Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel

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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik Gleichungssysteme und Gauÿalgorithmus Aufgabe 2.1 Für ein Gut ist die folgende (lineare) Preis-Absatz Funktion bekannt: x(p) = a b p wobei x die abgesetzten Mengeneinheiten und p den Verkaufspreis (in GE) pro ME bezeichnen. a) Für die Absatzmengen und die Preise sind folgende Kombinationen bekannt: p x Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Koezienten a und b. b) Die Sättigungsgrenze liegt bei 2 ME; d.h. mehr als 2 ME können nicht abgesetzt werden. Ferner werden 1 ME des Guts abgesetzt, falls der Verkaufspreis 25 GE beträgt. Bestimmen Sie aus diesen Angaben die Koezienten a und b. Aufgabe 2.2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauÿalgorithmus die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme: a) x 1 + 6x 2 = x 1 x + 4x 4 = 1 2x 1 + x 2 + x 4 = 12 6x 1 + x 4 = 9 b) x + 5y 22z = x + y + z = x + y 42z = Lösungsmenge IL = { Lösungsmenge IL = { } } c) 2x 1 x 2 + 4x = 8 x 2 2x = 6 x 1 + 4x 2 x = 12 Lösungsmenge IL = { } d) 4x 1 + 8x + 16x 4 = 2 x 1 + 2x 2 + 1x + 8x 4 = 4 x 1 + 6x + 5x 4 = 4 2x 2 + 1x + 7x 4 = 2 2x 2 + 1x + 12x 4 = 2 1 Lösungsmenge IL = { }

2 e) x 1 + 2x 2 + x + 4x 4 = x 1 + x 2 + x + x 4 = x 2 + x + x 4 = Lösungsmenge IL = { x 4 2x 4 x 4 ; x 4 IR} Die ausführlichen Lösungen stehen im Internet. Aufgabe 2. Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: x 1 2x 2 + x + x 4 = 5 x 1 + 2x 2 x + x 4 = 7 2x 1 + x + 2x 4 = 21 4x 1 + x + 4x 4 = a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des obigen Gleichungssystems. b) Geben Sie die Lösungsmenge an, die alle nichtnegativen Lösungen enthält. c) Wie lautet die Lösungsmenge, wenn in der vierten Gleichung die Zahl 4 statt der Zahl steht? Aufgabe 2.4 Ein Unternehmen stellt in der ersten Produktionsstufe aus zwei Rohmaterialen R 1 und R 2 drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z her. In der zweiten Produktionsphase werden aus den drei Zwischenprodukten drei Endprodukte P 1, P 2, P gefertigt. Der Verbrauch an Rohmaterial pro Mengeneinheit der Zwischenprodukte ist durch die Produktionsmatrix A gegeben, der Verbrauch an Zwischenprodukten pro Mengeneinheit der Endprodukte durch die Produktionsmatrix B: A = [ ] B = a) Von den Endprodukten sollen 1 ME von P 1, 2 ME von P 2 und ME von P produziert werden. Wie viele ME der Rohmaterialien werden dazu benötigt? Wie viele ME der Zwischenprodukte entstehen dabei? b) Eine ME von Rohmaterial R 1 kostet 1 GE und eine ME von R 2 kostet 2 GE. 1. Bestimmen Sie die Rohmaterialkosten für jeweils eine ME der Endprodukte. 2. Die Zwischenprodukte Z 1, Z werden dem Unternehmen für einen Preis von 5 GE pro ME angeboten. Das Zwischenprodukt Z 2 kann für 6 GE pro ME eingekauft werden. Soll das Unternehmen die Zwischenprodukte einkaufen oder selbst produzieren? c) Von den Rohmaterialien stehen 2 ME von R 1 und 1 ME von R 2 zur Verfügung. Zeigen Sie, dass es kein ökonomisch sinnvolles Produktionsprogramm gibt, wenn das Rohmaterial vollständig verbraucht werden soll. 2

3 Aufgabe 2.5 Ein Unternehmen stellt in einem zweistugen Produktionsplan aus zwei Rohstoen R 1, R 2 und drei Zwischenprodukten Z 1, Z 2, Z die Endprodukte E 1, E 2 her. Der Produktionszusammenhang wird durch folgende Materialussgrak wiedergegeben: 4 Z R 1 E 1 6 Z 2 4 R 2 E Z a) Es stehen 8 2 ME von Rohsto R 1 und 4 4 ME von Rohsto R 2 zur Verfügung. Wie viele ME von E 1 bzw. E 2 können daraus produziert werden? b) An Rohmaterial kosten 1 ME von E 1 genau 4 GE und 1 ME von E 2 genau 84 GE. Berechnen Sie daraus die Rohstokosten pro ME der Rohmaterialien R 1 und R 2. Aufgabe 2.6 In einem Unternehmen bestehen drei Kostenstellen K 1, K 2, K. Sie erbringen Leistungen für die jeweils anderen beiden Kostenstellen sowie für den Absatzmarkt. Die Leistungen (in M E) für den Absatzmarkt umfassen: K 1 K 2 K Die gegenseitigen Leistungsabgaben (in M E) zwischen den Kostenstellen sind in folgender Tabelle festgehalten: abgebende empfangende Stelle Stelle K 1 K 2 K K 1 2 K K 5 6

4 Die Stellen-Primärkosten betragen (in GE): K 1 K 2 K Bestimmen Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise. 4

5 Lösung zu Aufgabe 2.1 a) x(p) = 1 2 p ; p [; 5] b) I 2 = a b a = 2 II 1 = a b 25 1 = 2 25b b = 4 d.h. x(p) = 2 4 p ; p [; 5] Lösung zu Aufgabe 2.2 a) Zeile x 1 x 2 x x 4 b Op x 4 = 21 x 4 = x 5 7 = 2 x = x = 4 x 2 = 1 1 x ( 1) = x 1 = IL = { } 5

6 Lösung zu Aufgabe 2.2 b) Zeile x y z b Operation z = z = 8 2y 25 = y = 7 x = x = IL = { } Lösung zu Aufgabe 2.2 c) Zeile x 1 x 2 x b Operation x = 2 ; d.h. IL = 6

7 Lösung zu Aufgabe 2.2 d) Zeile x 1 x 2 x x 4 b Operation x 4 = 26 ; d.h. IL = 7

8 Lösung zu Aufgabe 2.2 e) Zeile x 1 x 2 x x 4 b Op x 2x 4 = x = 2x 4 8 x 2 2 ( 2x 4 ) x 4 = x 2 = x 4 7 x 1 + 2x 4 + ( 2x 4 ) + 4x 4 = x 1 = IL = { x 4 2x 4 x 4 ; x 4 IR} Lösung zu Aufgabe 2. a) Zeile x 1 x 2 x x 4 b Op

9 16 Keine Information! 15 x = 9 x = 14 4x 2 6 = 2 x 2 = 5 1 x x 4 = 5 x 1 = 6 x 4 IL = { 6 x 4 5 x 4 ; x 4 IR} Lösung zu Aufgabe 2. b) 1. x 1 = 6 x 4 x x 2 = 5 okay. x = okay 4. x 4 6 x 4 IL = { 5 ; x 4 [; 6]} x 4 Lösung zu Aufgabe 2. c) Zeile x 1 x 2 x x 4 b Op

10 16 x 4 = 1 ; d.h. IL = Lösung zu Aufgabe 2.4 a) Gesamtbedarf M = A B P 1 P 2 P R R M 1 2 = [ ] d.h. es werden 6 8 ME von R 1 und 9 ME von R 2 benötigt. B 1 2 = d.h. es entstehen 1 4 ME von Z 1, 8 ME von Z 2 und 4 ME von Z. b) 1. (1, 2) M = (25, 8, 49) d.h. an Rohmaterial kosten eine ME P 1 25 GE, eine ME P 2 8 GE und eine ME P 49 GE. 2. (1, 2) A = (12, 7, 6) d.h. in Eigenproduktion kosten an Rohmaterial eine ME von Z 1 12 GE, eine ME von Z 2 7 GE und eine ME von Z 6 GE d.h. es ist günstiger die Zwischenprodukte zu kaufen. c) e 1 =ME von P 1 e 2 =ME von P 2 e =ME von P Gauÿalgorithmus Zeile x 1 x 2 x b Operation e e = 7 e 2 = e ( 7 9e ) e + 1e = 2 9e e 1 = e 18 e 1 = e e e =

11 Lösungsmenge des Gleichungssystems: 18 2 e IL = { e e ; e IR} Ökonomisch sinnvolle Lösungen: 18 I e 1 = 2 e e 9 II e 2 = 7 58e e 7 58 III e Wegen II und III gibt es keine ökonomisch sinnvolle Lösungsmenge. Lösung zu Aufgabe 2.5 Gesamtbedarf M (in ME) an Rohmaterial für jeweils eine ME der Endprodukte: E 1 E 2 R R a) Mit dem Gauÿalgorithmus wird die Lösung bestimmt. Zeile e 1 e 2 r Operation e 2 = 18 4 e 2 = 2 14e = 8 2 e 1 = 1 Aus dem Vorrat lassen sich 1 ME von E 1 und 2 ME von E 2 herstellen. b) I 14x x 2 = 4 II 4x x 2 = 84 Zeile x 1 x 2 r Operation x 2 = 92 x 2 = 1 14x = 4 x 1 = 2 d.h. eine ME von R 1 kostet 2 GE und eine ME von R 2 kostet 1 GE. Lösung zu Aufgabe 2.6: v 1 =Bewertung in GE für eine in K 1 hergestellte Leistungsmengeneinheit v 2 =Bewertung in GE für eine in K 2 hergestellte Leistungsmengeneinheit v =Bewertung in GE für eine in K hergestellte Leistungsmengeneinheit 11

12 Kostengleichgewicht: I ( )v 1 1v 2 5v = 2 II ( )v 2 2v 1 6v = 7 III ( )v v 1 4v 2 = 1 76 Gauÿalgorithmus: Zeile v 1 v 2 v Operation v = 11 v 2 = = = v 1 = = 4 2 Die innerbetrieblichen Verrechnungspreise betragen v 1 =4 GE, v 2 = GE und v =5 GE. d.h. es kostet 4 GE eine Leistungsmengeneinheit in K 1 herzustellen, GE eine Leistungsmengeneinheit in K 2 herzustellen und 5 GE eine Leistungsmengeneinheit in K herzustellen. 12

13 Gauÿalgorithmus Zeile x 1 x 2 x b Op IL = { }

14 Gauÿalgorithmus Zeile x 1 x 2 x x 4 b Op IL = { }