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Henriette Berg
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1 Lineare lgebra / nalytische Geometrie Leistungskurs ufgabe 4 Kosten und Gewinne Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen R 1, R 2, R 3 und R 4 die Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 und Z 4 her und aus diesen die Endprodukte E 1, E 2 und E 3. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist folgenden Tabellen zu entnehmen. Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3 R 1 a b 0 0 Z R R 2 0 c d 0 Z R R e 0 Z R R f g Z R a) Geben Sie die zugehörigen Matrizen RZ, ZE und RE. Berechnen Sie die fehlenden Werte der Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix. b) Wegen eines Umbaus soll das Rohstofflager weitgehend geräumt werden. Dabei sollen zwei Bedingungen erfüllt werden: i) Die Lagerbestände von R 2 und R 3 sollen vollständig aufgebraucht werden. ii) Von R 1 und R 4 soll gleich viel übrig bleiben. Der Lagerbestand beträgt ME von R 1, 720 ME von R 2, 960 ME von R 3 und ME von R 4. Untersuchen Sie, ob die beiden obigen Bedingungen erfüllt sind, wenn 80 ME von E 1, 40 ME von E 2 und 120 ME von E 3 produziert werden. c) Der Betrieb erhält einen uftrag über 200 ME von E 1. Bestimmen Sie die Gesamtkosten für diesen uftrag, wenn folgendes gilt: i) Die Rohstoffkosten in GE pro ME betragen: 1 für R 1, 3 für R 2, 4 für R 3 und 2 für R 4. ii) Die Fertigungskosten in GE je ME eines Zwischenprodukts betragen: 1 für Z 1, 1 für Z 2, 3 für Z 3 und 4 für Z 4. iii) Die Fertigungskosten je ME des Endproduktes E 1 betragen 2 GE. iv) Die Fixkosten betragen 400 GE. d) Durch eine Änderung im Produktionsablauf werden die Fertigungskosten für die Zwischenprodukte und für die Endprodukte voneinander abhängig. Mit der Einschränkung: 0 < x < 2 gilt: Kosten Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 GE/ME 2 x 2 x 4 x 5 x Kosten E 1 E 2 E 3 GE/ME 3 x 4 x 5 x Es werden 200 ME von E 1, 100 ME von E 2 und 300 ME von E 3 bestellt. Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass sich die Rohstoffkosten [Teil c) i)] nicht ändern und die Fixkosten 1000GE betragen, den Wert für x, für den die Gesamtkosten für diesen uftrag GE betragen.

2 Lineare lgebra / nalytische Geometrie Leistungskurs Zentrale schriftliche biturprüfungen im Fach Mathematik e) Die Endprodukte können nach einer weiteren Umstellung aus produktionsspezifischen Gründen nur im Verhältnis E 1 : E 2 : E 3 = 2 : 1 : 3 produziert werden. Eine Produktion besteht demnach aus 2t ME von E 1, t ME von E 2 und 3t ME von E 3, mit (100 < t < 1.200). Die Fixkosten betragen 4000 GE pro Produktion. Für die Herstellungskosten der Endprodukte bzw. die Verkaufspreise der Endprodukte gilt: Kosten E 1 E 2 E 3 GE/ME 29 0,5ln(t) 130 2ln(t) 54 1,5ln(t) Preis E 1 E 2 E 3 GE/ME 42 2ln(t) 145 4ln(t) 65 3ln(t) Bestimmen Sie den Wert für t, für den der Gewinn G(t) maximal wird, wenn die gesamte Produktion verkauft wird.

3 Lineare lgebra / nalytische Geometrie Leistungskurs-Lösungen ufgabe 4 Kosten und Gewinne a) a b c d 0 RZ = 0 0 e f g ZE = RE = Berechnung der Werte a, b, g in Wegen RZ ZE = RE gilt RZ RZ : a b c d ZE = 0 0 e f g a+ b 4b c 4c+ 3d d = = = 0 3e e g 3f f + 2g Durch elementweisen Vergleich erhält man die Gleichungen: 2a+ b= 5 4b= 12 c= 2 4c+ 3d = 11 d = 1 3e= 12 e= 4 g= 2 3f = 3 f + 2g= 5 Für die fehlenden Werte der Rohstoffmatrix erhalten wir: a = 1, b = 3, c = 2, d = 1, e = 4, f = 1, g = b) Sei v R der Vorratsvektor an Rohstoffen. us der Bedingung RE xe = vr ergibt sich das LGS r r Dieses LGS ist eindeutig lösbar für x 1 = 80, x 2 = 40, x 3 = 120 und r = 120. Es bleiben demnach von R 1 und R 4 jeweils 120 ME übrig. 10 c) Die Gesamtkosten (GK) für den uftrag bestehen aus den Rohstoffkosten (RK), den Fertigungskosten für die Zwischenprodukte (ZK), den Fertigungskosten für das Endprodukt (EK) und den Fixkosten (FK). RE

4 Lineare lgebra / nalytische Geometrie Leistungskurs-Lösungen Zentrale schriftliche biturprüfungen im Fach Mathematik Es gilt: RK = 200 ( ) = ZK = 200 ( ) = EK = = 400, FK = 400 Die Gesamtkosten betragen demnach GE. 20 d) Die Rohstoffkosten betragen in GE: = = ( ) ( ) Die Fertigungskosten für die Zwischenprodukte betragen in GE: = x 2 x 4 x 5 x = x ( 2 x 2 x 4 x 5 x) ( ) Die Fertigungskosten für die Endprodukte betragen in GE: 200 (3 x) (4 x) (5 x) = x. Die Fixkosten betragen 1000 GE. Damit ergibt sich für die Gesamtkosten: GK = ( x) GE. us x = ergibt sich x = 0,5. Die Gesamtkosten betragen für x = 0,5 genau GE e) Die Kosten für einen uftrag von 2t ME von E 1, t ME von E 2 und 3t ME von E 3 betragen: GK = 2 t (29 0,5ln( t)) + t (130 2ln( t)) + 3 t (54 1,5ln( t)) = 350 t t (ln( t) + 2ln( t) + 4,5ln( t)) = 350t 7,5t ln( t) Der Verkaufspreis beträgt: VP = 2 t (42 2ln( t)) + t (145 4ln( t)) + 3 t (65 3ln( t)) = 424t 17t ln( t). Der Gewinn G = VP GK beträgt demnach in bhängigkeit von t: Gt () = t (74 9,5ln()) t 4000.

5 Lineare lgebra / nalytische Geometrie Leistungskurs-Lösungen Nun gilt: 1 G'( t) = 1 (74 9,5ln( t)) + t ( 9,5) t = 64,5 9,5ln( t). G () t = 9,5t 1 Für maximalen Gewinn muss gelten: G ( t) = 0 64,5 9,5 64,5 G () t = 0 ln() t = t= e 888,45. 9,5 Weiter gilt: G (888,45) < 0. lso ist der Gewinn für t = 888,45 maximal. Er beträgt ca GE Insgesamt 100 BWE

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