WIRTSCHAFTSMATHEMATIK UND STATISTIK

Transkript

1 1 WIRTSCHAFTSMATHEMATIK UND STATISTIK Name:... Punkte:... Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: AKAD Formelsammlung Gelbes Formelbuch Formel und Tafeln Taschenrechner (netzunabhängig, ohne zusätzliche Module) Persönliche Zusammenfassung (10 Seiten, einseitig beschrieben, normale Schriftgrösse, geheftet oder gebunden, mit dem Namen des Verfassers versehen) Wichtig für Sie: Dieser Prüfungstext besteht aus insgesamt 5 Seiten. Schreiben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben auf separate, mit Ihrem Namen beschriftete Lösungsblätter. Der Lösungsweg muss bei jeder Aufgabe klar ersichtlich sein. Sie müssen also zeigen, wie Sie das Resultat erhalten haben. Unterstreichen Sie das Resultat. Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 100 Punkte. Der vollständige Prüfungstext ist am Schluss der Prüfung zusammen mit den Lösungsblättern abzugeben. 1

2 Detailfragen (In den Klammern ist die erreichbare Punktzahl angegeben. Total können Sie mit den Detailfragen 30 Punkte erreichen.) 1. Was ist die Bedeutung des Variationskoeffizienten? (2 Punkte ) 2. Geben Sie drei verschiedene Mittelwerte an und beschreiben Sie diese. (3 Punkte) 3. Phillip Morris hat 150 t Rohtabak der Sorte A und 100 t Rohtabak der Sorte B. Für die Mischung Marlboro benötigt man 40% von Sorte A und 60 % von Sorte B. Die Pfeifenmischung Amsterdam benötigt 50% von Sorte A und 50% von Sorte B. Für eine Tonne Mischung Marlboro wird ein Gewinn von 2400 USD erwirtschaftet; eine Tonne Amsterdam bringt 2500 USD. Wieviel Tonnen von jeder Mischung sollte man herstellen, um einen optimalen Gewinn zu haben? ( 8 Punkte ) 4. Nach der Einführung des Euros kontrolliert die Europäische Zentralbank die Echtheit der Notenscheine. In einem Bündel von zehn Scheinen befindet sich ein falscher Schein. Das Bündel durchläuft zwei Kontrollstellen, bei denen jeweils zwei Scheine gezogen und kontrolliert werden. Nach der Kontrolle werden beide Scheine wieder ins Bündel gesteckt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der falsche Schein die zwei Kontrollen unentdeckt durchlaufen kann? ( 7 Punkte) 5. Eine Fertigungslinie mit dem Anschaffungspreis von 1'300'000 Fr. wird in 10 Jahren geometrisch degressiv auf einen Restwert von 150'000 Fr. abgeschrieben. Wie gross ist die jährliche Abschreibungsrate? ( 3 Punkte ) 6. Eine Kunde investierte sein Vermögen in zwei verschiedene Aktien. Im Jahr 2000 erzielte er mit der Aktie A einen Kursanstieg von 9.3% und mit der Aktie B einen solchen von 3.7%. Die durchschnittliche Rendite war 5.1%. Im Jahr 2001 sank der Kurs der Aktien A um -7.1% und diejenige der Aktie B um -2.2%. Dadurch war der Buchwert der Investitionen im zweiten Jahr gegenüber dem ersten Jahr um Fr. gesunken. Wieviel hatte er ursprünglich in Aktien investiert? ( 7 Punkte ) Seite 1 von 4

3 Komplexaufgaben 1. Fluggesellschaft ( 20 Punkte ) Eine Fluggesellschaft fliegt als einzige Gesellschaft eine kleine Südseeinsel an. Der Flugplatz ist klein, so dass das eingesetzte Flugzeug lediglich 28 Sitze hat, was weit unter der Nachfrage liegt. Die restlichen Reisenden müssen mit der Nachtfähre reisen. Viele Geschäftsleute kaufen im voraus Tickets, um sicher einen Platz für einen bestimmten Flug zu haben; der Prozentsatz von nicht eingelösten Tickets ist deshalb gross. Durch gezieltes Überbuchen soll nun ein möglichst grosser Umsatz erwirtschaftet werden. a) Als erstes wird bestimmt, wie viele gebuchten Plätze durchschnittlich nicht eingenommen wurden. Als Stichprobe werden die Zahlen der letzten 31 Tage untersucht. Es wurden folgende Prozentzahlen für das Nichterscheinen evaluiert : 17, 20, 14, 9, 11, 16, 6, 15, 17, 21, 7, 9, 14, 11, 15, 13, 19, 6, 17, 16, 14, 13, 9, 11, 17, 18, 12, 15, 11, 13 und 19. ( D.h., dass am ersten Tag 17%, am zweiten Tag 20% der Passagiere usw. nicht erschienen sind.) Bestimmen Sie das 99% Vertrauensintervall für die durchschnittliche Prozentzahl des Nichterscheinen der Passagiere. Arbeiten Sie im folgenden mit einem Wert von 15% für das Nichterscheinen der Passagiere. b) Die Fluggesellschaft verkaufte bis anhin 28 Tickets pro Flug. Wie viele leere Plätze waren im Durchschnitt zu erwarten? c) Pro verkauftes Ticket verlangt die Fluggesellschaft 120,- Fr. Beim Nichterscheinen verfällt das Ticket. Die Gesellschaft verkauft nun durchschnittlich 30 Tickets pro Flug. Erscheinen mehr als 28 Passagiere, so entstehen für jeden überzähligen Passagier Kosten von je Fr. Wie gross ist der durchschnittliche Nettoumsatz bei diesem gezielten Überbuchen mit 30 Passagieren (Annahme: 15% Nicht-erscheinen). d) Wie viele Tickets kann die Fluggesellschaft durchschnittlich verkaufen, damit die Auslastung durchschnittlich gerade 28 Passagiere pro Flug beträgt? Seite 2 von 4

4 2. Halbleiterindustrie ( 30 Punkte ) Die Herstellung von reinstem Silizium ist äusserst energieaufwendig. Der Monopolist SILICA kennt für die Produktion von Reinstsilizium die folgenden Werte für die Gesamtkosten K (in Geldeinheiten GE) in Funktion der Menge x (in Mengeneinheiten ME): Fixkosten: 30 GE Energiekosten: KE = 4 x 3 2 Übrige Kosten: KU = x 0.01 x x a) Berechen Sie die Kostenfunktion. b) Zwischen nachgefragter Menge x und dem Absatzpreis p besteht folgender Zusammenhang: p = 10 e 0.01 x Bestimmen Sie die Gewinnfunktion. c) Stellen Sie die Kosten- und Gewinnfunktion graphisch dar (für den Bereich zwischen 0 ME und 90 ME). d) Bei welcher Menge wird die Firma maximalen Gewinn erzielen? (Hinweis: Benutzen Sie als Näherungsverfahren die Methode regula falsi) e) Berechnen Sie den Elastizitätskoeffizienten für die Nachfrage ε = dx(p) dp p x(p) in Funktion der Menge p. f) Wie gross ist die Elastizität bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge? Seite 3 von 4

5 3. Kauf versus Miete ( 20 Punkte ) Eine KMU möchte sich eine neue Telefonanlage beschaffen. Das Angebot der Swisscom lautet wie folgt: 1. Kaufpreis von Fr. netto; Bezahlung des gesamten Betrages bei Lieferung, oder 2. Leasing für eine unbeschränkte Dauer bei einer jährlich zu bezahlenden Leasingrate von 3190,35 Fr. Die erste Rate ist zahlbar bei Lieferung der Anlage. Die Telekomfirma Sunrise unterbreitet für die gleiche Anlage folgende Offerte: 1. Ein Kauf mittels zweier Zahlungen von je 11'000.- Fr. Die erste Zahlung ist fällig bei Lieferung und die zweite nach Ablauf von 2 Jahren; Sie sollen die verschiedenen Angebote miteinander vergleichen. Dazu sollen folgende Berechnungen aufgestellt werden: a) Nach welcher Zeitspanne ist beim Angebot der Swisscom der Kauf vorteilhafter als das Leasing? Der Kalkulationszinsfuss ist 6% und die Anlage hat keinen Wiederverkaufswert. b) Sie möchten die Leasingrate bei Swisscom monatlich statt jährlich bezahlen. Wie gross müsste diese Rate sein, falls für deren Berechnung eine einfache, vorschüssige Verzinsung vorausgesetzt wird bei einem Zinssatz von 4.5%. c) Welche Variante (Swisscom oder Sunrise) wäre vorteilhafter, falls Sie sich für einen Kauf entscheiden (ebenfalls mit dem Kalkulationszinssatz von 6%). d) Bei welchem Zinsfuss sind die Kaufvarianten der zwei Konkurrenten identisch? Seite 4 von 4