Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (4) (4) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe : Bewertung dieser Aufgabe: richtiges Kreuz: Punkt, falsches Kreuz: - Punkt; Falls die Anzahl falscher Kreuze größer ist als die Anzahl richtiger Kreuze, gibt es 0 Punkte. Für jede der folgenden Aussagen ist zu entscheiden, ob sie wahr oder falsch ist. Kreuzen Sie das entsprechende Kästchen W für wahr oder F für falsch an. (a) W F x = 5 x (b) W F x R x 2 > 25 x (, 5) (5, ) (c) W F {x R 2x 2 + 5x + 2 = 0} = { 2} (d) W F {x R x 2 9} = [, ) Aufgabe 2 : In einem Mathetest haben 00 Studenten jeweils 2 Aufgaben bearbeitet. Leider waren bei 5 Studenten die Lösungen beider Aufgaben falsch. Insgesamt 65 Studenten hatten die erste Aufgabe richtig gelöst und insgesamt 70 Studenten hatten die zweite Aufgabe richtig gelöst. Wieviele Studenten hatten beide Aufgaben richtig gelöst? Wieviele Studenten hatten die erste Aufgabe richtig und die zweite Aufgabe falsch gelöst? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms.

2 Aufgabe : Herr Klamm hat bei einem Bekannten einen Kredit aufgenommen, den er in den nächsten Jahren mit Zins und Zinseszins (nachschüssig) bei einem Zinssatz von 4% p.a. zurückzahlen soll. Am Ende des., 2. und. Jahres sind jeweils 2 000e zu zahlen. Danach soll er nur noch am Ende des 5. und 7. Jahres jeweils 2 000e und am Ende des 0. Jahres eine Abschlußzahlung von 4 864,27e zahlen. (a) Wie hoch ist die Kreditsumme, d.h. wieviele Euro hat Herr Klamm von seinem Bekannten bekommen? Geben Sie den Lösungsweg an. (b) Überraschend macht Herr Klamm am Ende des. Jahres eine Erbschaft von 0 000e. Sein Bekannter ist damit einverstanden, dass er dieses Geld sofort zusätzlich zur Kreditrückzahlung einsetzt, also am Ende des ersten Jahres 2 000e zurückzahlt. Den verbleibenden Rest (einschleißlich Zins und Zinseszins) soll er dann am Ende des 5. Jahres zurückzahlen. Wie hoch ist die Restzahlung am Ende des 5. Jahres? Geben Sie den Lösungsweg an. Aufgabe 4 : Herr Förster möchte 0 Hektar Wald zum Preis von 000e pro Hektar verkaufen. Leider findet sich kein Käufer, der diesen Preis sofort bezahlt. Herr Fuchs bietet eine Ratenzahlung von 700e im Monat (nachschüssig) an. Es wird ein Zinssatz von 4% p.a. zugrunde gelegt. (a) Welche Laufzeit (aufgerundet auf ganze Monate) ergibt sich bei dieser Ratenzahlung? Gegen Sie den Lösungsweg an. (b) Da Herr Förster sich nicht auf einen so langen Rückzahlungszeitraum einlassen will, einigt er sich mit Herrn Fuchs schließlich auf 4 000e sofort und 6 nachschüssige Monatsraten von je 700e. Welchem Barverkaufspreis und welchem Preis pro Hektar entspricht dies? (c) Wie hoch wären die Raten, wenn der Gesamtpreis von 0 000e inklusive Zins und Zinseszins (bei weiterhin 4% p.a.) in 2 Raten jeweils 2-monatlich und sofort beginnend (also vorschüssig) gezahlt werden soll? Aufgabe 5 : Ein Unternehmen hat einen Kredit von e aufgenommen, der bei einem Zinssatz von 4% p.a. mittels Annuitätentigung (nachschüssig) zurückgezahlt werden soll. Die Annuitäten (pro Jahr) sollen 2 000e betragen, wobei eine verminderte Abschlußannuität vereinbart wird. Wie hoch sind die Tilgungsanteile T j in den letzten beiden Jahren des Rückzahlungszeitraumes und wie hoch ist die Abschlußannuität? Geben Sie den Lösungsweg an. Sofern Sie die Laufzeit nicht ermitteln können, berechnen Sie den Tilgungsanteil des. Jahres.

3 Aufgabe 6 : In einer Firma werden aus Rohstoffen R, R 2, R drei Produkte Z, Z 2, Z hergestellt, die teilweise verkauft und teilweise im eigenen Betrieb weiterverarbeitet werden. Bei der Weiterverarbeitung werden die 2 Endprodukte E und E 2 hergestellt. Tabelle A gibt an, wieviele Mengeneinheiten (ME) vom Rohstoff R i in jeweils eine ME des Produktes Z j eingehen, Tabelle B gibt an, wieviele ME des Produktes Z j in jeweils eine ME des Endproduktes E k eingehen. A Z Z 2 Z R 5 2 R R 6 B E E 2 Z 2 4 Z 2 5 Z 0 8 (a) Ein Käufer bestellt 20 ME Z ; 50 ME Z 2 ; 0 ME Z, 00 ME E und 00 ME E 2. Wieviele Mengeneinheiten R, R 2 und R werden jeweils insgesamt benötigt, um die bestellten Produkte herzustellen? Geben Sie den Lösungsweg an. Geben Sie für diese Aufgabenstellung eine allgemeine Matrizengleichung zur Berechnung der Rohstoffmengen r = (r, r 2, r ) T mit z out = (z, z 2, z ) T und e = (e, e 2 ) T an, wobei z j (j =, 2, ) die Anzahl der bestellten ME von Z j und e k (k =, 2) die Anzahl der bestellten ME von E k angibt. (b) Im Lager befinden sich noch 200 ME R, 60 ME R 2 und 440 ME R. (b) Können aus der Menge der gelagerten Rohstoffe Mengeneinheiten E 2 hergestellt werden? Wieviele Mengeneinheiten der verschiedenen Rohstoffe wären dann noch übrig? (b2) Wieviele Mengeneinheiten der Produkte Z, Z 2 und Z können daraus hergestellt werden, wenn alle Rohstoffe verbraucht werden sollen? Geben Sie das Ergebnis gegebenenfalls in Parameterdarstellung mit Grenzen für den Parameter an. Geben Sie den Lösungsweg an. (Tipp: Erstellen und lösen Sie ein LGS.) Aufgabe 7 : Gegeben sind die Matrizen A = (a) Gesucht ist die Matrix X mit Geben Sie den Rechenweg an. Zusatzaufgabe: ( 2 7 (b) Berechnen Sie die Matrix X mit Geben Sie den Rechenweg an. ) und B = X AB = 2 X A. X A B = 2X. ( 2 5 ).

4 Aufgabe 8 : In einer Bäckerei werden unter anderem Berliner, Spritzkuchen und Eclair produziert. Eine Mengeneinheit (ME) der jeweiligen Backwaren sind jeweils 25 Stück. Die Bäckerei ist in die drei Abteilungen Teigzubereitung, Backstraße und Konditorei unterteilt. In der Backstraße können täglich 20 ME Berliner oder 0 ME Spritzkuchen oder 0 ME Eclair oder eine entsprechende Kombination dieser Anzahlen hergestellt werden. Darüberhinaus benötigt eine ME Berliner 5 Minuten in der Teigzubereitung und 0 Minuten in der Konditorei. Eine ME Spritzkuchen benötigt 24 Minuten in der Teigzubereitung und 6 Minuten in der Konditorei. Eine ME Eclair benötigt 0 Minuten in der Teigzubereitung und 40 Minuten in der Konditorei. Die Abteilungen Teigzubereitung und Konditorei arbeiten täglich 8 Stunden. Im Verkauf erzielt ein Berliner einen Erlös von 56 Cent, ein Spritzkuchen erzielt einen Erlös von 80 Cent und ein Eclair erzielt einen Erlös von,60e. Für die Maximierung des täglichen Erlöses der Bäckerei bezüglich dieser Backwaren ergibt sich das folgende Optimierungsproblem und nach einigen Austauschschritten das angegebene Simplextableau. Z = 4x + 20x x max 5x + 24x 2 + 0x 480 (y ) x 20 + x 0 2+ x 0 (y 2 ) 0x + 6x x 480 (y ) x, x 2, x 0 T 2 y x y y x x 0 Z Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. (a) (b) (c) Geben Sie die genaue Bedeutung der Variablen x, x 2 und x an Welche Stückzahlen von Berlinern, Spritzkuchen und Eclair sollten täglich produziert und verkauft werden, um maximalen Erlös zu erzielen und wie hoch ist dieser? In der Backstraße gibt es Probleme, so dass nur 80% der Kapazität zur Verfügung stehen. Kann das optimale Produktionsprogramm trotzdem realisiert werden? Begründen Sie Ihre Antwort. (d) Durch die Gewinnung einer zusätzlichen Arbeitskraft kann in der Teigzubereitung 4 Stunden länger, also insgesamt täglich 2 Stunden gearbeitet werden. Welche Auswirkungen hat dies auf des optimale Produktionsprogramm und den maximalen Erlös? Wie hoch wäre in diesem Fall die Auslastung der Backstraße? Geben Sie den Lösungsweg an. (e) (f) In welchem Intervall muß der Erlös für einen Berliner liegen, damit die täglichen optimalen Produktionsmengen denen im obigen Tableau entsprechen? Geben Sie den Lösungsweg an. Bei einer Werbeaktion wird der Preis für ein Eclair drastisch auf,06e gesenkt. Eine ME Eclair bringt damit nur noch einen Erlös von 26,50e. Welche Auswirkungen hat dies auf das optimale Produktionsprogramm und den maximalen Erlös? Geben Sie den Lösungsweg an. Gibt es in diesem Fall mehrere optimale Lösungen? Wenn ja, geben Sie die Produktionsmengen für eine zweite Lösung an. Wenn nein, begründen Sie Ihre Antwort.

5 Gruppe B: Ergebnisse - keine vollständigen Lösungen. (a) x = 5 x ist wahr. (b) x 2 > 25 x (, 5) (5, ) ist wahr. (c) {x R 2x 2 + 5x + 2 = 0} = { 2} ist falsch. (d) {x R x 2 9} = [, ) ist falsch. 2. A - Menge der Studenten, die die erste Aufgabe falsch gelöst haben. B - Menge der Studenten, die die zweite Aufgabe falsch gelöst haben. 00 A B Studenten haben beide Aufgaben richtig gelöst. 5 Studenten hatten die erste Aufgabe richtig und die zweite Aufgabe falsch.. Geg.: q =.04 (a) K 0 = q ,27 q q q 5 q 7 q 0 Die Kreditsumme betrug 2 000e. = 2 000e (b) K neu = = 480e, K neu 5 = 480 q 4 = 56, 5e. Am Ende des 5. Jahres muss Herr Klamm noch 56,5e zurückzahlen. 4. Geg.: R 0 = 0 000e, q =.04, q m = 2.04, R = 700e (a) n = R ln q m ln R R 0 (q m ) = 46, Die Laufzeit beträgt rund 47 Monate. (b) R b 0 = q6 m q m qm 6 = 27 75, 0e. Der Barverkaufspreis wäre in diesem Fall 27 75,0e, d.h ,0/0=2 77,5e pro Hektar. (c) q z = 6.04, q z = q 2 z q z R q2 z Die Raten würden 2 590,86e betragen. R = q z q z qz 2 = 2 590, 86e 5. Geg.: K 0 = e, q =.04, A = A j = 2 000e Laufzeit: n = ln A ln q A K 0 (q =, 024, d.h. 4 Jahre ). Jahr: K j = K 0 q 2 A q2 = 84, 20, Z q = 0.04 K 2 = 472, 57, T = Z = 527, 4

6 4. Jahr: K = K 2 T = 286, 77 = T 4, A 4 = q K = 298, 24 Die Tilgung im. Jahr beträgt 527, 4e. Die Tilgung im letzten Jahr beträgt 286,77e und die Abschlußannuität 298,24e. 6. (a) r = A z out +A B e = r = ( ) ( ) = = Es werden insgesamt 8 50 ME R, ME R 2 und ME R benötigt. ( ) 5 0 (b) A B = 54. Damit sind die gelagerten Rohstoffe ausreichend für die 5 Produktion von ME E 2. Es bleiben = 65 ME R, = 06 ME R 2 und = 89 ME R übrig. (b2) T 0 z z 2 z y y z T y z 2 z z y y y z 80 0 : z 2 = 0 + t 0 0 t T 2 y y 2 z z 80 y z 2 60 Aus den gelagerten Rohstoffen können 80 t ME Z, t ME Z 2 und 60 2t ME Z (0 0) hergestellt werden. ( ) (a) X = 2AB 2A = ( ) ( ) ( ) (b) Zusatz: X = B (A 2E) = = (a) x - Anzahl der produzierten Berliner in ME pro Tag x 2 - Anzahl der produzierten Spritzkuchen in ME pro Tag x - Anzahl der produzierten Eclair in ME pro Tag (b) Es sollten täglich 0ME = 250 Spritzkuchen, keine Berliner und 8ME = 200 Eclair produziert und verkauft werden, um einen maximalen Erlös von 520e zu erzielen. (c) y 2 BV, t = 0.2 [ 2 5, ) d.h. das optimale Produktionsprogramm kann trotzdem realisiert werden.

7 (d) y NBV, t = 4 60 = = Es sollten nur noch 0ME = 750 Spritzkuchen (keine Berliner, keine Eclair) hergestellt werden um einen maximalen Erlös von = 600e zu erzielen. Die Backstraße wäre in diesem Fall voll ausgelastet. (e) x NBV t (, 27 2 ] c 2 (, 27.5] Der Erlös für eine ME Berliner kann damit zwischen 0 und 27,5e liegen ohne dass sich das optimale Produktionsprogramm ändert. D.h. ein Berliner darf 0 bis,0e Erlös erbringen. (f) x BV, t =, 5 (, 27, ), 5(,, ) = (0.78, 0, 0.075) Damit ist das Produktionsprogramm unter (b) weiterhin optimal. Der maximale Erlös sinkt auf Zmax = 520, 5 8 = 42e. In diesem Fall gibt es mehrere Lösungen. Für eine weitere Lösung ist ein Austauschschritt x x 2 durchzuführen. Es sollten danach 5ME = 75 Spritzkuchen und 8M E = 200 Berliner und keine Eclair produziert werden.