Mathematik. Lernbaustein 6

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1 BBS Gerolstein Mathematik Mathematik für die Berufsoberschule II Lernbaustein 6 Lineare Algebra Lernbaustein 6.pdf Erstellt von: Herrn St Percy Merkelbach Stand: Merkelbach

2 Inhaltsverzeichnis Lernbaustein Lineare Algebra Matrizen arstellung und Arten von Matrizen Matrizenaddition S-Multiplikation Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt) Transponierte Matrix Übungen Lineare Verflechtungen Mehrstufige Produktionsprozesse Lineare Gleichungssysteme arstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen eterminanten Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer schen Regel Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus Merkelbach

3 Lernbaustein 6 Lineare Algebra ie lineare Algebra ist eine mathematische isziplin, die sich mit Größen beschäftigt, welche in linearer Beziehung zueinander stehen. 1. Matrizen In den Wirtschaftswissenschaften fallen oft große atenmengen an, die zu Blöcken zusammengefasst werden können. Mit Hilfe der Matrizenrechnung lassen sich viele Beziehungen zwischen solchen atenblöcken sehr übersichtlich darstellen und auswerten. In der Praxis liegen solche atenblöcke schon oft in Form von Tabelle vor. 1.1 arstellung und Arten von Matrizen Ein Unternehmen betreibt 4 Kiesgruben K 1, K 2, K 3 und K 4 und 3 Betonwerke B 1, B 2 und B 3, in denen der Kies aus den Kiesgruben zu Beton verarbeitet wird. Für den Monat Januar sind die Transporte (Einheit Tonnen) von den Kiesgruben zu den Betonwerken in einer Tabelle zusammengefasst. Tabelle: nach von B 1 B 2 B 3 K K K K Transportmatrix T In der nebenstehenden Tabelle werden die Transportkosten zusammengefasst (in pro Tonne), die beim Transport des Kieses von den Kiesgruben K i (i = 1, 2, 3, 4) zu den Betonwerken B j (j = 1, 2, 3) anfallen. Kostenmatrix K T K = nach von B 1 B 2 B 3 K 1 0,50 0,30 0,80 K 2 0,50 0,50 0,45 K 3 1,00 0,65 0,55 K 4 0,25 0,80 0,90 0,50 0,30 0,80 0,50 0,50 0, 45 = 1, 00 0, 65 0,55 0, 25 0,80 0,90 Unter einer Matrix versteht man ein Schema von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind. Enthält eine Matrix z.b. 3 Zeilen und 5 Spalten, so spricht man von einer 3x5-Matrix. ie Zahlen innerhalb einer Matrix heißen Elemente der Matrix. Sind in einer Matrix die Zeilen- und Spaltenanzahl gleich, ist ihre Form also quadratisch, so nennt man eine solche Matrix eine quadratische Matrix. In einer quadratischen Matrix bezeichnet man die iagonale von links oben nach rechts unten als ihre Hauptdiagonale A = Hauptdiagonale 3 Merkelbach

4 ie Aktienkurse der Unternehmen AEG, BOSS und VW sind für den Zeitraum einer Woche in Euro angegeben. Will man ein bestimmtes Element der Matrix A herausgreifen, dann muss angegeben werden, in welcher Zeile und in welcher Spalte dieses Element steht. Jedes Element einer Matrix wird deshalb mit oppelindizes versehen. er erste Index gibt an, aus welcher Zeile, und der zweite Index gibt an aus welcher Spalte der Matrix das Element kommt. a 24 ist das Element, das in der Matrix A in der 2. Zeile und in der 4. Spalte steht. Ein lineares Gleichungssystem (LGS), das aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen besteht, besitzt eine quadratische Koeffizientenmatrix. ie rechte Seite des LGS lässt sich als eine 1- spaltige Matrix darstellen. Eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht, wird auch Spaltenvektor genannt und eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht wird demnach Zeilenvektor genannt. Eine Matrix, die in der Hauptdiagonalen nur aus Einsen besteht und ansonsten nur Nullen aufweist, wird als Einheitsmatrix E bezeichnet. Mo i Mi o Fr AEG BOSS VW A = a11 a12 a13 a14 a15 A = a21 a22 a23 a 24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 5x + 3x + x = x x + 4x = x 2x + 3x = A = E = b = Matrizenaddition ie Transportmatrix A gibt die von den Kieswerken K i zu den Betonwerken B j transportierten Mengen für den Monat Januar an. ie Transportmatrix B gibt die transportierten Mengen für den Monat Februar an. Möchte man nun die Summe der transportieren Mengen von den einzelnen Kieswerken zu den jeweiligen Betonwerken berechnen, muss man die einzelnen Koeffizienten komponentenweise addieren. C = A + B mit c = a + b ij ij ij ie Subtraktion erfolgt analog: C = A B mit c = a b ij ij ij A = C = B = Merkelbach

5 1.3 S-Multiplikation as Betonunternehmen rechnet damit, dass sich alle Kosten für den Transport von den Kiesgruben zu den Betonwerken innerhalb der nächsten 5 Jahre verdoppeln werden. a sich alle Kosten verdoppeln werden, muss man jedes Element von K mit 2 multiplizieren. K wird also mit der reellen Zahl 2 multipliziert * K = 2 K. Man nennt diese Rechenoperation S-Multiplikation oder Skalar-Multiplikation. ie S-Multiplikation ist an kein Matrixformat gebunden. 0,50 0,30 0,80 0,50 0,50 0, 45 K = 1, 00 0, 65 0,55 0, 25 0,80 0,90 K * = 2 K K * 1,00 0,60 1,60 1, 00 1, 00 0,90 = 2, 00 1,30 1,10 0,50 1, 60 1, Matrizenmultiplikation (Skalarprodukt) Ein Aktienanleger kauft an einem Tag 30 AEG-, 50 BOSS- und 20 VW-Aktien. ie Aktienkurse an diesem Tag betragen für AEG 136, für BOSS 1040 und für VW 402. Wie hoch ist der Preis, den der Anleger für alle Aktien bezahlen muss? as Produkt aus einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor bezeichnet man als Skalarprodukt b1 a a a b = a b + a b + a b b = ( ) = Ein Aktienspekulant kauft an zwei verschiedenen Tagen jeweils 30 AEG-, 50 BOSS- und 20 VW-Aktien. ie Aktienkurse an diesen beiden Tagen betragen für AEG 136 und 140, für BOSS 1040 und 1050 und für VW 402 und 450. Wie hoch ist der Gesamtkaufpreis an den beiden Tagen? Fasst man die gekauften Mengen in dieser Reihenfolge in einem 3-spaltigen Zeilenvektor und die Kurse in gleicher Reihenfolge in einer 3x2- Matrix zusammen, dann kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation den Gesamtpreis für alle Aktien an den beiden Tagen berechnen, indem man den linksseitigen Zeilenvektor jeweils mit den Spaltenvektoren der 3x2-Matrix multipliziert. as Ergebnis ist ein 2-spaltiger Zeilenvektor ( = ) = ( ) 5 Merkelbach

6 Ein Börsenmakler kauft an einem Tage für 4 Kunden AEG-, BOSS- und VW-Aktien zu den Tageskursen 136,1040 und 402. er 1. Kunde ordert 30 AEG-, 50 BOSS- und 20 VW-Aktien, der 2. Kunde ordert 60 AEG- und 70 BOSS-Aktien, der 3. Kunde ordert 15 AEG- und 25 VW-Aktien und der 4. Kunde ordert 10 AEG- und jeweils 30 BOSS- und VW-Aktien. Berechnen Sie, welche Kaufpreise den 4 Kunden in Rechnung gestellt werden. as Ergebnis dieser Multiplikation ist ein Spaltenvektor, der die Kaufpreise aller Aktien für jeden Kunden wiedergibt. Kunde / Aktie Aktie / Preis = Kunde / Preis = = Ein Börsenmakler kauft an 2 verschiedenen Tagen für 4 Kunden jeweils immer die gleiche Anzahl an AEG-, BOSS- und VW-Aktien. Anzahl siehe vorherige Aufgabe. ie Aktienkurs steigen am 2.Tag auf AEG 140, BOSS 1050 und VW 450. ie Multiplikation des 1. Zeilenvektors von A mit dem 1. Spaltenvektor von B ergibt den Kaufpreis den der 1. Kunde für seine Käufe am 1. Tag zu zahlen hat. Multipliziert man nacheinander alle Zeilenvektoren der Matrix A mit allen Spaltenvektoren der Matrix B, dann erhält man eine Matrix, die die gesuchten Beträge für jeden Kunden an den beiden Tagen enthält. Kunde / Aktie Aktie / Tagespreis = Kunde / Tagespreis A B = = a jeder Zeilenvektor der Matrix A mit jedem Spaltenvektor der Matrix B elementweise multipliziert wird, muss die Matrix A genauso viele Spalten haben wie die Matrix B Zeilen besitzt. Allgemein: Ist A eine m x n-matrix und B eine r x s-matrix, dann muss also n = r gelten, damit das Produkt A B gebildet werden kann. ie Produktmatrix C hat dann das Format m x s, also genauso viele Zeilen wie die Matrix A und genauso viele Spalten wie die Matrix B. A B = C = c = a b + a b + a b = = Merkelbach

7 ie nebenstehenden beiden Matrizen A und B können nur als A B miteinander multipliziert werden. Als B A können die Matrizen nicht multipliziert werden, da das Format beider Matrizen dann nicht übereinstimmt, da die Anzahl der Spalten von B nicht mit der Anzahl der Zeilen von A übereinstimmt , A = B = Bei 2 quadratischen Matrizen vom selben Format lässt sich stets das Produkt A B als auch das Produkt B A bilden. ie Ergebnismatrix C ist zwar in beiden Fälle eine 3x3-Matrix aber die einzelnen Elemente stimmen nicht über ein. araus folgt: Eine Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. A B B A A = B = A B = B A = Lässt sich für eine Matrix A das Produkt E A bzw. A E mit der Einheitsmatrix E bilden, so ist die Produktmatrix in beiden Fällen wieder A. Ist A eine quadratische Matrix so ist die Multiplikation mit der Einheitsmatrix E kommutativ A = E = A E = A und E A = A 1.5 Transponierte Matrix Vertauscht man in einer (m x n)-matrix A die Zeilen mit den Spalten, erhält man die transponierte T Matrix A vom Format (n x m). Es gilt: T T ( A ) = Folgende Matrizenmultiplikation gilt: A T T T A B = B A T A = A = A = B = A B = T T T T A = 3 1 B = = B A Merkelbach

8 1.6 Übungen 1. Addieren Sie die Matrizen A und B. Welches Format haben die beiden Matrizen? ,1 A = B = 4, , Berechnen Sie 4 ( A + B ) und 4 A + 4 A = = B B und vergleichen Sie die Ergebnisse. 3. Berechen Sie die folgende Matrizenrechnungen: A = B = C = a) ( A + B) C b) A B c) 2 B + 4 A 4. Für die 100-Jahr-Feier eines Großunternehmens sind an den 4 Produktionsstätten Festbankette geplant, zu denen je 3 Menüs zur Auswahl stehen sollen. 3 Cateringgesellschaften (CG) haben Angebote für die Menüs abgegeben (in ). Entscheiden Sie welche Cateringgesellschaft an welchen Ort liefern soll, damit die Gesamtkosten so gering wie möglich sind. CG1 CG2 CG3 ortmund Hamburg Mainz Menü ,50 33,50 Menü Menü ,50 Menü Menü 3 38, Menü ie Impex AG bezieht aus Amerika von 4 verschiedenen Lieferanten die Produkte I, II und III. ie Handelsgesellschaft tätigt ihre Käufe auf ollarbasis. ie Kaufpreise werden für die Kalkulation des Verkaufspreises in Euro umgerechnet und sind in der unten aufgeführten Liste zusammengefasst. Lieferant Produkt I Produkt II Produkt III Brubeck Inc. 10,30 412,10 110,80 American Globe 12,10 400,20 105,30 Amex 10,80 398,40 108,10 Trading Comp. 11,20 405,60 115,70 a) urch den Kurssturz des ollars sind alle Euro-Preise um 10% gesunken. Berechnen Sie die neuen Preise in Euro b) Ermitteln Sie den günstigsten Lieferanten, wenn die Impex AG folgende Mengen von einem einzigen Lieferanten beziehen möchte Stück von Produkt I, 560 Stück von Produkt II und 1250 Stück von Produkt III. 8 Merkelbach

9 6. Ein kleiner Industriebetrieb stellt aus 4 Bauteilen zwei Fertigerzeugnisse her. In der Tabelle sind die ME der Bauteil zusammengefasst, die für je ein Fertigerzeugnis benötigt werden. a) ie Herstellungsmenge für einen Auftrag X beträgt 250 ME von F 1 und 200 ME von F 2. Wie viel ME der Bauteile werden für diesen Auftrag benötigt? b) Wie hoch sind die Bauteilekosten für je ein Fertigerzeugnis wenn 1 ME von B 1 4,00, 1 ME von B 2 6,00, 1 ME von B 3 14,00 und 1 ME von B 4 8,00 kostet? c) Wie viel betragen die gesamten Bauteilekosten für Auftrag X? d) ie Fertigungskosten (FK), Verwaltungs- und Betriebskosten (VwVtK) betragen je ME 110,00 für F 1 und 140,00 für F 2. Berechnen Sie die FK und VwVtK für Auftrag X. Wie hoch sind die gesamten Selbstkosten? e) ie Verkaufspreise (netto) je ME betragen 180,00 für F 1 und 235,00 für F 2. Berechnen sie den Gesamterlös und den Gewinn aus Auftrag X. Bauteil ME der Bauteile je Fertigerzeugnis F 1 F 2 B B B B Aus 3 Rohstoffen werden 3 elektronische Bauteile hergestellt. ie für ein Bauteil benötigten ME an Rohstoffen sind in der Tabelle zusammengefasst. a) Wie viel ME der Rohstoffe benötigt man zur Herstellung von 800 ME von B1, 500 ME von B2 und 900 ME von B3? ME der Rohstoffe je Bauteil Rohstoff B 1 B 2 B 3 R R R b) Wie hoch sind die Rohstoffkosten je Bauteil und für die in a) genannten Fertigungsmengen bei folgenden Rohstoffpreisen je ME: 3,00 für R1, 7,00 für R2 und 4,00 für R3? c) ie Herstellung soll auf das Mengenverhältnis B1:B2:B3= 4:3:5 umgestellt werden. Wie viel ME der Bauteile kann man maximal herstellen wenn von R1 je Herstellungszeitraum nur ME zur Verfügung stehen? 9 Merkelbach

10 8. Berechnen Sie folgende Matrizenmultiplikation A B mit Hilfe von Excel A = B = Format der Ergebnismatrix markieren. Im Beispiel 3x3 Matrix markieren. Formel: MMULT(B1:3 ; G1:I3) Wichtig: Mann muss nach der Formeleingabe nicht ENTER drücken sondern STRG+Umschalt+ENTER Merkelbach

11 2. Lineare Verflechtungen 2.1 Mehrstufige Produktionsprozesse Produktionsprozesse in der Industrie bestehen normalerweise aus mehreren Verarbeitungsstufen. Aus Rohstoffen (Einzelteilen) werden zunächst Zwischenprodukte (Baugruppen) hergestellt, die dann in weiteren Produktionsstufen zu anderen Zwischenprodukten (komplexeren Baugruppen) und schließlich zu Endprodukten verarbeitet werden. Man nennt diese mehrstufigen Produktionsprozesse auch Materialverflechtungsprozesse. Häufig stellt man diese Produktionsprozesse in Grafiken dar, die Gozintographen genannt werden. Beispiel 1: Ein Betrieb stellt in zwei Produktionsstufen aus vier Einzelteilen drei Zwischenerzeugnisse und aus den Zwischenerzeugnissen zwei Fertigerzeugnisse. Gozintograph E1 E2 E3 E Z1 Z2 Z F1 F2 Als Tabelle dargestellt: WERK I WERK II Einzelteile Einzelteile je Zwischenerzeugnisse Zwischenerzeugnisse F1 F2 Zwischenerzeug. je Fertigteile Z1 Z2 Z3 E Z1 1 1 E Z2 2 1 E Z3 1 3 E a) Wie viel ME der Einzelteile werden jeweils für 1 ME der Fertigerzeugnisse benötigt? EZ ZF = EF = F1 F2 E E E3 9 7 E Merkelbach

12 b) Wie viele ME der Einzelteile sind zur Herstellung von 60 ME von F1 und 80 ME von F2 erforderlich? EF FA = EA = A = Anzahl c) er Transport der Zwischenerzeugnisse von Werk I nach Werk II verursacht folgende Transportkosten: Z1 Z2 Z3 Euro / ME 0,50 0,60 0,40 Berechnen Sie die Transportkosten der Zwischenerzeugnisse, die zur Herstellung von 60 ME von F1 und 80 ME von F2 benötigt werden. ZF FA = ZA = KZ ZA = KA ( 0,50 0, 60 0, 40) 200 = ( 310) 300 ie Transportkosten betragen 310,-. K = Kosten d) Es sollen 200 ME von F1 und 250 ME von F2 und außerdem für den Verkauf von Zwischenerzeugnissen 50 ME von Z1, 80 ME von Z2 und 40 ME von Z3 hergestellt werden. Wie viele ME der Einzelteile sind hierfür erforderlich? EF FA = EZ ZA = EA EA EA1 + EA2 = EA Gesamt = = = Merkelbach

13 Beispiel 2: Ein Betrieb stellt in 2 Produktionsstufen drei Fertigerzeugnisse her. Abteilung I Abteilung II Rohstoffe Rohstoffe je Zwischenerzeugnisse Zwischenerzeugnisse F1 F2 F3 Zwischenerzeugnisse je Fertigteil Z1 Z2 Z3 R Z R Z R Z R a) ie Wochenproduktion beträgt 600 ME von F1, 500 ME von F2 und 700 ME von F3. Nachstehende Tabelle enthält die Rohstoffkosten je ME, die variablen Stückkosten der Zwischenerzeugnisse und die variablen Stückkosten der Fertigerzeugnisse. R1 R2 R3 R4 Z1 Z2 Z3 F1 F2 F3 Euro / ME 1,00 1,50 0,50 1,00 7,00 4,00 5,00 36,00 27,00 30,00 ie fixen Kosten betragen ,-. Berechnen Sie die Gesamtkosten der Wochenproduktion. b) ie Verkaufspreise je ME betragen 180,- für F1, 135,- für F2 und 153,- für F3. Wie hoch ist der Gewinn bei Absatz der Wochenproduktion? c) ie Verkaufspreise stehen im Verhältnis F1 : F2 : F3 = 1 : 0,75 : 0,85. Wie viel Euro müssten die Verkaufspreise mindestens betragen, damit der Betrieb bei den bisherigen Wochenproduktionsmengen keinen Verlust erleidet? Wie hoch sollten die Verkaufspreise sein, wenn ein Gewinn von 10% der Selbstkosten erzielt werden soll? as Verhältnis der Verkaufspreise bleibt jeweils unverändert Merkelbach

14 3. Lineare Gleichungssysteme 3.1 arstellung von linearen Gleichungssystemen mit Matrizen Ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten kann man folgendermaßen schreiben: a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b a x + a x + a x = b Mit Hilfe von Matrizen erhält man folgende arstellung: A x = b a11 a12 a13 x1 b1 a21 a22 a23 x2 = b2 a31 a32 a33 x3 b3 A ist die Koeffizientenmatrix, x der Spaltenvektor der Unbekannten und Werten der rechten Seite des Gleichungssystems. b der Spaltenvektor mit den Beispiel: 4 x 4 x + 3 x = x 3 x + 4 x = x x + 5 x = x x = x3 3.2 eterminanten Eine eterminanten kann nur von einer quadratischen Matrix berechnet werden und ist im Ergebnis eine reelle Zahl. Schreibweisen = det A = A = a ik Zweireihige eterminanten Bei einer 2x2-Matrix berechnet sich der Wert der eterminante aus dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonale. A a = a21 a22 a a a det A = = a11 a22 a21 a12 a21 a22 Nebendiagonale Hauptdiagonal e 14 Merkelbach

15 Beispiel: Übungen: 4 7 det A = = 4 8 ( 3) 7 = det 4 7 = = 3 8 A det A = = 5 7 reireihige eterminanten Bei einer 3x3-Matrix erfolgt die Berechnung der eterminante an der Regel von Sarrus. Hierbei wird die Matrix um die beiden ersten Spalten erweitert. Auf diese Weise erhält man 3 Hauptdiagonalen und drei Nebendiagonalen. ie ifferenz aus Haupt- und Nebendiagonalen ergibt den Wert der eterminante. a a a a a a A a a a a a a = det A = a a a = a a a + a a a + a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a det A = a a a a a a a a a a Nebendiagonale Hauptdiagonale Beispiel: Übungen: det A = = 2 2 ( 1) ( 2) + ( 1) = ( ) = 0 ( 18) = det = = A det A = = Hinweis: Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Excel. =MET(Matrix) 15 Merkelbach

16 3.3 Lösen von linearen Gleichungssystemen mit der Cramer schen Regel j x j = j = 1, 2,..., n j ist hierbei die eterminante der Matrix A, die entsteht, wenn in der j-ten Spalte von A die Elemente durch die rechte Seite b i ersetzt werden. Beispiel: 4 x 4 x + 3 x = x 3 x + 4 x = x x + 5 x = A = b = = det A = = = = det A = = = = det A = = = = det A = = = a ij, x = 1 = = 1 x = = = 3 x = 3 = = x = Merkelbach

17 Übungen: 1. Aus den drei Rohstoffen R1, R2 und R3 werden die drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 und daraus wiederum drei Endprodukte E1, E2 und E3 hergestellt. ie zur Herstellung je einer Einheit benötigten Mengeneinheiten sind in folgenden Tabellen dargestellt. Von den Rohstoffen stehen 130 ME von R1, 88 ME von R2 und 122 ME von R3 zur Verfügung. Wie viele Einheiten von den Endprodukten können damit hergestellt werden? Rohstoffe Rohstoffe je Zwischenprodukt Zwischenprodukte E1 E2 E3 Zwischenprodukte je Endprodukt Z1 Z2 Z3 R Z R Z R Z Merkelbach

18 3.4 Inverse Matrix und Gauß-Algorithmus 18 Merkelbach