktion (p). 2. Berechnen Sie die Preiselastizität, d.h. die Elastizität der Funktion (p), an der Stelle p 0 = und interpretieren Sie das Ergebnis. c) Eine Woche vor dem Klausurtermin beginnt ein Student mit den Vorbereitungen. Die Anzahl P der Punkte, die er in der Klausur - in Abhängigkeit der pro Tag an die Vorbereitung verwendeten Stunden [0; 24] - erzielen wird, beträgt voraussichtlich: P() = Bestimmen Sie die Vorbereitungszeit (in Stunden pro Tag), die zu einer maimalen Punktzahl führt. Welche maimale Punktzahl erzielt der Student bei dieser Vorbereitungszeit? Aufgabe 2 In einem Produktionsprozess werden aus den drei Rohmaterialien R,R 2,R 3 drei Endprodukte E,E 2,E 3 hergestellt. Der Bedarf (in ME) an Rohmaterialien für jeweils eine ME der Endprodukte lautet wie folgt: E E 2 E 3 R 0 0 R R An Vorrat im Lager liegen folgende ME des Rohmaterials: Vorrat R 350 R R Bestimmen Sie, wie viele ME der Endprodukte sich aus dem Vorrat herstellen lassen, wenn der gesamte Vorrat verbraucht werden soll. Gehen Sie dazu wie folgt vor: a) Stellen Sie das Gleichungssystem auf

2 b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems c) Bestimmen Sie alle nichtnegativen Lösungen d) Bestimmen Sie alle ganzzahligen nichtnegativen Lösungen e) Geben Sie eine spezielle ganzzahlige nichtnegative Lösung an. Aufgabe 3 a) Es sei a (0;2). Zeigen Sie, dass die Funktion f(,y) = 2 +ay +y 2,(,y) IR 2 an der Stelle (,y) = (0,0) das absolute (globale) Minimum annimmt. b) Zeigen Sie, dass die Funktion f(,y) = e 2 +y 2,(,y) IR 2 an der Stelle (,y) = (0,0) ein streng relatives (lokales) Minimum hat. Lösung zu Aufgabe : a) Durch Einsetzten von = 5 ergibt sich: Nenner=0=Zähler. Lösungsweg: (Regel von de l Hôpital) lim = lim = = Lösungsweg: (Faktorisieren und Kürzen) 3( 5)( 7) 3( 7) lim = lim = 6 5 4( 5) = 3 2 b). p d.h. p [0;30] 2. () =,4 (p) = 0,6 ε () = ( 0,6) = 0, d.h. steigt der Preis von GE um,4 ein Prozent, so sinkt der Absatz um etwa 0,58%. c) ( 6) = ( 6 0,5 ) = = P () = = 6 0 = 6 = 6 = 6 ( ) = ( 0,5 ) = 0,5,5 = 2 3 P () = 6 2,5 = < 3 3 immer 0 d.h. = 6 globale Maimalstelle 2

3 P(6) = = = 00 d.h. der Student würde mit einem Einsatz von sechs Stunden pro Tag 00 Punkte in der Klausur erzielen. Lösung zu Aufgabe 2: a) e =ME von E, e 2 =ME von E 2, e 3 =ME von E 3 Gleichungssystem: I 0e +e 2 +0e 3 = 350 II 40e +5e 2 +30e 3 = 350 III 50e +6e 2 +40e 3 = 700 b) Gaußalgorithmus: Zeile e e 2 e 3 Operation e 2 0e 3 = 50 2 = 0e e +0e e 3 = 350 0e = e 3 e = 40 2e 3 Die Lösungsmenge IL ergibt sich somit wie folgt: 40 2e 3 IL = { 0e 3 50 ;e 3 IR} e 3 c) e = 40 2e e 3 20 e 3 e 3 20 e 2 = 0e e 3 50 e 3 5 e 3 0 Die Lösungsmenge IL ergibt sich somit wie folgt: 40 2e 3 IL = { 0e 3 50 ;e 3 [5;20]} e 3 d) IL = { 40 2e 3 0e 3 50 e 3 ;e 3 {5,6,7,...,20}} e) Für z.b. e 3 = 5 ergeben sich e 2 = = 0 und e = = 30. Lösung zu Aufgabe 3 3

4 a) f (,y) = 2+ay f (,y) = 2 f y (,y) = a+2y f yy (,y) = 2 f y (,y) = a Notwendige Bedingung: Für = 0 und y = 0 gilt: I 2 0+a 0 = 0 II a = 0 d.h. (0, 0) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: Für a (0;2) gilt: a 2 (0;4). Somit haben wir: D(,y) = f (,y) f yy (,y) [(f y (,y]] 2 = 2 2 a 2 > immer 0 f (,y) = 2 > immer 0; d.h. (0;0) globale Minimalstelle. b) f (,y) = 2 e 2 +y 2 f (,y) = 2 e 2 +y e 2 +y 2 = e 2 +y 2 (2+4 2 ) f y (,y) = 2y e 2 +y 2 f yy (,y) = e 2 +y 2 (2+4y 2 ) f y (,y) = 4y e 2 +y 2 Notwendige Bedingung: Für = 0 und y = 0 gilt: I 2 0 e 0 = 0 II 2 0 e 0 = 0 d.h. (0, 0) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(0,0) = (2 e 0 +0 e 0 ) 2 0 e 0 = 2 2 = 4 > 0 f (0,0) = 2 > 0; d.h. (0;0) lokale Minimalstelle. 4

5 QM II-Klausur am Aufgabe Einem Immobilienmogul wird in Köln ein Hochhaus zum Kauf angeboten. Der Kaufpreis liegt bei 0 Mio. Euro. Es ist davon auszugehen, dass das Hochhaus noch für 25 Jahre genutzt werden kann, bevor es (ohne Kosten) abgerissen werden muss. Der Zinssatz liegt bei 3%. a) Bestimmen Sie die Höhe der jährlich nachschüssigen Annuität, die aus der Vermietung des Hochhauses erwirtschaftet werden muss, damit sich der Kauf des Hochhauses lohnt. b) Der Immobilieninvestor möchte vor dem Kauf der Immobilie gerne einen Abschreibungsplan für die Immobilie studieren. Die Abschreibung der Immobilie soll gemäß der geometrisch-degressiven mit Übergang zur linearen Abschreibung erfolgen. Der Abschreibungssatz wird auf 0% festgelegt. Gehen Sie von einer Nutzungsdauer von 25 Jahren aus.. In welchem Jahr soll die Abschreibung von der geometrisch-degressiven auf die lineare Abschreibung umgestellt werden? 2. Stellen Sie den Abschreibungsplan für die ersten drei Jahre auf. c) Eine Familie möchte im Zuge des möglichen Eigentümerwechsels des Hochhauses gerne die selbst genutzte Wohnung kaufen. Die Familie zahlt eine Miete von.000 Euro am Ersten eines jeden Monats und bietet Euro für die derzeit gemietete Wohnung. Ist das Angebot aus Sicht des Verkäufers lukrativ, so dass sich ein Verkauf der Wohnung finanziell lohnt? Lösung zu Aufgabe : a) A = , ,03,03 25 = ,7 b). n+ a = 25+ = 26 0 = 6 0, d.h. im 6. Jahr sollte erstmals linear abgeschrieben werden. 2. Jahr A-Betrag Buchwert c) R 0 = 000(2+6,5 0,03),0325 = 22353,34 0,03,0325 R 0 < d.h. der Immobilienmogul sollte verkaufen.

6 F-Mathe-Klausur am Aufgabe a) Ein Unternehmen zahlt seit jeher für jeden Arbeitnehmer am Jahresende.435,95 Euro in die betriebliche Rentenkasse ein. Auf die Betriebsrente wird ein Zins von 4% erwirtschaftet. Herr Meier scheidet im Alter von 65 Jahren am aus dem Unternehmen aus. Unterstellen Sie bei Ihren Rechnungen einen einheitlichen Zins von 4%.. Ermitteln Sie, wie lange Herr Meier im Unternehmen angestellt war, wenn er eine monatlich nachschüssige Betriebsrente für 25 Jahre in Höhe von.000 Euro erhält. 2. Welchen einmaligen Betrag hätte das Unternehmen zum Beschäftigungsbeginn von Herrn Meier zum Zinssatz von 4% anlegen müssen, damit Herr Meier zum die genannte Rente in Höhe von.000 Euro für 25 Jahre beziehen kann? Hinweis: Für den Fall, dass Sie Aufgabe a.) nicht beantwortet haben, nehmen Sie an, dass Herr Meier 47 Jahre im Unternehmen beschäftigt war. b) Herr Meier hat neben der Betriebsrente auch privat für seinen Ruhestand vorgesorgt. Dabei hat ihm insbesondere eine größere Erbschaft am in Höhe von Euro geholfen. Bestimmen Sie, auf welchen Betrag die Euro bis zum angewachsen sind, wenn Herr Meier das Kapital zu einer stetigen Verzinsung mit einem Zinssatz von 2% anlegen konnte. c) Herr Meier kauft am für seinen Ruhestand eine Wohnung zum Preis von Euro. Er hat die Wohnung über einen Kredit mit einem Jahreszins von 4% finanziert. Mit der Bank hat Herr Meier eine Annuitäten-Tilgung vereinbart, bei der er zu jedem Jahresende 4.76,35 Euro an die Bank zahlt. Berechnen Sie, wie lange Herr Meier die volle Annuität zahlen muss. Aufgabe 2 Es bestehen folgende Zahlungsverpflichtungen: 30000e am e am e am Diese Zahlungsverpflichtungen sollen umgeschuldet werden durch zwei gleich große Rückzahlungen am und am Wie hoch sind zu einem Jahreszins von 2, % diese beiden Zahlungen a) bei linearer Verzinsung (Bewertungsstichtag )?

7 b) bei relativ gemischter Verzinsung (Bewertungsstichtag )? c) bei konformer Verzinsung? Lösung zu Aufgabe : a). R 0 = 000(2+5,5 0,04),0425 0,04 n = 9090,82 ln[+ 0,04] 435,95 = 46, Jahre ln,04 = 9090,82, R 0 = 3026,43,0447 d.h. das Unternehmen hätte 30 26,43 Euro anlegen müssen. b) K 0 = e 0 0,02 = 6070,38 d.h das Guthaben wäre auf 60 70,38 Euro angewachsen ln[ 476,35 c) n = 0,04] = 20 ln,04 d.h. die volle Annuität ist 20 Jahre lang zu zahlen. Lösung zu Aufgabe 2: a) Wert der Zahlungsverpflichtungen am : , = 58402,20 0, ,20 = = +0,95224 =,95224 = 30495,28 0,02 2 d.h. die beiden Rückzahlungen betragen jeweils ,28 e. b) Wert der Zahlungsverpflichtungen am : ,02 (+ 8 0,02) , (+ 0 = 58362,23 0,02) ,23 = +,02 4 (+ 5 = +0, = = 0,02) ,20 d.h. die beiden Rückzahlungen betragen jeweils ,20 e. c) Wert der Zahlungsverpflichtungen am : = 58363,42,02 8 2, ,42 = + = +0,92297 =,92297 = 30520,06, d.h. die beiden Rückzahlungen betragen jeweils ,06 e. 2